VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 47
Текст из файла (страница 47)
374 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 6.13. Пользуясь формулой Остроградского — Гаусса, вычислить поверхностные интегралы по внешней стороне поверхности Ф: а) узду~Ь+ зхсЬНх+ ху~ЬНу, где Ф вЂ” граница тела Ф х + у~ < а~, 0 < зз < й (Ь > О); б) х~ ИусЬ+д~ ~Ьдх+ з~ ~Ьду, где Ф вЂ” поверхность куба Ф 0 <х < а, 0<у<а, 0<я <а (а>0); в) хф~Ь+усЬдх+лдхду, где Ф вЂ” часть поверхности Ф з = 1 — ~/Р+ уз, заключенная между плоскостями з = 0 и з = 1. 6.14.
Вывести формулу (6.20), в которой Я, .г', О определяются соотношениями (6.17) — (6.19). 6.15. По аналогии с (6.54) записать формулу для нахождения функции г'(х,у,л) путем интегрирования сначала вдоль прямой, параллельной оси Оз, затем вдоль прямой, параллельной оси Оу, и, наконец, вдоль прямой, параллельной оси Ох. 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Если на некотором множестве Р в пространстве (области, кривой, поверхности) задано отображение, которое каждой точке множества ставит в соответствие значение какой-либо величины, то такое отображение называют полем. В случае скалярной величины говорят о скалярном воле, а в случае векторной величины — о вехторвом воле. Существуют поля и других типов, но они здесь не рассматриваются.
Скалярные и векторные поля — это функции точки и потому не связаны с какой-либо системой координат. Зафиксировав прямоугольную систему координат, мы можем представлять точки пространства упорядоченными тройками их координат, а скалярные и векторные поля — функциями многих переменных. Такое представление позволяет при изучении полей использовать аппарат дифференциального исчисления. В то же время не следует ставить знак равенства между терминами „поле" (скалярное или векторное) и „функция многих переменных". Понятие полл позволяет наиболее естественно характеризовать и описывать те свойства реальных объектов, которые не зависят от выбора системы координат: реальные физические свойства и не должны быть связаны с какой-либо системой координат.
7.1. Скалярное поле Как уже было сказано, скалярное воле, заданное на множестве Р, — зто отображение с областью определения Р, значениями которого являются действительные числа (значения скалярной величины). В качестве множества Р, как правило, рассматривают некоторую пространственную область, поверхность или кривую. 376 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Пример 7.1. Пусть пространственная крбируемая замкнутая облаешь Р заполнена веществом. Выберем в Р точку М и произвольную кубируемую замкнутую область Рм С Р, содержащую точку М.
Обозначим через У(Рм) и й(Рм) объем и диаметр Рм. Если т(Рм) — масса содержащегося в Рм вещества, то отношение представляет собой среднюю ж(Ом) объемную плотность вещества в Рм. Предположим, что в каждой точке М Е Р существует конечный предел Вш = (М) ~дон)-~0 \~(Рм) (7.1) Тогда в Р определено скалярное поле, значением которого в точке М является объемная плотность р(М) массы вещества (такое поле обычно называют полем плотности вещества).
Объемная плотность р(М) может изменяться от точки к точке, т.е. вещество в замкнутой области Р может быть распределено неравномерно. Если скалярное поле во всех точках Р принимает одно и то же значение,то говорят об одкородком коле, а если скалярное поле меняется от точки к точке, то говорят о неоднородно.к коле. В рассматриваемом примере неравномерное распределение вещества описывается неоднородным полем плотности вещества.
Если же р(М) = сопе1, т.е. вещество тела распределено по объему равномерно, то мы имеем дело с однородным полем плотности вещества. На практике встречаются ситуации, когда скалярная величина зависит не только от точки пространства, но и от времени. Примером такого рода является распределение температуры в нагретом теле, остывающем благодаря происходящему на его поверхности теплообмену с окружающей средой. Температура в каждой точке тела изменяется с течением времени до тех пор, пока не достигнет значения температуры окружающей среды.
В этих случаях говорят, что скалярное поле зависит от времени и называют его кеспзациокарныл4 скалярным 7.1. Скалярное поле 377 полем. Если же скалярное поле от времени не зависит, то его называют стациовармым. Мы не будем рассматривать нестационарный случай и даяее под скалярным полем будем понимать стационарное скалярное поле. Пусть на множестве Р в пространстве задано скалярное поле и(М). Введем некоторую прямоугольную систему координат Ох1хзхз с началом в точке О. Тогда каждая точка М Е Р будет определяться тройкой своих координат х1, хо, хз, а скалярное поле будет представлено скалярной функцией трех переменных и(х1,хз,хз).
Это позволяет исследовать скалярное поле с использованием теории функций многих переменных. Разумеется, вид функции трех переменных, соответствующей скалярному полю, зависит от выбранной системы координат, в то время как само скалярное поле с выбором системы координат никак не связано. При фиксированной точке О в пространстве любую точку можно определить ее радиус-вектором. В этом случае скалярное поле п(М) можно рассматривать как скаяярную функцию и(г) векторного аргумента г = ОХ~. Изучение скалярного поля существенно упрощается, если оно обладает какими-либо свойствами симметрии. Если в некоторой системе координат скалярное поле зависит лишь от двух координат,то такое поле называют плоским (или дермерааым в отличие от апрехмерпово полл, которое в любой системе координат зависит от всех трех координат).
Плоским является температурное поле грунта вокруг равномерно нагретой длинной прямолинейной горизонтальной круглой трубы теплотрассы. В этом случае в любой плоскости, перпендикулярной оси трубы, будет одно и то же распределение температуры.
