VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 61
Текст из файла (страница 61)
пример 8.9). Пример 8.11. Найдем формулы вычисления дифференци- альных операций теории поля в сферической системе коорди- нат. Учитывая формулы для коэффициентов Ламе в сферической системе координат (см. пример 8.9), для скалярного поля и(М) и векторного полл а(М) с координатными функциями а„, ав, а„в сферической системе координат находим ,ди 9в ди 9 ди 8гз»1и = я.— + — — + 'дг т дВ тзшВ дср' д /' гди'1 1 д /.
ди'1 1 дзи йч8гас1и= — — ( т — )+, — ~з1п — )+ тз дт ~ дт) тззшВ дВ ~ дВ) тззшВ доз' 1 д(тхаг) 1 д(авзшВ) 1 дач йча- + + тз дт тз1пВ дВ тзшВ д~р ' 9,' ( д(а„, зшВ) да„~ гоФ а— — — + тз1пВ ~ дВ ду ) яв 1» 1 да„д(та„) ~ ~„, 1» д(гав) да„'( т ~з1пВ д~р дг / т 1, дг дВ/ Как и в примере 8.10, эти соотношения справедливы лишь при т > 0 (см. пример 8.9). 479 Вопросы и задачи Вопросы и задачи 8.1. Пусть в пространственной области 17 задана дифференцируемая векторная функция а(т). Найти скорость изменения этой функции при движении точки вдоль кривой, заданной векторным уравнением т = т(г). 8.2. Вычислить '7х(сх7'(т)т), где с — постоянный вектор, т = ~т~ — длина радус-вектора т, а функция 7(т) дифференцируема.
8.3. Показать, что для производной Ь(ча) векторного поля а по направлению векторного поля Ь верно равенство 2(ЬЧ)а = ~7х(ахЬ)+ Р(аЬ) — а(ч7Ь)+ + Ь(~7а) — ах(~7хЬ) — Ьх(Чха). 8.4. Градиент скалярного поля кинетической энергии, приходящейся на единицу массы жидкости, выразить через векторное паве и скоростей этой жидкости. 8.5. Доказать формулы (а(т)ч7)т = а(т), ~7( — ) ='-'Рх( — ), где а(т) — векторная функция радиус-вектора т точки, т = ~т~ и с — постоянный вектор. 8.6.
Найти градиент и лапласиан от функций ст, 1п~т~ и ~т~™, т Е Ж, где т — радиус-вектор точки, а с — постоянный вектор. 8.7. Вычислить дивергенцию, ротор и лапласиан векторных полей ст, с1п)т), с~т~™ и т~т!"', т Е Ж, где с — постоянный вектор, а т — радиус-вектор точки. Для каждого из перечисленных векторных полей а(з ) найти Т7х(~7ха), ~7(ча) и (С~7)а.
480 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 8.8. Найти градиент скалярного поля с1 и дивергенцщо векторного поля г(сг), где с — постоянный вектор, а г— радиус-вектор точки. 8.9. Показать, что о~7~в-и~~с = ~(о~и-и~7ю), где и и е— дважды дифференцируемые в пространстве скалярные поля. 8.10. Показать, что знак смешанного пРоизведенил 919з9з векторов (8.60) совпадает со знаком якобиана отображения (8.59). 8.11.
Вывести формулу вычисления ротора векторного поля в криволинейных ортогональных координатах, используя представление проекций ротора как предельных циркуляций по контурам, отнесенных к площади, охватываемой контуром. СПИСОК РЕКОМЕНД,у ЕМОЙ .ПИТЕР АТ'УРЫ Учебники и учебные пособия Амосов А.А., Дубинскиб Ю.А., Конченова Н.В.
Вычислительные методы для инженеров. Мл Высш. шк., 1994. 544 с. Бахвалов Н.С., Жидков Н.Л., Кобельков Г.М. Численные методы. Мл Наука, 1987. 600 с. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. Т. 1. Мл Физматгиз, 1962. 464 с. Бугров Я.С., Никольские С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.
Мл Наука, 1981. 448 с. Будок Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. Мл Наука, 1965. 608 с. Волков Е.А. Численные методы. Мл Наука, 1982. 256 с. Демидович Б.П., Моран Н.А. Основы вычислительной математики. Мл Наука, 1970. 664 с. Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Твриигорева В.М. Математический анализ (специальные разделы): В 2 т. Т. 2. Мл Высш. шк., 1980. 296 с. Зорич В.А. Математический анализ: В 2 т.
