VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Цилиндрические координаты т, ~р, х точки М Е Й~ связаны с ее декартовыми координатами хм хз, хз (при стандартном расположении двух систем координат) соотношениями (11Ц х1 = тсоя~р, х2 1 я1п'р~ хз = х. (8.67) Нетрудно убедиться в том, что столбцы матрицы Якоби отображения (8.67) ортогональны, т.е. цилиндрические координаты являются ортогональными. Вычислим параметры Ламе для цилиндрической системы координат: =~/ 'у~ Ы'у=1, (868) = т, (8.69) (8.70) В соответствии с (8.64) дифференциалы длин дуг координат- ных линий в этой системе координат равны а в соответствии с представлением (8.65) дифференциал объема равен ИУ = тйпЬрйх.
Используя (8.66), находим дифференциа- лы площадок И8„„= т г1тйр, дЯ~, — — тйрйл и ЙБ„, = Йтйю д.8.к Операции в ортогоиалъвых криаоливейвьп~ коордииатах 471 Для ортов базиса в цилиндрической системе координат в соответствии с (8.60) и (8.67) получаем 1 ( дх1 дхг дхз~ д„= — ~е1 — + ег — + ез — ) = е1 сов у + ег вшу, Й1 дг дт дт ) 1 / дх1 дхг дхз'1 дт — — — ~е1 — +ег — +ез — ) = — ез вшу+ егсову, (8.71) " й~ ау ау ау) 1 / дх1 дхг дхз~ д, = — ~е1 — +ег — +ез — ) =ез. Нл 1, дз дз дз ) Убедимся, что базис д„, о„, д, является правым. Для этого вычислим смешанное произведение трех векторов: сову 31пу 0 — вшу сову 0 0 0 1 = сов 1р+ вш у = 1.
Отметим, что полученные соотношения справедливы при г ) О, так как при г = 0 отображение (8.67) не является взаимно однозначным. Действительно, все точки множества .0о = ((т; у; х) Е К": г = О, у Е [О, 2я), х = хо ) х1 = г 31пВ сов у, хг = гвшВ вшу, х3 = тсовВ. (8.72) Как и в случае цилиндрических координат, легко убедиться в том, что эти координаты ортогонвльные. при отображении (8.67) переходят в одну точку с декартовыми координатами х1 = хг = 0 х3 = яо ° Сферические координаты г, В, у (рис.
8.3) точки связаны с прямоугольными координатами хм хг, хз (при их стандартном взаимном расположении) уравнениями 472 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА х Рис. 8.3 В соответствии с (8.60) параметры Ламе для сферической системы координат имеют вид = 1, (8.73) Нв = = т, (8.74) = гвшВ. (8.75) Зная параметры Ламе, легко найти дифференциалы длин дуг координатных линий в этой системе координат: сЬ, = й', Мвя = ГАВ, Иве — — гв|пВсйр.
В соответствии с (8.65) для дифференциала объема получим сй' = г2вшддгИВИ1о, а в соответствии с (8.66) для дифферен- Д.8.1. Онераннн в ортогональных крнволннейных координатах 473 циалов координатных площадок получим Ид,в = тйтг10, ЙБЗ„, = = тгз»п060гнри г13, = твшВййр. Используя представление (8.60) базисных ортов в соответствующей прямоугольной системе координат, находим 1 ( дх дх дх~'1 д„' = — »1е» вЂ” +ег — +ез — ) = Н„~ дг дт дт ) = е» вшВ соз~Р+ ег вшВ вше»+ ез совВ, 1 дх» дхг дхз дв = — »1е» вЂ” +ег — +ез — ) = Й,~ дВ дВ дВ) = е» совВ сову+ егсовВ яшар — езвшВ, 1Г дх, дх, ЬД д р — — — ~е» вЂ” + ег — + ез — ) = — е» вш~»р+ ег сов р.
Нр ~, д<р д~р д~р ) Так как з1ПВсозф зшдзшф созд созОсозф созОзшф — вшΠ— вш 1р соз 1о 0 1 д двдр = = вш О вш ~р + сов 0 совг о» + совг В з1п ~р+ в»п 0 совг оо = 1, г г г Приступим к вычислению в ортогонвльных криволинейных координатах градиента скалярного поля и(М). Полагаем, что в криволинейных координатах д», дг, дз это поле представлено непрерывно дифференцируемой функцией и(д»,дг, дз). Выберем произвольную точку М Е.О. Ортонормированный базис д», дг, базис дг, дв, д„, является правым.
Отображение (8.72) теряет однозначность при т = 0: оно переводит множество Ц» — — 1(~р; В): В Е (О, я], ср Е (0,2я)) в начало прямоугольной декартовой системы координат Ох»хгхз (см. рис. 8.3). Поэтому полученные для сферической системы координат соотношения справедливы лишь при т ) О. ф 474 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА дз является базисом некоторой прямоугольной системы коорди- нат с началом в точке М. В этой системе координат градиент скалярного поля и(М) в точке М записывается в виде з 8гайи(М) = ~~~ д (М) — 1 дзу ~м где — ~ обозначает производную поля и(М) в точке М по дн дз,.
м направлению вектора д . Учитывая запись производной по направлению в координатах, а также правило дифференцирования сложной функции, заключаем, что ди ди 1 дх; 1 ди — =Е дл1 дх; Н1 дд~ Ну дд ' у = 1, 2, 3, где все частные производные вычисляются в точке М. В итоге получаем з 8тааи = ~~~ ф дн (8.76) .,Н;дд, Казалось бы, равенство (8.76) позволяет для системы ортогональных криволинейных координат ввести аналог оператора Гамильтиона Ч в соответствии с формулой 3 ,Н, д71 (8.77) и использовать этот оператор подобно обычному оператору Гамильтона. Однако у такого подхода нет тех преимуществ, которые мы имеем при использовании обычного оператора Гамильтона. Дело в том, что в случае криволинейных координат от точки к точке меняются не только координаты векторного поля, но и базисные векторы ~7~, дз, дз.
