VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Это позволяет совавЯ заменить элементом площади ду~Ь на координатной плоскости уОз и записать интеграл в виде Аналогичным образом можно обозначить две другие составляющие поверхностного интеграла, а весь поверхностный интеграл можно представить в виде В ситуации, когда поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности Ф, для него часто используют специальное обозначение . Таким образом, запись Р(х, у,х) дудл+ Я(х,у, л) дюсе+ В(х,у,л) диду означает, что поверхностный интеграл берется по замкнутой поверхности Ф. Сформулируем свойства поверхностного интеграла второго рода на примере одного его слагаемого, соответствующего функции Н(х, у, л). 349 6.6. Поаерхностлый интеграл второго рода 1'.
При изменении стороны поверхности интеграл меняет знак. 2'. Интеграл от линейной комбинации т функции равен линейной комбинации интегралов от этих функций: | У~" " "-1:"|| """ "" 1=1 о ф 3'. Если поверхность Ф разбита на конечное число Ж частеи Фя С Ф Й = 1, 11', не имеющих общих внутренних ~вечен, то ! 4'. Интеграл по любой цилиндрической поверхности Ф с образующими, параллельными оси Оз, равен нулю.
Интеграл (6.36) по выбранной стороне поверхности Ф является поверхностным интегралом первого рода от функции Реева+ Ясов,8+ Ясов у. Поэтому для его вычисления можно использовать формулы (6.26) или (6.28). П едположим, что гладкая двусторонняя р пове хность Ф без особых тионен задана параметпринесаими уравнениями х = х(и,о), (ити) 6.0 С Ж . т' х1' к но- сть А В, С вЂ” координаты вектора нормали т„хг„ верхности, где векторы т„и т„вычислены по ф р у о м лам (6.9). 350 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Тогда, согласно равенствам (6.11) и (6.20), получаем А уА 4В+4Су В ~А 4- Ву 4- 04 С у Ау —,.
В РАСС Используя (6.26), находим | Р 43=||Р) ) Р),р), ), ), ))А), )4 4, )668) Ф и ""=О)." "'")'"- ' Ф 4А | Я УАВ=||Я) ), ),у), ), )ц ))С), )4 А. )640) Ф В Если гладкая поверхность Ф задана уравнением л = у(х,у), ( ) 6.0 С )кз и выбрана ее верхняя сторона, т.е. единичный ЖУ) ху вектор яя нормали определен равенством (6.13)> то 1 0)44)Р)'4)6)'' Поэтому, используя представление (6.28), для верхней стороны поверхности получаем | Я ~48=|/Яр*Ау=||Я)*,6,8)*,р))4*Ау. )644) Ф Ф Врр Для нижней стороны поверхности знак сов у обратный, и поэтому в правой части (6.41) перед интегралом следует поставить в а ПовоР«востлищ ллтегРвл втоРого Р я знак минус: ть ва остальных интеграла (6.36), если гладкая поверхность Ф задана уравнением х = х у,«, (у; «) Е Рт„или у = р(х, «), (х; «) Е Р,. Пример .. ычи 6.7. В елим поверхностный интеграл второго рода «6Щ» Ф по нижнеи сторон роне части Ф конуса, заданнои уравнением «вЂ” = ~й~+ 2 и заключенной между плоскостями « = и « = х+у и П й втой части конуса на коорд у инатн ю плоскость хОУ Проекцией зто" является замкнутый круг Рвт — — 1(х;р) 6 К~: х +у < 1).
Используя (6.42) и переходя к полярным ко рдтпт коо атам, находим 2т 1 | |'.=-П """ =-|"| '=— 2 1 О О Ф Пример .. ычи 6.8. В елим поверхностный интеграл второго рода ус~«~1х Ф и Ф па аболоида « = х2+ у2, заключенно верхней стороне части пар = 2 2, ючен=2 ( ис. 66,а. Ф оо инатной плоскостью хО« на Разобьем поверхность Ф координатн " ве части Ф1 и Ф2, расположенные по разны р ые сто оны от зтои пло . Ф и Ф2 представляют собой графики плоскости. Поверхности 1 и 2 п 352 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рис. 6.6 функций у = ~/г — хз и у = — ~Й вЂ” х2.
Эти функции имеют общую область определения Р, — проекцию поверхности Ф на плоскость х02, которая описывается неравенствами О < < л < 2, л > х2 (рис. 6.6, б). В соответствии со свойством 3' поверхностного интеграла второго рода запишем усЬИх = у~ЬИх+ уйхйх. Ф Ф1 Ф2 Выбор верхней стороны поверхности Ф означает выбор левон стороны Ф1 и правой стороны Ф2. Для поверхности Ф1 с выбранной стороной имеем рсЬ~;Ь = В~Ь~Ь> Ф1 0 гд г е левая часть равенства — зто поверхностныи интеграл, а правая часть — д авая есть — двойной.
Вычислим двойной интеграл: ~Г2 2 О аа = — /ж/„",:з~= -~Г2 ~/2 ~Г2 1с2 3 — ~Г2 -~/2 6.7. Фпэичесхнй смысл поверхностного пнтегрел р а вто ого рода 353 Определенныи интеграл от функци ( — 212/2 помощью тригонометрической замены — ь я = ./2в1п8 (при этом ох = ~/2 сов И2). В результате получим 1(2 2,2/г„.
3,!! т/2 т/2 — 4сов~2Ж= — — / (1+сов2$) (й= 2 Г 3,/ — /г — !/г т/2 2 1+ сов4$~ — — / (1+ 2сов28+ ) !12 = — я. 3/ -т/2 Для поверхности Ф2 с выбранной сторонои !правои! имеем О,г,а.=Д,аа.= /~,/т:.чи.. Ее и„ 79.. Вычисления аналогичны предыдущим д и ают тот же результат -и. Таким образом, упхеЬ = — 2х. 6.7. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода Рассмотрим задачу о н вхождении количества жидкости, протек екающей за единицу времени через заданную поверхность ложим, что плотно сть жидкости постоянна, поверхность проницаема для жидкости и процесс течения жидкости установившийся, т.е.