Т. 2. Мл Наука, 1984. 640 с. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 т. Т. 2. Мл Наука, 1980. 448 с. Нльин В.А., Садовничиа В.А., Сеидов Бл.Х. Математический анализ: Продолжение курса / Под ред. А.Н. Тихонова. Мл Изд-во Моск. ун-та, 1987. 358 с. Каванджан Э.П. Интегральное исчисление. Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990. 60 с.
Калюикин Н.Н. Численные методы. Мл Наука, 1978. 512 с. Кальниикиб Л.А., Добротин Д.А., Жевержегв В. Ф. Специальный курс высшей математики: Прикладные вопросы анализа. Мл Высш. шк., 1976. 390 с. 482 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Крылов В.И., Бобков В.В., Мвнастырныа П.И. Вычислительные методы: В 2 т. Т.
1. Мс Наука, 1976. 304 с. Кудрлвивв ЛД. Курс математического анаяиза: В 3 т. Т. 2. Мп Высш. шк., 1988. 576 с. Крранш Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Пер. с нем. и англс В 2 т. Т. 2. Мс Наука, 1970. 672 с. Мышнис А.Д.
Лекции по высшей математике. Мв Наука, 1969. 640 с. Мышкис А.Д. Математика для втузов: Специальные курсы. Мс Наука, 1971. 632 с. Нанивв В.С., Фсвтпистпов В.В., Галкин С.В. Дополнительные главы высшей математики. Мс Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990. 56 с. Пискунов Н.С, Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: В 2 т. Т. 2.
Мс Наука, 1985. 560 с. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. Мс Наука, 1970. 492 с. Толстпов Г.П. Элементы математического анализа: В 2 т. Т. 1. Мс Наука, 1974. 472 с. Турчак Л.И. Основы численных методов. Мс Наука, 1987. 320 с. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. Мс Иэд-во МФТИ, 1994.
528 с. Фигшенгольи Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. 3. Мс Наука, 1966. 656 с. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Мс Наука, 1972. 622 с. Справочные издания и моноера95ии Алгксандрова Н.В. Математические термины: Спрюючник. Мс Высш. шк., 1978. 190 с. Бронштпгбн И.Н., Семендлев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся агузов. Мс Наука, 1986. 544 с.
Воднгв В. Тч Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы / Под ред. Ю.С. Богданова. Минск: Вышэйш. пш., 1984. 528 с. Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ: Справочное пособие для студентов втуэов и инженеров: В 2 т. Т. 1. Минск: Вьппэйш. шк., 1989. 288 с. 483 Градшньейн Б.С., Рыжик Е.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Мс Физматгиэ, 1963.
Г100 с. Дврвговцгв А.Я. Математический анализ: Справочное пособие длл преподавателей математики, инженерно-технических работников и студентов. Киев: Вища шк., 1985. 528 с. Зарубин В.С., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. Мс Изд-во МГТУ нм. Н.Э. Баумана, 1993. 360 с. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред, Ю.В. Прохоров.
Мс Сов. энцикл., 1988. 848 с. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплопшых сред: Пер. с англ. Мс Мир, 1974. 320 с. Соболь Е.М. Численные методы Монте-Карло. Мс Наука, 1973. 312 с. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулгр К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. Мс Мир, 1980.
280 с. Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике: Пер. с англ. Мс Высш. шк., 1990. 256 с. Задачники Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теорни вероятностей и математической статистике. Мс Высш. шк., 1979. 400 с. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
Мс Наука, 1977. 528 с. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред, Б.П.Демидовичи Мс Интеграл-пресс, 1997. 416 с. Квичгнова Б.В., Марок ХХ.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. Мс Наука, 1972. 368 с. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). Мс Высш. шк., 1994. 206 с. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В, Ефимова, Б.П. Демидовичи Мс Наука, 1986. 368 с. Сборник задач по механике сплошной среды: В 2 т. / Под ред.
