VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поток векторного поля и дивергенция Пусть в пространственной области .0 задано ееищориое поле а(М). Выберем гладкую двустороннюю поверхность Я в В (не обязательно замкнутую) и а(М) зафиксируем с помощью единич- и(М) ного вектора п,(М) нормали одну Я из ее сторон (рис. 7.9). В слу- М чае замкнутой поверхности Я зафиксируем ее внешнюю сторону, полагая, что тв(М) — единичный вектор внешней нормали. Рис. 7.9 398 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Поверхностный интеграл ьвв = а(М) п(М) дЯ = а„(М) йЯ, (7.27) где а„(М) = а(М) п(М) — проекция вектора а(М) па иаправление единичного вектора п(М), называют потоно.н венторново поля а(М) через поверхность Я в направлении, заданиом выбором единичного вектора нормали к Я.
Величипа Яв представлена поверзностныи интеерааои первого рода от функции а„(М) = а(М)а(М). Для его существования достаточно, чтобы векторное поле а(М) было непрерывным в Р или хотя бы в точках гладкой поверхности Я. При изменении ориентации поверхности, т.е. при выборе противоположной стороны этой поверхности, значение Яв изменит знак, так как изменит знак проекция ав(М). Если поверхность Я такова, что в каждой ее точке М векторы а(М) и п(М) составляют острый угол (в этом случае говорят, что векторные линии пересекают поверхность в направлении иормаяи к ией), то Я8 > О, поскольку а„(М) > О, М Е Я. Если же в каждой точке М поверхыости векторы а(М) и п(М) составляют тупой угол (векторные линии пересекают поверхность в направлении, противоположном вектору нормали), то а„(М) < О, МЕЯ,иЯЯ<0. Поверхпость Я может быть векторной поверхностью векторного поля а(М) или его векторной трубной В этом случае поток вектора а через Я равен нулю, так как а(М)п(М) = О, М Е Я, в силу ортогоиальиости вектора а(М) вектору а(М) нормали к Я в каждой точке поверхности (см.
7.4). Понятию потока векторного поля можно придавать различные физические интерпретации, выбирая разные физические трактовки векторного поля. Сам термин „поток" заимствован из гидродинамической задачи вычисления объемного расхода жидкости через заданпую поверхность. Если векторное поле 399 7.5.Поток векторного поля и дивергенция е(М) описывает поле скоростей при течении жидкости в области Р, то объем жидкости, проходящий через элементарную площадку еБ(М) в окрестности точки М Е Я С Р в единицу времени, равен ЫфМ) = п(М)п(М) НЯ(М).
Интегрирование по поверхности Я даст объем жидкости ь7 = е(М)п(М) еБ(М), (7.28) Я = 9(М)п(М) еБ(М). Как и расход жидкости через поверхность, тепловой поток может иметь положительное, нулевое или отрицательное значение. Отметим, что нулевое значение теплового потока отнюдь не означает, что через поверхность нет теплообмена. В этом случае можно лишь констатировать совпадение количеств теплоты, проходящей через поверхность в противоположных направлениях. Пример 7.8.
Рассмотрим силовое поле а(М) тяготения, создаваемое точечной массой то, помещенной в начале координат (см. пример 7.5). Это поле описывается векторной проходящий в единицу времени через всю эту поверхность, т.е. объемный расход жидкости через поверхность Я. Как видим, объемный расход жидкости через поверхность Я равен потоку векторного поля скоростей жидкости через Я. Пусть векторное поле п(М) в области М описывает плотность теплового потока. Тогда количество теплоты, проходящей в единицу времени через элементарную площадку сБ(М), в окрестности точки М е Я равно й~(М) = 9(М)те(М) ИЯ(М).
Поэтому тепловой поток через поверхность Я (т.е. количество теплоты, проходящей через Я в единицу времени) равен потоку векторного поля 9(М) через поверхность Я: 400 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ функцией а(г) вида (7.13). Для потока этого векторного по- ля через поверхность о'имеем | Г г Г соя(г,тз) ать «Б = — Сгпо / — зз «о = — Сизо / ' «~ = -Сгноил, ,( ~ ~з / ~,.р л Я я где тз — единичный вектор нормали к поверхности о', а соя(г, и) а= ~12 Ы Величиной йл измеряется зззелесмым уеол*, под которым поверхность о' видна иэ начала координат.
