VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В каждой точке М боковой поверхности ов области К единичный вектор а(М) иормали к поверхности перпендикулярен вектору а(М), т.е. а(М)а(М) = О, М е зв. Поэтому поток векторного поля через боковую поверхность ов равен нулю, и для сечений о1 и Яз векторной трубки имеем (7.57) апеБ = аалто, н(М) Рис. 7.17 423 7.7. Простеишие типы векторных полей (7.58) йч8геЬи = О, которое в прямоугольных координатах ж1, ж2, жз имеет вид дзп дзп дзи — + — + — =О. дтз дтз дтз (7.59) Это уравнение называют уравнением Лапласа, его решения— еармоническими функциями. 'П.С.Леллас (1749 — 1827) — французский астроном, математик и физик.
где векторы нормали на поверхностях Я1 и Я2 выбраны по направлению векторного поля, т.е. на одной из этих поверхностей нормаль по отношению к области Ъ' внешняя, а на другой— внутренняя. Таким образом, поток соленоидального поля а(М), М Е Р, через любое сечение векторной трубки постоянен. Поэтому векторные трубки непрерывного соленоидального поля, поток в которых отличен от нуля, не могут начинаться или обрываться внутри области Р.
В самом деле, если бы векторная трубка начиналась или заканчивалась в точке М Е Р, т.е. площадь ее поперечного сечения обращалась бы в нуль, то в этой точке модуль вектора а стремился бы к бесконечности, что противоречит условию непрерывности поля. Это условие будет нарушено и в случае, если векторная трубка начинается или заканчивается внутри области и ее торец имеет конечную площадь.
Следовательно, векторные трубки такого поля либо замкнуты, либо выходят на границы области. В прикладных задачах большую роль играют векторные поля, которые являются одновременно потенциальными и соленоидальными. Такие поля не имеют ни вихрей, ни источников, и их называют лапласовымп* или гармоническими векторными аоллмп. Так как, согласно условию потенциальности поля, а = 8гас1и, а в силу условия его соленоидальности Йта = = О, для потенциала и(М) лапласова векторного поля получаем уравнение 424 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Уравнение Лапласа в 1761 г.
изучали Л. Эйлер и Ж.Л. Даламбер применительно к задачам гидромеханики, а в 1782 г. его использовал П.С. Лаплас при построении теории гравитационного потенциала. Оно является одним из основных уравнений математической физики. Примером лапласова поля является центральное силовое поле, создаваемое помещенной в его центре материальной точкой или точечным электрическим зарядом, поскольку, как установлено выше, оно одновременно и потенциально, и соленоидально. Дополнение 7.1. Безвихревое поле в многосвязной области При изучении простейших типов векторнмл полей (см. 7.7) использовалось понятие поверхностно односвлзвой области.
В такой области любой контур является границей некоторой лежащей в области поверхности. В поверхностно связных областях понятия безвихревого поля и потенциального поля совпадают. Чтобы пояснить термин „поверхностно односвязная область", рассмотрим два примера. Полый шар, т.е. область, заключенная между двумя концентрическими сферами (рис. 7.18), является поверхностно односвязной областью.
А область, ограниченная сферой и цилиндром меньшего радиуса (внутри сферы, но вне цилиндра, рис. 7.19), не является Рис. 7.19 Рис. 7.18 Д.7.1. Беааихреаое поле в миогосалаиой области 425 поверхностно односвязной, поскольку на контур, охватывающий цилиндр, нельзя натянуть поверхность, целиком лежащую в области. В этом параграфе под многосвязной областью будем понимать пространственную область,неявляющуюся поверхностно односвязной. Рассмотрим безвихревое векторное поле а(М), непрерывно дифференцирденое в многосвязной области Р, получаемой в пространстве изъятием двух прямых круговых цилиндров Я1 и Яз с параллельными осями (рис. 7.20).
В силу определения безвихревого поля имеем гоФ а(М) = О, М Е Р. Поэтому для любого контура Х, не охватывающего оба цилиндра или один из них (контур Х1 на рис. 7.20), согласно теореме Стокса, циркуллцил Гг. по контуру Х равна нулю. Однако, если контур охватывает один из цилиндров или оба цилиндра (контуры Х з, Хв, Х4 на рис. 7.20), на этот контур уже нельзя на; тянуть поверхность, целиком лежащую в Р, и теорема Стокса уже не позволяет сделать вывод, что циркуляция равна нулю. Таким образом, следует ожидать, что безвихревое поле может не быть бесциркуляционным и, следовательно потенциальным. Рис. 7.20 Пример 7.15. Рассмотрим стационарное плоское осеан.нлсетричное поле плотности установившегося теплового потока в достаточно длинной трубе.
Эту трубу будем представлять как область между двумя соосными прямыми круговыми цилиндрами с радиусами сечений Вв для внутренней стенки трубы и Хс для внешней стенки (поперечное сечение Р трубы пока- 426 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Рис. 7.21 эано на рис. 7.21). Это поле можно считать осесимметричным, а если предположить, что материал трубы однородный, то и плоским.