При дифференцировании векторных полей в результат необходимо вводить поправки на изменение базисных векторов. Д.8.1. Операции н ортогонааьных хрниолииейных хоорлниатах 475 Формулы для вычисления дивергенции векторного поля а(М) найдем, исходя из представления дивергенции как плотности потока векторного поля через замкнутую поверхность, т.е.
исходя из соотношения 1 Г йта(М) = Бш — ~ аззсБ, ех-+о У 7 (8.78) да| НЗНз Я*, = ~а1Н1Нг+ дд1 ддгддз. дд1 Точно так же можно записать потоки (~г и Щ, Яз и ф че- рез остальные грани. После сложения потоков через все шесть граней находим суммарный поток Г д(а1НЗНЗ) д(агНзН1) д(азНзНг) Д ~н ~ д + д + д ~ ~з~г"дз дз дг дз где 4~ — диаметр подобласти У С 11, ограниченной кусочно гладкой поверхностью Я с единичным вектором зз внешней нормали. В качестве подобласти У выберем ограниченный координатными поверхностями шестигранник ММ|МЗМзМ1*МЗЯМ3М' (см.
рис. 8.2) и вычислим поток векторного полл а через его грани. Нам необходимо предельное значение этого потока. Поэтому рассматриваемый шестигранник можно считать малым, а длины его ребер Ьдм Ьдг, Ьдз рассматривать как дифференциалы переменных дн дг, дз. Обозначим через а; координатные функции векторного поля а в координатах дм дг, дз. При этих предположениях заключаем, что поток через малую грань ММз Мз Мг с единичным вектором внешней нормали — дз Равен Юз = -а1аогз = — а1НгНз ддгддз. Аналогично поток через противоположную грань МзМ*М*М* с единичным вектором внешней нормали дз можно записать в виде 476 3.
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Разделив равенство на объем У шестигранника, равный У = = Н1НЗНзйд1 т1т72йдз, и перейдя к пределу, получим 1 (д(а1НгНЗ) д(агНзН1) д(азН1НЗ) 1 Формулы для вычисления ротора в криволинейных ортогонэльных координатах можно найти аналогично, вычислив координаты ротора как предельные значения циркуляций векторного поля по соответствующим контурам, отнесенных к площадям, ограниченным контурами.
Однако в данном случае удобен другой, более формальный путь. Рассмотрим частный случай скалярного поля и (М), заданного в криволинейных координатах функцией и(д1, дг, дз) = дт, которая зависит лишь от одной иэ криволинейных координат щ. В этом случае из (8.76) получим 8тадиг = д.(НЗ, что позволяет представить произвольное векторное поле а(М) в виде з а = ~~ а Н 8тэт1и„:. Это дает возможность провести вычисления частично в прямоугольной системе координат. Используя формулу (7.48), находим 3 таза(М) = ~~ тоз(а Н 8тат1 и ) = 1=1 з з = ~) а Н.тоз(8таби ) — ~~1 (8таоиу)х8тат1(а.Н1) = 1=1 1=1 3 3 =- ,'1 — ~х~ — ~ ~ .
(8.80) дд„ В правом ортонормированном базисе 171, аг, 17з верны соотно- шения дг х171 — — О, у = 1, 2, 3, и Я1 хЯЗ =ЯЗ) Ягхчз = Я1) чзхт21 = Яг. Д.о.1. Операции в ортогопальиых криполииейаых коордииатах 477 С учетом этих соотношений правую часть в (8.80) можно упростить: го1 а— д1 /д(азНз) д(озН2) 1 д2 (д(а1Н1) )+ Н2Нз ~, ддэ ддз ) НзН1 1. ддз д(азНз) ) дз (д(а2Н2) д(а Н ) дд1 / Н1 Н2 1, дд1 ддз Эту формулу можно представить при помощи определителя третьего порядка в виде дз НН д дяз азНз Н2Нз д д а1Н1 НзН, д да 2 а2Н2 гоФа(М) = (8.82) Йт8гайи — ~ — ( — ) + 1 / д Н2Нз дп 1 2 3 дд1 1 дд1 Пример 8.10.
Найдем формулы вычисления дифференциальных операций теории поля в цилиндрической системе координат. В случае левого ортонормированного базиса д1, 2 = 1, 2, 3, знак правой части в (8.81) и (8.82) следует изменить на обратный. Чтобы в криволинейных координатах получить формулу вычисления лапласиана скалярного поля, достаточно скомбинировать формулы для вычисления дивергенции и градиента. Градиент скалярного поля и(М), заданного в криволинейных координатах д1, д2, дз функцией и(д1, дз,дз), может быть вычислен по формуле (8.76). Подставляя координаты вектора 8гас1 и, представленные равенством (8.76), в формулу (8.79) вычисления дивергенции, получаем 478 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Учитывая формулы для коэффициентов Ламе в цилиндриче- ской системе координат (см.
пример 8.9), для скалярного поля и(М) и векторного поля а(М) с координатными функциями а„, а„, а, в цилиндрической системе координат находим ди ц„ди ди 8гз»1 и = 9„— + — — + 9» —, "дт т ду 'дл' 1 д / ди'1 1 д»и д»и йч8гас1и= — — ~т — ) + — — + —, т дтпл дт) тз дух доз' 1 / д(та„) да„да„'1 йча= — ~ " + — ~+т — "), Эти соотношения справедливы при т > 0 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
