VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Поэтому можно записать где Ф вЂ” единичный касательный вектор к кривой г = г(8). Таким образом, скорость изменения поля и(М) при движении точки М вдоль заданной кривой можно представить как произведение абсолютной величины о = ~е~ скорости движения этой точки и производной скалярного поля по направлению вектора касательной к кривой. 443 8.1. Опервтор Ганплътопа Пример 8.2. Вычислим (тх~7) хт, где т — радиус-вектор точки, т.е. з =хзе1+хгег+хзез. Используя представление (8.7), заключаем, что для дифференцируемых векторных полей а и Ь Е1 д д аг — -аз— дхз дхз ь, ег д д аз — -а1— дхз дхз ез д д а1 — -аг— дхз дхз Ьз (а х 17) х Ь = з а;8гай Ь; — а Жч Ь. (8.10) з=1 Используя полученную формулу и соотношения 8гаа х; = е;, з = 1, 2, 3, жгет = 3, находим з (т х з ) хт = 1) х;е; — Зз = — 2т. дВ С7Х.Е+ — = О оз ~7В =О, (8.11) з'7хН вЂ” — = д, ~7Х) = р„ (е) где 0 — нулевой вектор; у(е) — вектор плотности электрического тока; ре — обьелзная нлотпность элентиричесноео заряда.
В записи уравнений Максвелла предполагается, что среда не- Пример 8.3. Оператор Гамильтона ~7 широко применяют в математических моделях различных физических процессов, например для записи уравнений электромагнитного поля. Электромагнитное поле описывается векторными полями .Е = = В(1,з ) и Н = Н(з,з ) электрической и магнитной напряженности (здесь Ф вЂ” время, а т — радиус-вектор точки). Дополнительно, учитывая электрические и магнитные свойства материальной среды, рассматривают векторные поля электрической Е) = ЩФ,т) и магнитной В = В(з,т) индукции.
Электромагнитные процессы в среде описываются системой уравнений Максвелла 444 а ОснОВы ВектОРКОГО АнАлизА подвижна относительно инерциальной системы отсчета, в которой введена прямоугольная система координат Ох1хзхз. В однородных и изотропных средах векторные поля электрической и магнитной индукции, а также векторное поле плотности электрического тока выражаются через векторные поля электрической и магнитной индукции уравнениями В=дд,Н, 3'00=7Л, .О = всей, где ео = 8,8542.10-ш и ро = 4к 10 " = 1,2566 10 е — '— Вм ' Ам электрическая и магнитная постоянные, которые связаны со скоростью с= 2,9979 10 м/с светав вакууме равенством сене = = 1/с~; е и,и — безразмерные величины, характеризующие относительную диэлектрическую и магнитную проницаемость среды; 7 — удельная электрическая проводимость.
Отметим, что в вакууме с = ай= 1. 8.2. Свойства оператора Гамильтона 1'. Для произвольных действительных чисел а и )3 17(ап+ 13е) = ахи+ 13Ри, т71аа+ /ЗЬ) = а~а + )3~7Ь, Чх(аа+)3Ь) = аЧха+Я1хЬ. (8.12) (8.13) (8.14) Как отмечено выше (см.
8.1), оператпор Гамильтона ~7 обладает свойствами и вектора, и линейного дифференциального оператора. Поэтому при преобразовании выражений с этим оператором необходимо использовать как векторную алгебру, так и дифференциальное исчисление. Рассмотрим свойства оператора ~7 более подробно. Далее будем считать, что и и е— дифференцируемые скалярные поля, а а и Ь вЂ” дифференцируемые векторные поля, которые в заданной системе координат Ох1хзхз имеют координатные функции а;(ям хэ, хз), 1 = 1, 2, 3, и Ця1, яз, хз), 1 = 1, 2, 3, соответственно.
о.2. Свойства оператора Гамильтона 2'. Для произвольных скалярных полей и, и и векторного поля а верны равенства ~7(ии) = и17о+ итуи, ~7(иа) = и(~7а) + а(~7и), 17х(иа) = и(17ха) — ах(~7и). (8.15) (8.16) (8.17) 3'. Для любых дифференцируемых полей р и д верно равен- ство ~7*(рва) =~7в(рсвд)+Т" в(рвчс), (8.18) где индекс С у векторного или скалярного поля означает, что при дифференцировании зто поле рассматривается как посто- янное и в дифференцировании не участвует. 4'. Если с = с1е1+ сзез+ сзез — произвольный вектор, то (8.19) 17(сха) = — с(~7ха), ~7х(сха) = с(~7а) — (с'17)а, ~7(са) = сх(~7ха) + (с~7)а.
(8.20) (8.21) Эти равенства вытекают из свойств скалярного и векторного произведений и правила дифференцирования произведения функций. В приведенных равенствах проявляется общее правило дифференцирования произведения: в произведении дифференцируется каждый сомножитель при фиксированных других сомножителях, а затем все варианты складываются. Чтобы сформулировать общее правило такого рода, введем символ *, обозначая через р в д либо произведение вектора р на скаляр д (вектора д на скзляр р), либо скалярное произведение векторных полей р и д, либо векторное произведение двух векторных полей.