М.Э. Эглипь Мс Московский Лицей, 1996. Т. 1. 396 сй Т. 2. 394 с. ПРЕДМЕТНЫЙ,у КАЗАТЕЛЬ Аддитивность интеграла двойного 32 -- кратного 181 -- определенного Ч1„ 49 — — тройного 103 — меры 155 — площади 19 Астроида Ч1, Зб1 Бета-функция Ч1 Биекция 1-74 Вектор нормальный плоскости ГП Величина случайная ХЧ1 — — двумерная ХЧ1 -- непрерывная ХЧ1 -- одномерная ХЪг1 Выборка ХЧП Гамма.-функция Ч1 Геликоид прямой Ъ', ЗЗЗ Градиент скалярного полк 381 Граница поверхности 321 Диаметр разбиения 20, 80, 99, 185 Дивергенция 402 Дксперсия ХЧ1 — выборочная ХЪЧ1, 843 -- исправленная ХЧП, 243 Дифференциал длины дуги плоской крввой П, 358 Длина кривой П Завихренность 409 Замена переменных 191 Значение узловое 228 — функции среднее 37, 105, 183, 340 Измельчение разбиения 24, 1б9 Инвариантность площади 19 Интеграл Дарбу верхний Ч1, 28, 171 — — низцщй Н1, 2б, 171 — двойной 21 — криволинейный второго рода 274 — — — — общего вида 275 — — первого рода 255 — Лапласа ХЧ1, 843 — линейный 407 — несобственный второго рода 92, 202 -- от неограниченной функции по ограниченной области 92 — — первого рода 84, 202 — — по неограниченной области 84 -- расходящийся 85, 203 -- сходящийся 85, 203 — — — абсолютно 90 — поверхностный второго рода 348 -- первого рода 335 — повторный Ч1, 40 — Пуассона Ч1, 88 — Римана кратный 1бб — тройной 100 — и-кратный несобственный 202 Интенсивность источника (стока1 401 485 Интервал доверительный ХЧП Источник векторного поля 400 Исчерпывание монотонное 84, 201 Колебание функции Ч1 Компакт 1-189, 27 Контур простой П, 272 Координаты криволинейные в плоской области 65 — -- пространственной области 114 — полярные обобщенные 76 — сферические обобщенные 127 — точки барицентрические ХП1, 228 -- сферические Ч, 112 -- цилиндрические Ч, 11В Косинус направляющий вектора П1, 347 Край поверхности 321 Кривая плоская П вЂ” спрямляемея П вЂ” трансверсаяьная векторному полю 396 Критерий Дарбу 176 — Римана 177 — существования двойного интеграла 26 — — кратного интеграла 177 -- тройного интеграла 101 Лапласиан 450 Лемма Дарбу 172 Лемниската Бернулли П, 262 Линейность интеграла двойного 30 -- кратного 180 — — тройного 102 Линия векторная 390 — сюювея 390 Линия тока 391 Лист Мебиуса 326 Мера внешняя 155 — внутренняя 155 — (Жордаиа) множества 156 — промежутка и-мерного 153 Метод конечных элементов ХП1 — Монте-Карло 238 — Рунге П, Ч1, 221 — статистических испытаний ХП1, ВЭ7 Многочлеи интерполяционный Лагранжа П, 223 Множество (жордановой) меры нуль 156 — измеримое (по Жордану) 155 — объема нуль 98 — площади нуль 18 — правильное 183 — частичное 164 — элементарное 154 Момент янерции геометрический Ч1, 1ЭЭ -- осевой 129 -- относительно оси Ч1, 128 --- плоскости Ч1, 12В -- полярный 139 — — центробежный 135 — статический Ч1, 120 Монотонность интеграла кратного 181 — меры 154 — пяощади 19 Неотрицательность меры 154 — площади 19 Нормаль к поверхности Н, 222 486 ПРЕДМЕТНЬИХ УКАЗАТЕЛЬ Область замкнутая квадрируемая 17 -- кубируемая 98 — — многосвязная 293 — — односвязнвя 293 -- простая 196 — интегрирования 21, 100 — — правильная 46 — многосвязная 292 — объемно односвязыая 364 — односаезнвя 292 — поверхностно односвязнае 362 — правильная 105 — частичнвл 20, 79, 328 — з-цилиндрическая 105 Объединение разбиений 170 Объем выборки ХЧ11 — тела Ч1, 98 Ожидание математическое ХЧ1 Оператор Гамильтона 438 — Лапласа 450 — ыабла 438 Операция дифференциальная второго порядка 449 -- первого порядка 449 Определение вероятности геометрическое ХЧ1 Ось тела цеытральная 133 Отображение обратное 1-75, 68 Оценка ХЧП Параметр кривой натуральный П