Пусть приходящийся на единицу длины трубы тепловой поток Ч' направлен от внутренней цилиндрической поверхности трубы к наружной. В силу осевой симметрии плотность теплового потока в любой точке М цилиндрической поверхности радиуса г Е [Во, В) одинакова и равна д(М) = ьЛ((2кг), а вектор д плотности теплового потока перпендикулярен этой поверхности.
Поэтому векторное поле п(М) в плоской области 1Э определяется векторной функцией (7.60) где г — радиус-вектор точки, началом которого является точка 0 пересечения оси трубы с плоскостью поперечного сечения (см. рис. 7.21). Таким образом, поле вектора плотности теплового потока в трубе является осевым. В соответствии с примером 7.13 ротор этого поля тождественно равен нулевому вектору, т.е.
поле является беэвихревым. Циркуляция векторного поля по окружности Ь радиуса т Е [Ле, В] с центром на оси трубы равна нулю, поскольку в любой точке М Е Ь такого контура вектор д(М) ортогонэлен касательному вектору Ф(М) к контуру Ь и <7(М)с(М) = 0 на всем контуре Х. Д.7.1. Беавилревое поле в миогосвлаиой области 427 Покажем, что циркуляция равна нулю по любому контуру, охватывающему внутреннюю поверхность трубы.
Действительно, возьмем наряду с окружностью Х произвольный простой контур Хг, однократно охватывающий эту поверхность (см. рис. 7.21), не обязательно лежащий в плоскости поперечного сечения трубы, и соединим какие-либо точки А Е Ь и В Е Х1 кривой, расположенной в трубе, и по этой кривой произведем разрез. Контур Х*, состоящий из Х, Хг и дважды пройденного разреза АВ, уже не будет охватывать внутреннюю поверхность трубы. На такой контур можно натянуть поверхность, целиком принадлежащую .О. Поэтому циркуляция по такому контуру в безвихревом векторном поле, согласно теореме Стокса, равна нулю.
Но значения криволинейного интеграла по разрезу, проходимому дважды, взаимно уничтожаются, и мы заключаем, что циркуляции по контурам Х и Х1 равны или максимум отличаются знаком. Но циркуляция по контуру Х равна нулю. Следовательно, равна нулю и циркуляция по контуру Х1. Итак, циркуляция рассматриваемого векторного поля по любому контуру, целиком расположенному в области Х1, равна нулю, т.е; зто поле бесциркуляционное и поэтому потенциальное.
Чтобы найти потенциал этого поля, можно вычислить линейный интеграл от точки Ме на внутренней поверхности трубы до произвольной точки М. В качестве пути интегрирования можно взять кривую, составленную из дуги МеМ1 окружности радиуса Во и отрезка М1М вдоль прямой, проходящей через точку О. При этом интеграл по дуге окружности будет равен нулю, и мы получим Г т Г Я т и(М) — п(Ме) = / 17 — с1т = ( — т-г1т = т / 2ятз м~м яо т Я Г<Б. Я г Ч т = — ~ — = — 1пт~ = — 1п —. (7.61) 2я,/ т 2я ~ло 2я Ве яо 428 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Найденный потенциал п(М) векторного поля д(М) связан с распределением температуры в стенке трубы. Действительно, из курса физики известно, что вектор 17 плотности теплового потока при неравномерном распределении температуры Т, согласно закону Фурье*, пропорционален ее градиенту: (7.62) где в данном случае Л вЂ” коэффициент теплопроводности материала трубы.
Знак минус в равенстве (7.62) указывает на то, что тепловой поток распространяется в сторону убывания температуры. Это равенство означает, что скалярное поле — ЛТ является потенциалом векторного поля 17(М), т.е. п(М) = = — ЛТ+ С. Отсюда вытекает, что температура Т(г) на расстоянии г от оси трубы может быть вычислена по формуле Т(г) = Т(30) — — 1п —. ф г 2ХЛ )70 В общем случае проверить, является ли векторное поле бесциркуляционным, достаточно сложно. Поэтому часто приходится применять упомянутый выше критерий потенциальности векторного поля лишь в негативном смысле: наличия в области Р хотя бы одного контура, циркуляция по которому отлична от нуля, достаточно для того, чтобы рассматриваемое векторное поле не было потенциальным.
Пример 7.16. Иэ курса физики известно, что вектор напряженности магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным и тонким прямолинейным проводником, расположенным по оси Охз прямоугольной декартовой системы координат Ох1хзхз, в точке М(Х1,х2,хз) равен 21 т аз (Х1,Х2,ХЗ) = 2 2 ( — Х2 Х1 0) Х2+ хг 'Ж.Б.Ж. Фурье (1768-1830) — французский математик и физик. 429 Д.Т.1. Беааилреаое поле в ииогосвеаиой области где 1 — сила тока, протекающего в проводнике в положительном направлении оси Охз. В данном случае векторное поле определено всюду в пространстве за исключением точек оси Охз, т.е. в многосвязной области Х7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