уР Рассмотрим поток векторного поля п(М) через замкнутую поверхность о. Векторное поле будем трактовать как поле скоростей течения жидкости. В этом случае положительное значение потока векторного поля через замкнутую поверхность Я означает, что из области, ограниченной поверхностью о, вытекает жидкости больше, чем в нее втекает. Значит, в области имеются точки или подобласти, в которых жидкость образуется (например, происходит образование воды при таянии снега или льда). Точки такого рода называют мсгпочмимален вемтпормого полл. Аналогично отрицательное значение потока через поверхность о означает, что в область втекает жидкости больше, чем из нее вытекает.
Значит, в области есть точки, в которых жидкость исчезает (например, испаряется или замерзает). Такие точки называют сзззомалзм вемгвормоео гзолв. Источники и стоки могут быть точечными или распределенными. На наличие точечных источников в области указывают 'Под телесным углом понимают часть пространства, заключенную внутри конической поверхности. Телесный угол измерлют площадью единичной сферы, вырезаемой конической поверхностью, причем центр сферы расположен в вершине конической поверхности. Единица измерении телесного угла — стерадиан, выражающий величину телесного угла, который на единичной сфере вырезает площадь, равную единице.
7.о. Поток векторвого паля я дявергевлвл 401 векторные линии, начинающиеся в области, а на наличие точечных стоков — векторные линии, заканчивающиеся в области. На рис. 7.10 точка М1 возникновения векторных линий является источником, а точка Мз окончания векторных линий— стоком. и(~) Риа. 7.10 Точечный источник или сток характеризуют интпексивностпью, равной объему жидкости, которая возникает или исчезает в этой точке в единицу времени, а распределенные источники и стоки — плотностью интенсивности, т.е. количеством жидкости, возникающей или исчезающей в единице объема в единицу времени.
Интенсивность стоков удобно считать отрицательной, полагая, что сток — зто источник отрицательной интенсивности. Тогда поток Я векторного поля скоростей через поверхность Я получает естественную интерпретацию как суммарная интенсивность всех источников и стоков в области, ограниченной этой поверхностью. Понятия источника (стока) и его интенсивности в задачах различного физического содержания приобретают различный смысл. Так, в случае векторного поля электрической напряженности роль источников (стоков) играют положительные (отрицательные) заряды, а их интенсивность измеряется величиной этих зарядов. Если же векторное поле описывает тепловой поток, то источники и стоки характеризуют выделение и погло- 402 7.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ щение теплоты, причем интенсивность источника (стока) представляет собой количество теплоты, выделяемой (поглощаемой) в единицу времени. Остановимся на случае распределенных источников векторного поля. Такие источники могут быть распределены по некоторой области пространства, по некоторой поверхности или линии.
Если источники распределены по области Р, ограниченной замкнутой поверхностью о', то отношение потока 1~8 векторного поля через поверхность Я к объему Ъ' области Р есть средняя плотность источников векторного поля в области Р. Зафиксировав некоторую точку М, полагая, что область Р содержит М, перейдем к пределу при е1о -+ 0 (Ип — диаметр области Р): 1пп — = 1пп — ~ пеево. 98 . 1 Г л„-+о Ъ' лв-+о Ъ'.1 Я (7.29) 'У.К. Клиффорд (1845 — 1879) — английский математик. Если этот предел существует, то его значение определяет интенсивность распределенного источника векторного поля в точке М. Отметим, что этот предел аналогичен пределу, определяющему плотность вещества в точке (см.
7.1). Предел (7.29), если он существует, называют дмвереемпиеб (иногда расходимостью) векторного поля а в точке М Е Р, заданного в пространственной области Р, и обозначают через А1уп. Символ Жт образован из первых букв латинского слова йтегбеп11а — расхождение. Этот символ, как и сам термин „дивергенция", ввел в 1878 г. У.К. Клиффорд*.
Величину с противоположным знаком Дж.К. Максвелл называл конвергенцией и обозначал сопи (от латинского слова соптегяо — схожусь). Дивергенция от а векторного поля а в точке М есть скаляр (действительное число). Рассматривая дивергенцию в каждой точке области определения векторного поля а, мы получаем скалярное поле «11та. Обратим внимание на то, что градиент 403 7.5.Поток векторного павки дввергекцке ягади скалярного поля и есть векторное поле, в то время как дивергенция 61ва векторного поля а есть скалярное поле. Дивергенция векторного поля в заданной точке, как предел отношения потока векторного поля к объему, не связана с выбором системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
