VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 56
Текст из файла (страница 56)
зь=й Х1ХЗ Вопросы и задачи гз 7.1, Убедиться, что гравитационный потенциал (7.2) материальной точки массой те, помещенной в точку Ме, и электростатический потенциал (7.3) помещенного в эту точку точечного заряда де являютсл скалярными потенциалами центральных силовых палей, задаваемых при помощи (7.13) и (7.15) соответственно.
436 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 7.2. В чем различие между плоскопараллельным и плоским векторными полями? Т.З. Из курса физики известно, что при протекании электрического тока силой 1 по бесконечно длинному и тонкому прямолинейному проводу возникает магнитное поле. Вектор напряженности этого поля в точке М, не лежащей на проводе и имеющей радиус-вектор г(М) с началом в любой точке провода, равен 11(М) = 1хг(М), где 1 — вектор, направление которого совпадает с направлением тока, причем ~1~ = 1. В прямоугольной системе координат, ось Охз которой совмещена с проводом, найти выражения для векторной функции, задающей напряженность указанного магнитного поля, ее координатных функций и уравнения векторных линий.
Каковы свойства симметрии этого поля? 7.4. Какой вид имеют векторные поверхности, образованные векторными линиями центрального векторного поля, пересекающими произвольную прямую, не проходящую через центр этого полл? Что собой представляет векторная трубка такого полн? 7.5. Какой вид имеют векторные поверхности, образованные векторными линиями поля скоростей точек твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси (см. пример 7.6), если эти линии проходят через любую прямую, пересекающую эту ось? Что будет собой представлять векторная поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими прямую, перпендикулярную оси вращения, если тело к тому же перемещается поступательно вдоль этой оси (см. пример 7.7)? 7.6.
Вычислить дивергенцию векторного поля плотности теплового потока в стержне, рассмотренного в примере 7.4, и дать физическую интерпретацию полученного результата. 7.Т. Вывести уравнение (7.59) из уравнения (7.58). 437 Вопросы и задачи 7.8. Убедиться, что найденнал в примере 7.14 функция о(хг,хз,хз) является скалярным потенциалом заданного векторного поля. 7.9. Какой знак имеет поток (7.57) векторного поля вдоль векторной трубки, участок которой изображен на рис. 7.17? 7.10. Показать, что если а(М) = гоФЬ(М) = го1Ь" (М), М Е е Р, то разность векторных потенциалов Ь* и Ь соленоидального векторного поля а(М) равна градиенту некоторого скалярного поля.
7.11. Показать, что циркуляция векторного поля, рассмотренного в примере 7.16, по контуру, Ь раз охватывающему ось Охз, равна 4хй1. 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Под векторным анализом обычно понимают раздел математики, в котором средствами дифференциального и интегрального исчислений изучают скалярные и векторные поля. Одна из особенностей векторного анализа состоит в том, что градиент скалярного поля, дивергеннню и ротор векторного полл, а также производные по направлению функций, задающих эти поля, можно представить при помощи одного оператора.
8.1. Оператор Гамильтона Выберем в пространстве прямоугольную систему координат Ох1хгхз с пРавым оРтоноРмиРованным базисом е1, ег, ез. Рассмотрим символический векторный дифференциальный оператор д д д е1 +е2 +аз дх1 дхз дхз ' (8.1) ' В.Р. Рймильтон (1805-1865) — ирландский математик и механик. "О. Хевисайд (1850-1925) — английский фнзик и инженер.
который в 1883 г. ввел В.Р. Гамильтон*, придумавший для него и символ 17 в виде перевернутой греческой буквы сл (дельта). Гамильтон называл символ ~7 словом еатлед" (слово „дельта", прочитанное наоборот), однако позже английские ученые, в том числе О. Хевисайд'*, стали называть этот символ словом внабла" из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а символический оператор (8.1) получил название оператпора Га.нильтпона, или оператора нобла. Пусть в выбранной системе координат Ох1хгхз скалярное поле и(М), М е 1), представлено дифференцируемой скаляр- 439 8.1. Оператор Гамияьтоно ной функцией и(х1,хг,хз), а векторное поле а(М), М Е В,— дифференцируемой векторной функцией а(хпхг,хз) с координатными функциями а;(хм хг, хз), з' = 1, 2, 3.
Введем следующие правила операций с символом 7, совокупность которых часто называют З7-исчислением. В выражениях ~7и, з7а, ~7ха символический вектор ~7 умножается на скаляр и или вектор а по правилам умножения вектора на скзляр (вектора на число), скалярного умножения векторов и векторного умножения векторов соответственно. При этом под произведением координаты — символического вектора ~7 на скалярную функцию д дкч и(хмхг,хз) или ау(хз,хг,хз) следует понимать применение линейного дифференциального оператора — к этой функции, д*; т.е. вычисление частной производной скалярной функции по переменному х;. Таким образом, ди ди ди ~7и = е1 — + ег — + ез — = 8гай и, (8.2) дх1 дхг дхз т.е.