Параметры Ламе 467 Пластина 138 Плоскость касательная Ч, 328 — тела центральная 132 Плотность поверхыостная 138 — распределения вероятностей ХЧ1 Площадь поверхности 80 — фигуры плоской Ч1, 17 Поверхность векторная 396 — гладкая Ч, 322 — двусторонняя 324 — заданыая неявно 319 — — параметрически 320 -- явно 319 — замкнутая 321 — квадрируемэл 80 — координатная 114 — односторояняя 324 — простая 321 — цилиндрическая П1, 75 Поле 375 — векторное 375 -- безвихревое 417 — — беспиркуляционное 417 — — двумерное 384 -- дифференцируемое 389 -- лапласово 423 -- неоднородное 384 -- непрерывное 389 -- нестационарное 384 -- одномерное 384 -- однородное 384 -- осевое 387 -- осесимметричное 387 -- плоское 385 — — плоскопареллельное 385 — — потеицыальное 417 -- силовое 388 — — соленоидальное 421 — — стациоыарное 384 — — трехмерное 385 -- центральное 388 — двумерное 377 — неоднородное 376 487 Поле однородное 376 — скалярное 375 — — дифференцируемое 380 — — непрерывное 380 -- нестационарное 376 -- одномерное 378 — — осевое 378 -- осесимметричное 378 -- плоское 377 -- стационарное 377 — — центральное 378 — трехмерное 377 Порядок точности квадратурной формулы Ч1 — — кубатурной формулы 221 Постояннал циклическая 312 Потенциал векторный 430 — (скалярный) 417 Поток векторного поля 398 Правило цепное Ч Производная скалярного поля по направлению 381 Промежуток 153 — и-мерный 153 Разбиение 20, 79, 328 — множества 164 — отрезка Н1, 40 Распределение равномерное ХЧ1, 888 Расстановка пределов интегрирования 108 Расстояние между множествами 1Х, 171 Ротор 410 Среднее выборочное ХЧП, 888 Сток векторного полл 400 Сторона поверхности 327 Сумма Дарбу верхняя Ч1, 84 -- нижняя Ч1, 84 — интегральная 165 Дело Ч1, 98 — кубируемое Ч1, 88 — з-цилиндрическое 15 Теорема Гаусса 454 — об обратной функции Ч вЂ” — оценке интеграла двойного 35 -- — — — по модулю 35 ---- тройного 104 ----- по модулю 103 — — — кратного интеграла 182 ----- по модулю 182 — о неявной функции Ч, 887 -- среднем 340 -- — значения для интеграла двойного 36 ------ кратного 183 ----- тройного 104 Остроградского — Гаусса 406 Стокса 416 — центральная предельная ХЧ1, 848 'Тетраэдр 109 Толщина пластины 138 Тор Ч, 888 Точка кривой начальная П вЂ” поверхности внутренняя 321 -- неособал 322 -- особая 322 -- регулярная Ч, 888 Трапеция криволинейная Ч1, 75 Триангуляция замкнутой области 228 — многоугольника Ч, 887 Трубка векторная 397 488 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Угол телесный 400 Узел интерполяции П вЂ” квадратурной формулы Ч1 — кубатурной формулы 220 Уравнение Лапласа ХП, 422, 451 Уравнения Максвелла ХП, 442 — поверхности параметрические Ч, 220 Уровень доверия ХЧП, 242 Условие Липшнца 1-208, ЧП1 салигура квадрируемзл Ч1, 17 Формула Грина вторая 453 — — для многосвязной области 293 — — — односвлзной области 288 -- первая 453 — квадратурнзя Гаусса Ч1 — конечных приращений П вЂ” кубатурная 220 — Ньютона — Лейбница для криволинейного интеграза 299 — Остроградского — Гаусса 365 — парабол Ч1 Формула Симпсона ЧЬ 212 — средних Ч1 — Стокса 356 — трапеций Ч1 Функция гармоническая ХП, 422 — Лирихле 1-107, 22 — интегрируемая 21, 99 -- (по Риману) 165 — распределения вероятностей ХЧ1 — формы конечного элемента ХП1, 220 Центр месс Н1, 120 -- геометрический 140 Циркуляция векторного поля 407 хйисло псевдослучайное ХХ Элемент объема Пб — площади в криволинейных координатах 68, 330 -- поверхности 330 Якобиан Ч, бб, 112 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Основные обозначения 1 2 3 Двойные интегралы 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
