VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 46
Текст из файла (страница 46)
М Формула Остроградского — Гаусса распадается на три самостоятельных равенства, соответствующие трем подынтегральным функциям Р Я и В. Эти три равенства доказываются схожим о разом, и б мы остановимся на одном из них, например на равенстве В(х,у,г)йхйу =Д/ ' йхйуйг. ( . ) оп(х~у~ ) Ф Рассматриваемое равенство обладает своиством аддитивности. Это означает, что если замкнутая область Ъ' разбита на частичные о ласти б стаи У й = 1 тп ограниченные кусочно гладкими поверхностями Фь, и для этих замкнутых областей доказываемое равенство установлено, то зто равенство будет выполняться и для самой области т'.
Действительно, пусть Г Г дВ(х,угг) й=1 тп. В(х, у,г) йхйу = ц йхйуйх, =, тп. Фь 'В отечественной литературе эту формулу часто называют формулои 828 г. и оп бликовал в 1831 г., а в О оградского который вывел ее в 182 г. у стр К. Га сс нол частный 1834 г. обобщил на случай н-мерной области.
К. у учил вариант этой формулы в 1813 г. 366 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Просуммировав эти равенства, получим С мма в левой части равенства равна интегралу по поверхности Ф, так как по частям границ Фь частичных о умма в левой ч чных областей $'л, не входящим в поверхн оверхность Ф интегрирование проводится ) дважды с вы ором пр б отивопаложных сторон поверхности, а такие интегралы взаимно уничтожаются.
Так как замкнуты область Ъ' является простой, ее можно в направлении оси Оз. Таким образом, равенство вильными в направл (6.56) достаточно доказать для случая замкнутой о ас вильной в направлении оси Оз. Итак, пусть замкнуты область У С С является правильнои в направлении оси я. то зн, мя О . Э ачит что она ограничена двумя и г = щ(х,у, где поверхностями Ф1 и Фз вида г = ~р1(х,у) и г = щ(х,у, д на плоскости ости и удовлетворяют неравенству у1(г,у) «рз(х,у), ()у) О х ЕВ, атакж е цилиндрической поверхностью з с Оя. По п авилу вычисления ющими параллельными оси Оя. о р тпробвого интпеграла по правильнои области 367 б.10. Формула Остроградского — Гаусса П ченные двойные интпегральь по области Р можно заолученны и вшо ого менить равными им и оверхностпньмаи инпьегралальи в р рода по поверхностям г и Ф Ф причем для учета знаков двоиных интегралов для поверхно хности Фг нужно выбрать верхнюю — нижнюю.
К этим интеграсторону, а для поверхности Фь — ни лам обавнм равный нулю поверхностны р й интег ал по внешнеи стороне боковой поверхности Фз (цилиндриче к " рхн ской нове ости ными оси Ог). В итоге получим с образующими, параллельными — йхдудг = Ядхду+ Ядхду+ Фь Фь + Ядхду = Я(х, уь г) дхду, Фа Ф что равносильно (6.56). ~ Формулу строгр О адского — Гаусса можно также записать в виде (Рсогсс+ Ясов,В+ Ясов 7) дЯ = — + — + — Ихдудг, (6.57) где сова, сов~3, сову — направляющие ко у косин сы единичного вектора впешней нормали к р паве хности Ф. Замечание 6.1. Формулу Остроградского — Гаусса можно распространить на пр на произвольную ограниченную пространг а Ф которой состоит из конечного числа замкнутых кусочно гладких поверхн бл осьпей область ).
П и этом в левой части форму- этом случае имеет полости). ри этом в лы Остроградского — аус — Г сса поверхностный интеграл следует бл и У т.е. необходимо суммировать б ать вдоль границы о асти Р 368 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ поверхностные интегралы по всем поверхностям, составляющим границу, причем для внешней поверхности выбирается внешняя сторона, а для внутренних — внутренняя. Чтобы доказать такое обобщение формулы Остроградского — Гаусса, достаточно соединить произвольными гладкими поверхностями внешнюю часть границы области У с внутренними.