Плоское скалярное поле удобно рассматривать при фиксированном значении координаты, от которой это поле не зависит, т.е. как функцию точки на плоскости, а не в пространстве. Примером такого рода может служить поле температур тонкой металлической пластинки, толщиной которой можно пренебречь. 378 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Такой трактовкой плоских скалярных полей мы будем пользоваться в дальнейшем. Схаллрное холе называют одномерным, если в некоторой прямоугольной системе координат оно зависит лишь от одной координаты. Температурное поле в неподвижной воде, находящейся у поверхности покрытого льдом водоема, является одномерным, поскольку в некотором приближении можно считать, что в этом случае температура воды зависит только от расстояния от этой поверхности.
Скалярное поле можно рассматривать не только в прямоугольной, но и в цилиндрической системе координат. Если скалярное поле в некоторой цилиндрической системе координат Ог~рз не зависит от угловой координаты ~р, то такое холе называют осеснмметрнчным. Упомянутое выше плоское температурное поле грунта будет к тому же и осесимметричным в некоторой области, охватывающей круглую трубу, если труба уложена горизонтально на значительной глубине и можно пренебречь влиянием теплообмена на поверхности грунта.
Плоское осесимметричное схаллрное холе, зависящее лишь от радиальной координаты г, называют осевым. Примером осесимметричного скалярного поля является распределение давления воды в водоносном пласте вблизи вертикальной скважины с круглым поперечным сечением, ось которой совпадает с координатной осью Ог. Строго говоря, оно не является осевым, поскольку давление воды зависит не только от радиальной координаты, но и от глубины, определяемой координатой з. Если в некоторой сферической системе координат Огорд скалярное поле зависит лишь от расстояния т (расстояния от точки М до фиксированной точки О), то его называют центральным ехал,ярным полем с центром в точке О.
Примером центрального скалярного поля является гравитационный потенциал (от латинского слова рогепйа — сила) материальной точки Ме массой те, который, как известно из курса физики, изменяется обратно пропорционально расстоянию г от этой 379 7.Ь Спаллрпое поле точки и может быть записан в виде и(т) = С вЂ”, тпо т ' (7.2) где С вЂ” гравитационная постоянная (постоянная тяготения), в соответствии с современными измерениями разная 6,672 х х 10 м, . Аналогично скалярное поле У электростатиче- мН и ского потенциала, создаваемое точечным зарядом де, помещенным в точку Мо, является центральным и может быть представлено в виде У(т) =— 4яеет (7.3) где ео = 8,8542 10 — — электрическая постоянная.
шА с В м Для исследования скалярного поля, как и скалярной функции трех переменных, удобно использовать поверхности уровня [У]. Поверхностью уровня скалярного поля называют множество точек М из области определения Р скалярного поля, в которых оно имеет заданное значение С.
Очевидно, что через каждую точку М Е Р проходит ровно одна поверхность уровня. Обратим внимание на то, что поверхность уровня, вообще говоря, может и не быть поверхностью. Например, нетрудно определить скаллрное поле, одной из поверхностей уровня которого является прямал. В конкретных прикладных задачах для поверхностей уровня скалярного поля часто используют специальные термины: поверхности уровня температурного поля называют изотермами, поля давления — изобарами, поля гравитационного или электростатического потенциала — эквипотенциальными поверхностями и т.п.
Рассмотрим, например, поле электростатического потенциала, создаваемого точечным зарядом, помещенным в точку Ме. Это поле описывается функцией (7.3), вид которой позволяет заключить, что эквипотенциальными поверхностями скалярного поля являются концентрические сферы с общим центром в точке Ме. На рис. 7.1 штриховыми линиями изображены изо- 380 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Рис. Т.1 термы плоского температурного поля Т(М), заданного функцией Т1 Те Т(х1,хз) = Т0+ х1хз, х1, хз Е [О, В). (7.4) На этом рисунке стрелки обозначают направление потока теплоты. Отметим, что изотермой со значением температуры Т0 является двузвеииая ломаная, составленная из отрезков коордииатиых осей Ох1 и Охз, а изотерма со значением температуры Т1 вырождается в точку М1 с координатами х1 = х0 = В.
Остальные изотермы являются дугами равиобочных гипербол х1хз — — сопв1. 7.2. Градиент скалярного поля Если скалярное поле в пространственной области Р в некоторой прямоугольной системе координат представлено иепрерывиой (диффереицируемой) в Р функцией трех переменных, то такое по юе мы будем называть иепрерыевым (дпффереицпруемььм) в Р. Отметим, что непрерывное (диффереицируе- 381 7.2. 7)>адиевт сказлрлого паал мое) скалярное поле в любой прямоугольной системе координат представляется непрерывной (дифференцируемой) функцией трех переменных. Рассматривая скалярное поле и(М) в заданной системе координат как скалярную функцию трех переменных, можно ввести понятия производной сналярноео ноля но направлению и ерадиеннза сналярново ноля.
Напомним, что если функция У(хм хг, хз) дифференцируема в точке (х1, хг, хз), то ее градиент ягайло(хм хг, хз) в этой точке может быть вычислен по формуле 8гаог (х1,хг,хз) = е1+ д7 (х1, хг, хз) дх1 Н(хмхг,хз) д1(хьхг,хз) + д ег+ д ез, дхг дхз где е1, ег, ез — базисные векторы прямоугольной системы координат Ох1хгхз, а производная этой функции по направлению вектора гз в той же точке — по формуле дУ(хм хг, хз) д ' =" У(* "") Производная скалярного поля в точке М по заданному на'правлению характеризует скорость роста значений скалярного поля в заданном направлении. Ясно, что эта характеристика не связана с выбором системы координат и отражает свойства самого скалярного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