446 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Эти равенства легко установить, записав их в координатах. Например, для равенства (8.19) имеем д д ~7(сха) = — (сгаз — сзаг) + — (сза1 — с1аз) + дх1 дхг д /даз даг '1 ( да1 даз '1 + — (с1аг — сга1) = — с1 ~ — — — ~ — сг ~ — — — )— дх, ~дхг дхз.l ~дхз дх1) ( даг да1 '1 — сз( — — — ~ = — с(~ха).
(, дх, дх~,~ Равенство (8.19) можно рассматривать как правило циклической перестановки для символического смешанного произведения ~уса. Вообще говоря, перестановка сомножителей в символическом смешанном произведении не допустима, так как меняет положение сомножителя относительно векторного оператора, а значит, и действие этого оператора. Единственным исключением из этого положения является случай, когда один из сомножителей — постоянное векторное поле.
Именно этот случай и зафиксирован в равенстве (8.19). Равенству (8.20) также можно дать трактовку с точки зрения векторной алгебры. Для двойного векторного произведения известно тождество (П1) ах(Ьхс) = Ь(ас) — с(аЬ). (8.22) Нетрудно увидеть, что равенство (8.20) внешне повторяет приведенное тождество, но при этом подчиняется определенным ограничениям на порядок сомножителей. Постоянное векторное поле с поменяло свое положение относительно оператора Гамильтона, что допустимо, так как действие оператора на постоянное векторное поле не распространяется.
Векторное поле а не может менять своего положения относительно оператора з7, оставаясь справа от него. Покажем, как с использованием свойств оператора Гамильтона можно вывести различные формулы векторного анализа. 447 8.2. Свойства олератора Гамваътова Пример 8.4. а.
Установим формулу для вычисления дивергенции векторного произведения двух дифференцируемых векторных полей а и Ь. Используя свойство 3',находим йч(ахЬ) =Ч(ахЬ) =Ч(асхЬ)+Ч(охЬс), где индекс С, как и вьппе, означает, что соответствующее векторное поле не участвует в дифференцировании. Применяя равенство (8.19) к каждому из слагаемых, получаем Ч(асхЬ) = — а(ЧхЬ) = -агоФЬ, Ч(ахи) = -Ч(Ьс ха) = ЬгоФа.
Остается сложить зти два равенства: йч(ахЬ) = Ьгоса — агосЬ. б. Аналогичным образом можно получить формулу для ротора векторного произведения векторных полей а и Ь. Из свойства 3' вытекает, что гоЦахЬ) = Чх(ахЬ) = Чх(асхЬ)+Чх(ахи). К каждому из слагаемых применяем равенство (8.20): Чх(осхЬ) = а(ЧЬ) — (аЧ)Ь = айчЬ вЂ” (аЧ)Ь, Чх(ахи) = — Чх(Ьсха) = — Ьйча+ (ЬЧ)а. Складывая равенства, получаем гоЦахЬ) = айчЬ вЂ” Ьйча+ (ЬЧ)а — (аЧ)Ь. в. Вычислим градиент скалярного произведения дифференцируемых векторных полей а и Ь. Применял правило дифференцирования 3', находим 8гай(аЬ) = Ч(аЬ) = Ч(асЬ) + Ч(аЬс), (8.23) 448 В.
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА где индекс С, как и вьппе, указывает на то, что векторное поле не участвует в дифференцировании. Используя равенство (8.21), заключаем, что Ч(асЬ) = ах(Ч хЬ)+ (аЧ)Ь, '7(аЬс) = ЬхЯха)+ (Ь~у)а. Складывая почленно два равенства, получаем 8таб(аЬ) = Р(аЬ) =ахЯхЬ)+(аР)Ь+Ьх(~уха)+(Ь~7)а. -,ф Подводя итог, сформулируем правила записи и получения формул векторного анализа с помощью оператора Гамильтона и основных операций векторной алгебры.
1. Оператор ~7 действует на все скалярные и векторные поля, стоящие справа от него, и не действует на поля, находящиеся слева от него. 2. Если стоящее справа от оператора '7 выражение представляет собой линейную комбинацию скалярных или векторных полей, то действие оператора '7 равносильно линейной комбинации его действий на каждое из этих полей. 3. Оператор ~7, действующий на произведение скалярных и (или) векторных полей, следует применить, согласно правилу дифференцирования произведения, к каждому сомножителю отдельно, считая остальные постоянными, и результаты сложить, а затем каждое слагаемое, используя правила векторной алгебры, привести к такому виду, чтобы справа от оператора ~7 стоял только тот сомножитель (скалярное или векторное поле), который в данном слагаемом принят переменным.
8.3. Дифференциальные операции второго порядка Вычисление градиенп1а скаяярного поля или дивергенция и ротора векторного аояя связано с их однократным дифференцированием. Поэтому градиент, дивергенцию и ротор в В.З. Дифферепппельпые операции второго порядке 449 8гад 8гади(М), 8гае( гога(М), йч йеа(М), го$ йча(М), поскольку операцию 8гао можно применить лишь к скалярному полю, а операции йя и гоФ вЂ” только к векторному полю. Остается пять возможных комбинаций гоФ 8гае(и = ~7х(~7и), йе гоФа = ~7(~7ха), йх 8гаг1и = ~7(~7и), 8гад йе а = ~7(~7а), гоФ гоФа = ~7х(~7ха). (8.24) Все варианты представлены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