умножение оператора Гамильтона справа на скалярное поле дает градиент этого поля. Скалярное произведение оператора Гамильтона на векторное поле дает дивергенцию этого векторного поля: да1 дог доз ~а = — + — + — = Йта. (8.3) дх1 дхг дхз Наконец, векторное произведение оператора Гамильтона на векторное поле дает ротор этого векторного поля: ез ег ез д д д (8.4) 7ха = = го$а.
дх1 дхг дхз а1 аг аз Мы видим, что оператор Гамильтона позволяет в простой форме представить основные дифференциальные операции векторного анализа — градиент, дивергенцию и ротор. В основе этих представлений лежат операции векторной алгебры и 440 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА интерпретация применения линейного дифференциального оператора к функции как умножение оператора на эту функцию справа. Умножение линейного дифференциального оператора на функцию слева имеет другой смысл. Например, применение дифференциального оператора х1 — к некоторой функции 7" д дх1 означает вычисление частной производной этой функции по переменному х1 с последующим умножением на скалярную функцию 6(х1,хг,хз) = х1.
Такой смысл позволяет дать следующую интерпретацию выражениям и~7, а~7 и ах~7. Выражение и~7 определяет векторный дифференциальный оператор д д д а"7 = ае1 — + аег + вез дх, дх, дх, (8.5) д д д а%'= а1 — +аг — +аз —, дх1 дхг дхз (8.6) а выражение ах~7, содержащее символ векторного произведе- ния, — векторный дифференциальный оператор ег ез аг аз д д е1 а1 д д1 =е1 аг — — аз — ~ + дхз дх Д ахи= дх1 дхг дхз д д з / д д 1 +ег аз — — а1 — )+ез~а1 — — аг — ~. (8.7) дх дхз ) 1, дхг дх17' Здесь порядок строк в символическом определителе третьего порядка, использованном для записи векторного произведения, с координатными дифференциальными операторами и†, 4 = д дх =1,2,3.
Выражение а~7, в котором векторный оператор ~7 умножается скалярно слева на векторную функцию (векторное поле) а определяет скалярный дифференциальный оператор 8.1. Оператор Гамильтона ди ди ди ди (и~7)и = п1 — + пг — + пз — = — = п(~7и), (8.8) дх, дх, дхз дп т.е. применение оператора и~7 к скалярному полю означает вычисление производной этого поля по направлению вектора и. Точно так же действие этого оператора на векторное поле означает вычисление производной векторного поля по направлению вектора и: да да да да (тЛ7)а = п1 — +пг — +пз — = —.
дх1 дег дхз ди (8.9) Векторное произведение их Ч приводит к векторному дифференциальному оператору, действие которого на векторное поле а, согласно (8.7), следующее: да1 да1 '1 / даг даг 1 (их~)а = пг — — пз — ) + ~пз — — п1 — (+ дхз дхг,7 ~ дх1 дхз,7 7 даг да1 ~ + пз ~ — — — ) = игоФа.
~дх1 дхг,7' Отметим, что выражение п((7ха) имеет тот же смысл. Это позволяет и то и другое рассматривать как смешанное произведение трех символических векторов: (их~7)а = и(з7ха) = и~7а. задает и порядок сомножителей при его раскрытии. Векторные дифференциальные операторы (8.5), (8.7) подчиняются тем же правилам, что и оператор набла. Рассмотрим некоторые случаи применения оператора Гамильтона.
Пусть п = пзе1+ пгег + пзез — некоторый единичный вектор. Его можно трактовать как постоянное векторное поле, на которое умножается по тем или иным правилам оператор Гамильтона. Дифференциальный оператор пЧ действует по следующим правилам. Если и — скалярное поле,то 442 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Это смешанное произведение выражает завихренность векторного поля а в направлении единичного вектора и.
Подчеркнем, что выражения зг~7а, (п~7)а и гз(~7а) имеют разный смысл. Первое, как уже сказано, есть завихренность векторного поля, второе — производная векторного поля по направлению вектора гз, а третье — векторное поле ззйчо. Пример 8.1. Пусть в пространственной области В задано скалярное поле и = и(М). Выясним, с какой скоростью изменяется зто поле вдоль параметрической кривой г = г(Ф) (здесь параметр $ может играть роль времени). Выбрав прямоугольную систему координат Ох| хгхз, согласно правилу дифференцирования сложной функции, получаем й~ дв дх1 ди Ихг ди ~Ьз й дх1 ~й дхг Ж дхз й + + Правую часть этого равенства можно рассматривать как ска- лярное произведение вектора дп дв д ~7и = е1 — + ег — + ез— дх| дхг дхз на вектор пхг ехз в = — =е1 — +ег — +ез— Ж сМ сМ аз скорости движения точки вдоль заданной кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
