VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Сначала преобразуем криволинейный интеграл второго рода по контуру Ь в левой части (6.47). Пусть контур Ь*, ограничивающий область Р, задан параметрическими уравнениями где и(Ф) и е(Ф) — функции, непрерывно дифференцируемые на отрезке [1м $г). Тогда параметрические уравнения, задающие контур Х, примут вид х = х(и(Ф), о(2)), у = у(и($), о(Ф)), г = г(и(Ф), е(Ф)), Ф Е Т.
В соответствии с правилами вычисления р ения к иволинейного интеграла второго рода (см. 5,5) запишем Фг Рй — Р и (8)+ о ($) й— Ь и /дх дх Р(х(ив), у(и,о), г(ии)) ~ — аи+ — ай. 358 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ К интегралу в правой части этого равенства применим форл4улд Грина длл односелзно6 областпи И "Р"=О(-.'(Р)- (';)) "= ,/ ~,~дх ди ду ди д» ди/де дида/ В Рйх = — — — — — — аиае— дх ди д ди  —  — — С йиЬ = — д»дх — — Мха, В Ф что доказывает равенство (6.47). Аналогично можно доказать, что Ябд = Д вЂ” «ЬИ~ — — фд», Г Гдч' дЯ Д дх д» Г ГдЯ дВ ВлЬ = Д вЂ” ау~ — — дх<Ь.
Д ду дх (6.48) (6.49) Так как смешанные производные функции х(и, ю) непрерыв- ВЯ» а2» ны, верно ерно равенство — = — (Ч). Поэтому после упрощений диде дюдн с учетом соотношений (6.11) и (6.38)-(6.40) получаем 359 8.8. Формула Стокса Складывая (6.47) — (6.49), получаем формулу Стокса (6.46). Она выражает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру Х через общий поверхностный интеграл второго рода по поверхности Ф, ограниченной этим контуром (иногда говорят „опирающейся на контур Ьа). Отметим, что если поверхность Ф является плоской областью и лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости хОу, то формула Стокса переходит в формулу Грина (5.37).
Как и формула Грина, формула Стокса обобщается на случай, когда поверхность ограничена несколькими кусочно гладкими контурами. При этом в левой части равенства (6.45) появляется сумма криволинейных интегралов по граничным контурам, проходимым в положительном направлении, т.е.
так, что при обходе каждого контура поверхность остается слева, если смотреть с конца выбранного вектора нормали к поверхности. Доказательство формулы Стокса для поверхностей, ограниченных несколькими контурами, аналогично доказательству формулы Грина для многосвязных областей. Пример 6.9. Вычислим двумя способами (непосредственным подсчетом криволинейного интеграла второго рода и по формуле Стокса) криволинейный интеграл 7 = 9,1х+ «г сЦР+ хг,1«, где Ь вЂ” окружность, по которой плоскость « = ~/3 пересекает сферу, заданную уравнением хг+ рг+«г = 4.
Подставляя в уравнение сферы значение « = ~/3, получаем хг + уг = 1, т.е. радиус окружности Ь равен единице. Чтобы вычислить криволинейный интеграл непосредственно, составим параметрические уравнения окружности Ь: Х=СО8$, у = еш$, с Е [О, 2т]. « = ~/3, 360 б.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Из параметрических уравнений находим Их = -в1пИ$, Ир = = сов1~Ю и ~Ь = О. Используя формулу (5.36) вычисления криво- линейного интеграла, получаем 2т 2~г 1 Х Х = ~( — вт21+Зсов2)М = — — ~ (1 — сов21)сМ = — я. 2Х о 0 Чтобы вычислить криволинейный интеграл с помощью формулы Стокса, положим Р= у, Я =«, В = х . Тогда 2 2 — — — = -2«, — — — = -2«. дР дВ дВ дЯ д« дх ' др д« д9 дР— — — = — 1, дх ду Согласно (6.46), рассматриваемый криволинейный интеграл сводится к поверхностному интегралу Х = — Ихйу+2хй«йх+2«ду(Ь, (6.50) .О~в ~ 1(х; У) Е К" х + У ~ (1), Х)„= ((лд «) Е ж~: — ~/4 — «г ( «( ~/4 — «г, « ~ (~ГЗ, 2) ), Рв, — — ~(у; «) е Ж~: -1/4 — «2 ~ (у ~( ~/4 —.«2, «е (~ГЗ, 2] ) .
где Ф вЂ” произвольная гладкая поверхность, ограниченная контуром Х. Рассмотрим два варианта такой поверхности: верхний сегмент сферы х2+ р2+ «2 = 4, на которой расположен контур Х, и круг в плоскости « = ~/3, ограниченныи контуром Х. Сначала вычислим поверхностный интеграл по верхнему сегменту сферы. Чтобы направление обхода контура Х было положительным, на сегменте сферы следует выбрать верхнюю сторону. Проекциями сегмента сферы Ф на координатные плоскости будут области 361 Е 8 (формула Стокса Р оектируются две части поверхности, на На область „, проек Оя.
Одна из этих частей е она аэделяется плоскостью у я. дн которые она р ем — з — ~ для нее сова > О, а ем х = 4 — х — у, и для н описывается уравнением — — для н г г и,„ < О. Поэтому для входящего в (6.50) поверхностного ан второго рода от функци и 2» получаем | 2»ара» = 2»дусЬ вЂ” 2»буй» = О.