Формула Остроградского — Гаусса используется во многих приложениях. Одно нз ее возможных применений — вычисление интегралов по замкнутым поверхностям сведением их к тройному интегралу или, наоборот, вычисление тройных интегралов с помощью поверхностных (аналогично тому, как площадь плоской области может быть вычислена с помощью криволинейного интеграла). Правая часть формулы (6.55) Остроградского — Гаусса равна объему замкнутой области $', если функции Р, Я, В удовлетворяют условию дР дЯ д — + †+ = 1.
дх ду д» (6.58) Например, объем области К, который обозначим также через К, можно найти при помощи поверхностного интеграла 1 /Г Ъ' = — ~хауоя+ упяпх+ г<ЬИу, (6.59) Ф вычисляемого по внешней стороне замкнутой поверхности Ф, ограничивающей эту область. Нетрудно выписать целый ряд аналогичных формул, используя различные подходящие комби- нации функций Р, Щ В. Следствие 6.1. Пусть С вЂ” объемно односвязная область в Кз и функции Р(х,у,я), Я(х,у,г), В(х,р,я) непрерывно дифференцируемы в этой области.
Для того чтобы поверхностный интеграл от функций Р, Я, В по любой замкнутой поверхности Ф С С равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выпол- 369 6.10. Формула Остроградского — Гаусса нялось равенство дР(х,у,х) дЯ(х,у>2) дВ(х>у,з) 0 ' ' ) Е С (660) д + д + д ) (х~У~х дх ду дг < Достаточность следует непосредственно из формулы Остроградского — Гаусса, а необходимость докажем от противного. Пусть поверхностный интеграл от функций Р, Я, В по любой замкнутой поверхности равен нулю, в то время как в некоторой точке М,(х,;у,;к,) Е С равенство (6.60) не выполняется. Для определенности предположим, что дР(х„, у„, х„) дЯ(х„у„г„) дВ(х„у„х,) В силу непрерывности этих частных производных такое неравенство выполнено и в некоторой окрестности ЩМ,) С Ъ' точки М,.
Но тогда — + — + — Ихнах ) О, о(М,) а в соответствии с формулой Остроградского — Гаусса поверхностный интеграл по внешней стороне замкнутой поверхности, ограничивающей эту окрестность, является положительным, что противоречит исходному предположению. ° Пример 6.10. С помощью формулы Остроградского Гаусса вычислим поверхностный интеграл второго рода 1= х йусЬ+у Йзйх+г Ихду по внешней стороне Ф сферы х + у + 2 = В . 2 2 2 2 370 В. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В соответствии с (6.57) имеем 1 = (2х+ 2у+ 2г) Йхг1уг1г, где У вЂ” замкнутый шар х2+ у2+ г2 ( В2. Для вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам х = г вгпд сов <р, у = гвгпд вшу, д Е [О, я), 22 Е [О, 2я).
г =гсовд, С учетом равенства г1хг1угЬ = г2 вшдгЬ г1дгйр получим 1 = 2 гор сЮ (в!пдсову+ в!пдв1п~р+ говд)гт втВ йг = о о о 2л = — г гор г ((сов22+вшд)вгп д+в1пдсовВ) сй. 11~ Г Г 2 4 / о о Так как л л 1 Г. в1пд сов Вг1В = — / в1п2дгВ = О, 2,/ о о то второе слагаемое в подынтегральной функции двойного интеграла можно опустить. В результате находим 2л л .гг4 Г Г 2 1 = — ~ гор~ (сов~р+вш~р)вш ВЖ= 4,г' о о д4 = — / (сов<р+в1п<р)гор в1п Вгй=О. 4,г' 371 Волросьг и задачи Вопросы и задачи 6.1. Пользуясь явным заданием поверхности, вычислить площади: а) части гиперболического параболоида ав = ху, ограниченной цилиндрической поверхностью х + у = а~; б) части зллиптического параболоида 2ая = х~ + у~, ограниченной цилиндрической поверхностью (хе + у~)в = 2а~ху; в) части конической поверхности г~ = 2ху, отсекаемой плоскостями х+ у = 1, х = О, у = 0; г) части конической поверхности я = ~/хе+ у~, ограниченной цилиндрической поверхностью х~ + у~ = 2х.