вектор е ее ско рости в каждой точке М пространства не изменяется во времени. Если поверхность Ф площадью Я является ется частью плоскости, а вектор е перепендикулярен этой плоскости, то объемный !2 — 9!00 354 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ расход жидкости через Ф, т.е. ее объем, протекающий через Ф в единицу времени, равен Я = ~и~Я. Если же вектор и составляет угол <р с вектором нормаяи к этой плоскости, то Ч = ~п ~ Я сов у. Ясно, что в зависимости от выбора направления вектора нормали к плоскости расход может быть положительным, отрицательным, а в частном случае и равным нулю. Пусть теперь Ф вЂ” некоторвл гладкая поверхность и в каждой точке М(х;у;г) Е Ф задан вектор скорости с помощью векторной функции п(М) = о(х,у,г). Выберем разбиение поверхности Ф на п частичных областей Ф; с площадями ЬЯ; и диаметрами 4, 1 = 1, и, и в каждой частичной области Ф; рассмотрим произвольную точку Мв(х;;у,",г1).
Естественно считать, что при малых значениях диаметров 4 каждую частичную область Ф; можно заменить его проекцией на касательную плоскос1пь к поверхности Ф в точке М;. Кроме того, предполагаем, что в пределах частичной области Ф1 вектор скорости жидкости можно считать постоянным и равным п(М;). При этих предположениях объемный расход жидкости через поверхность Ф, в выбранном направлении единичного вектора 1з(М1) нормали к поверхности в точке М, приближенно равен Явж ~п(М1)~сову;ЬЯ1, ю'=1,п, где ~р1 — угол между векторами п(М1) и г1(М;), а общий расход через всю поверхность Ф равен 11- ~)~~и(м1)~совр1ьЯ;, 1=1 Я= 11ш у ~п(М;)~сову1ЬЯ;, 1=1 (6.43) где И = п1ах 4.
1=1,и Ясно, что точность последнего соотношения будет тем выше, чем мельче разбиение поверхности Ф на частичные области. По определению полагают б.У. Физический смысл иоеерхиостиого иитегрела второго рода 355 Пусть сова(М;), совР(М;), сов у(М;) — направляющие косинусы вектора п(М;), так что п(М1) = совсе(М1)4+ сов~9(М1)я + сов7(М1)п) а Р(М), Я(М), В(М) — координаты вектора п(М) скорости жидкости, т.е. е(М) = Р(М)4+ Я(МЦ + В(М)й. (6.44) Тогда ~о(М) ~ сову; = и(Ме)п(МД = Р(М) совсл(М) + + Я(М;) совЯМз) + В(МДсов7(МД, М; Е Фь Подставляя это равенство в (6.43), согласно определениям поверхностного интеграла первого рода и поверхностного интеграла второго рода, приходим к следующему: + Я(М,) сов,8(М;) + В(М;) сов у(М,) ЬЯ, = Р(М) сов се(М) + ЩМ) сов,В(М) + В(М) сов "~(М) НЯ.
Поэтому для объемного расхода жидкости, протекающей через поверхность Ф и имеющей вектор скорости е(М) вида (6.44), можем записать Я = Р(х, у, х) дудх + Я(х, у, х) дхдх+ В(х, у, х) дхду. Выбор стороны поверхности Ф, определяемой выбором единичного вектора нормали этой поверхности, влияет на знак объемного расхода жидкости.
и 356 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 6.8. Формула Стокса Пусть гладкая двустпоронняя поверхность Ф, ограниченная гладким контуром Ь, задана парамегпричесними уравнениями (исп) ЕР, с помощью функций х(и,о), у(н,о), «(и,о), дважды непрерывно дифференцируемых в замкнутой области Р с )кз, ограниченной гладким контуром Ь*. Контуру Ь* при отображении, определяемом функциями х(и,о), у(и,е), «(и,е), соответствует контур Ь, ограничивающий поверхность Ф. Обходу контура Х" на плоскости отвечает обход контура Ь, и наоборот. Условимся считать положительным такое направление обхода контура Ь, которому соответствует положительное направление обхода контура Ь*.
Если единичный вектор п нормали к поверхности определить формулой (6.12), то при положительном обходе контура Ь поверхность будет оставаться слева, если смотреть с конца вектора зз. Таким образом, положительное направление обхода границы поверхности согласуется с выбором ее стороны. Как и ранее, сова, сов,В, сов у — направляющие косинусы вектора ть в произвольной точке М поверхности Ф. Пусть в некоторой пространственной области С, целиком содержащей поверхность Ф, заданы непрерывно дифференцируемые функции Р(х,у,«), фх,у,«), 1т(х,у,«).
Тогда имеет место формула Стпонса' Рс(х+ Яду+лье« = =~(Щ-Р) «+(г,-к) л«(Я-Я3 )нл, («45) 'Дж.Г. Стоке (1819-1903) — английский физик и математик. 357 В,3, Формула Стоков где обход контура Ь при выбранной стороне поверхности Ф происходит в положительном направлении. Эту формулу, используя поверхностный инп1еграл второго рода, можно записать следующим образом: Рйх+Ойу+Ваг = ~ — — — ~ ахау+ ГдЯ дР~ Ь Ф + ~ — — — ) ~ЬИх+ ~ — — — ( йудит. (6.46) лдР дВ~ /дВ Яд (~ду дг( Докажем,что (6.47) Рах = — агах- — ахау.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