Ф Вр, Аналогично для области Р имеем 2хй»йх = 2 ха»ах — 2 хй»йх = О. и„ и., ны сегмента Учитывая, что соз у д > 0 ля выбранной стороны сферы, находим ИхФ = (Ьиу = я, Ф ощ асть Р есть круг радиуса 1 с площадью х. Подставляя полученные результаты в ., п ез льтату 1 = -н. лученному ранее реву у (6.50) по верхнеи елим поверхностный интеграл Теперь вычислим п рхн = ~ГЗ. В этом случае з < 1 в плоскости » = стороне круга х + у ~Ь = О, и поэтому получаем 1 = — йхйу+ 2хсЬИх+ 2»дусЬ = ахар = — ахар = -я. Ф о~р слепня рассматриваемого кри- И все три способа вычисления так, вс ый ез льтат.
волинеиного инт еграла дали одинаковый р у 362 а пОВеРхнОстные интеГРАлы 6.9. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве Для криволинейных интпегралов второео рода общеео вида вдоль пространственной кривой АВ можно сформулировать условия независимости их от пути интегрирования, аналогичные тем, которые были установлены в теореме 5.6. Пространственную обласиьь С назовем новерхноснхно односвлзной, если любой контур Ь, целиком лежащий в С, является границей некоторой поверхности, лежащей в С.
Примером поверхностно односвязной области является шар. Поверхностно односвяэной областью является также полый шар, т.е. область, заключенная между двумя концентрическими сферами. К поверхностно односвязным не относится область внутри щора — поверхности, образованной вращением окружности вокруг оси, которая расположена в плоскости окружности и с окружностью не пересекается. дР дЯ ду дх' дР дЛ дх д (6.51) аа ая дх ду' Теорема 6.3. Пусть С вЂ” поверхностно односвязная область в пространстве и функции Р(х,у,х), ®х,у,х), В(х,у,х) непрерывно дифференцируемы в С. Тогда следующие четыре условия эквивалентны.
1. Выражение Рдх+ Яду+ Вдх является полным дифференциалом дР некоторой функции Р(х,у,х), дифференцируемой в С. 2. В области С верны равенства 6.9. Независимость интеграла от пути ввтегрироваивв 363 3. Для любого кусочно гладкого контура Ь, целиком лежащего в области С, справедливо равенство Р(х,у,х) е(х+ Я(х,у,х) ау+В(х, у,х) йх = О. (6.52) 4. Для любых двух точек А и В в области се криволинейный интеграл второго рода | Р(х, у, х) еех + Я(х, у, х) Иу + К(х, у, х) е(х дв не зависит в этой области от пути интегрирования. Доказательство этой теоремы можно провести ев круговую" аналогично доказательству теоремы 5.6 с той лишь разницей, что надо опереться на формулу Сеаокса, а не на формулу Грина, которая по сути является частным случаем формулы Стокса.
Отметим, что если криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования, то, как и в плоском случае, в его обозначении указывают лишь начальную и конечную точки кривой. При этом для любой кусочно гладкой кривой АВ с начальной точкой А(хд;ул;хд) и конечной точкой В(хв;ун;хв), целиком лежащей в 6, имеет место формула Хьюгпона — Лейбница длл криеолинейноео интеерала вдоль пространственной кривой (ев>явив) Р(х, у, х) е(х + Я(х, у, х) ееу + Я(х, у, х) е(х = (хд >яд >яд) (хв>яв>ев) = Р(хв>ув>хв) — Р(хд>уд>хд) =Р(х>у>х) > (653) (вд>яд>ед) где Р(х, у, х) — произвольная функция, имеющая дифференциал ИР = РИх+ Яду+ Ве(х. Такую функцию можно найти, как и в случае плоской области, интегрированием по отрезкам прямых, параллельных координатным осям.
Например, можно З64 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ использовать формулу (*их) Р(х,у,х) = Рдх+Яйу+Гьах= (хыхо ио) =С+ Р(хаус,хв)дх+ Я(х,у,хо)йу+ В(х,у,х)йх, (6.54) где С = сопвь, а (хо, уо, хв) — какая-нибудь фиксированная точка области С. Приведенная формула соответствует интегрированию вдоль трехзвенной ломаной, первое звено которой параллельно оси Ох, второе — оси Оу, а третье — оси Ох. Применение формулы возможно в том случае, когда эта ломаная целиком попадает в область С. 6.10.
сйормула Остроградского — Гаусса Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным и поверхностным интегралами. Аналогичная связь существует между поверхностным интегралом и тройным интегралом. Прежде чем формулировать соответствующее утверждение, введем одно понятие. Пространственную обласхпь С назовем объемно односвлзной, если для любой замкнутой поверхности, лежащей в С, ограничиваемая этой поверхностью область также целиком лежит в С. Объемно односвязными областями являются шар и внутренность тора (часто также называемая тором), в то время как полый шар (область между двумя концентрическими сферами) к объемно односвязным областям не относится.
Предположим, что замкнутая пространственная область С может быть разделена на конечное число областей, правильных в направлении оси Ох. Пусть аналогичное свойство выполняется и в отношении двух других осей Оу и Оэ. Такую область мы будем называть простой. 365 6.10. Формула Остроградского — 1аусса Теорема 6.4. Если функции Р(х,утх), Я(х,утх), В(х,у,г) непрерывно дифференцируемы в объемно односвязной области ниченной кусочно гладкой зал кнутпоб поверхностью Ф, верна Яорлеула Остпроградского — Гаусса* Рйуйг+ Яйгйх+ Вйхйу = (6.55) — + — + — йх йу йг, где поверхностпньтб интпеграл втпорого рода вычисляется по внешней стороне поверхности Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