6.2. Пользуясь параметрическим заданием поверхности, вычислить площади: а) части геликоида х = т сов гр, у = гешу, в = гир, г е [О, а), ~р Е [0> 2х[; б) поверхности торах=(б+асов4)сову, у=(б+асоеф)еппр, в = азгпу при 0 ~ (а ~ (б и <р, Ф Е [О, 2я). 6.3. Вычислить площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями: а) х~ + у~ = вв/3, х = О, х + у+ я = 2а, а > 0; б) Я = г/хе + Уз, х + 2е = а, а > О. 6.4.
Вычислить поверхностные интегралы первого рода по заданной поверхности Ф от заданной функции: а) г" (у,я) = ~/у~ — «ч, Ф вЂ” часть конической поверхности х~ + у~ = в~, ограниченная цилиндрической поверхностью х~ + + у2 ав. б) у(х,у,я) =х+у+я, Ф вЂ” полусферах~+у~+я~=а~, я>0; в) г(х,у) = х + у~, Ф вЂ” граница тела, заданного неравенствами ~/хе+уз ( в (1; г) ~(в) = в, Ф вЂ” часть геликоида х = и сов о, у = гг е1пе, в = е прииЕ[О,а) иоб[0,2я]; 372 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ д) Дх,у,г) = ху+уз+ ях, Ф вЂ” часть конической поверхности я = „/х2+ у2, ограниченная цилиндрической поверхностью х2 + у2 2ах 6.5.
При эаданной поверхностной плотности рл(М) = рая/а в точках М поверхности вычислить массу: а) части поверхности я = (х2 + у2)/2 при я < а; б) полусферы х2 + у2+ г2 = а2 при л > О. 6.6. Вычислить статические моменты относительно координатных плоскостей однородной треугольной пластинки х + + у + я = а, х > О, у > О, я > О с поверхностной плотностью ре = сопеФ. 6.7. Вычислить момент инерции относительно оси 02 части однородной (с поверхностной плотностью ре = сопв2) конической поверхности х2+ яв = у2, у > О, ограниченной цилиндрической поверхностью х2 + у2 = а2.
6.8. С какой силой однородная (с поверхностной плотностью ре = сопяФ) поверхность х = г сов у, у = г в1пу, я = г при О < а < < г < 6 и <р Е [О, 2я] притягивает материальную точку массой т, находящуюся в начале координат? 6,9. Вычислить общие поверхностные интегралы второго рода: а) хдусЬ+ у<ЬсЬ+ лдхду, где Ф вЂ” внешняя сторона Ф сферы х +у +я =а; б) (у — я) Ну <Ь + (я — х) ~Ь ~Ь + (х — у) Ых Ыу, где Ф— нижняя сторона части конической поверхности 2 = ~/х2+у2 при х Е [О, Ь]; 373 Вопросы и задачи в) х Иу1Ь+у д»1(х+» 4(хс(у, где Ф вЂ” внешняя сторона Ф части сферы х + уг +»г = 1 при х 3: О, у ) О, » ) О.
6.11, Доказать, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, и вычислить криволинейные интегралы: (газ; -4) а) хйх+у Йу — » сЬ; (1;1;1) (6;1;1) б) у»с(х+х»4(у+хрсЬ. 0;г;з) 6.12. Вычислить работу силы Р вдоль контура Ь, обходи- мого против часовой стрелки, если смотреть из точки М: а) Р = хй+ уу +»16, Ь вЂ” окружность, по которой плоскость х = 2у пересекает сферу хг+ уг+»2 = Вг, М(2В;0; 0); б) Р = у»1+х»у+ху)с, 2 — эллипс, по которому плоскость 2» — Зх = 6 пересекает цилиндрическую поверхность хг + уг = 1, М(2; 0; 0). 6,10. Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейные интегралы: а) усЬ+»ду+ х1Ь, где Ь вЂ” окружность, полученная ъ пересечением сферы х +уз+»г =а плоскостью х+у+»=0 и обходимая против часовой стрелки, если смотреть из точки (1;0;0); б) (уг — »2) 4(х+ (»г — хг) ф+ (х — уг)сЬ> где Ь вЂ” граница сечения куба 0 < х < а, 0 < р < а, 0 <» < а плоскостью х+ у + +» = За/2, которая обходится против часовой стрелки, если смотреть из точки (2а;0;0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
