VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Однако вычисление дивергенции в конкретном случае скорее всего потребует использования какой-либо системы координат. Выясним, как дивергенция векторного поля записывается в прямоугольной системе координат. Пусть векторное поле а(М) непрерывно дифференцируемо в пространственной области Р, т.е. в некоторой прямоугольной системе координат Ох1хзхз представлено непрерывно дифференцируемой векторной функцией т а(хмхг,хз) = (ат(хмхз,хз) аг(хмхз,хз) аз(хмхз,хз)) . Выберем в области Р замкнутую поверхность Я и определим единичный вектор внешней нормали к этой поверхности в точке М с помощью направляющих косинусов н1(М), пз(М), нз(М).
Тогда, раскрывая скалярное произведение ать в ортонормированном базисе и применяя формулу Остпроградсного Гаусса, для интеграла в (7.29) получим оо~ Используя непрерывность частных производных — в области Р, шеорему о среднем значении длл тройного нншеграла и определение (7.29) дивергенции векторного поля, в произвольной точке М находим Ж~ез(М) = Бзп — / ~~) — 'дЪ' = ~~) . (7.
) 1 Г да; да;(М) ео-+О У/ . дх; . дх, з=1 з=1 404 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Таким образом, б!ча(х1,хг,хз) = ' ' + до1 (хм хг, хз) дх1 дог(х1,хг,хз) доз(х1,хг,хз) дхг дхз Операция вычисления дивергенции обладает свойством линейности: для произвольных дифференцируемых векторных полей а(М) и 6(М) и произвольных а, д Е К верно равенство оЫ(па+ 116) = ао1ча+ ~акоп Ь. (7.33) Аналогом правила дифференцирования произведения можно назвать следующее свойство.
Если ДМ) — дифференцируемое в Р скалярное поле, а а(М) — дифференцируемое в Р векторное поле, то снап (7а) = 7" йг7а + аксай ~. (7.34) В самом деле, в соответствии с (7.32) и правилом дифференци- рования произведения находим дЦа1) д(~аг) джаз) 1' да1 дог доз '1 Жч(уа)— + + + + + дх1 дх дхз ~ дх1 дх дхз) дУ дУ ду + а1 — + аг — + аз — = 7" Йча + а бган. дх1 дхг дхз Если а постоянное (однородное) векторное поле, то бала = О. В этом случае й1 (7"а) = а3гыЦ. Пример 7.9. Вычислим дивергенцию векторного поля и скоростей точек твердого тела, вращающегося относительно оси Охз с угловой скоростью Й (см.
пример 7.3). Указанное векторное поле описывается функцией Ю(х1,хг,хз) = ( — Йх2 ЙХ1 О) 405 7.о. Поток векторного полл н днвергенцнл Используя (7.32), находим д( — йхз) д(йх1) сйче = + дх, дх, Таким образом, дивергенция поля скоростей вращающегося твердого тела в любой точке тела равна нулю. Пример 7.10, Це~тпральное вектпорное поле с центром в начале координат описывается векторной функций вида а(т) = = 7(т)т, где т — радиус-вектор точки, а т = ~т~. Полагая, что функция Дт) дифференцируема, вычислим дивергенцию этого векторного поля. Центральное векторное поле а(т) = 7 (т)т можно рассматривать как произведение скалярного поля 7 (т) и векторного поля т.
Считаем, что центром векторного поля является начало прят моугольнои системы координат Ох1хзхз. Тогда т = (х1 х2 хз) и дх1 дх2 дх2 о1чт = — + — + — = 3. дх дх дх (7.35) дт , дт , дт 1 игам Дт) = ~У'(т) — 7"'(т) — У'(т) — ~ дх1 дхг дх2,~ ,('(т) т 7" (т) (х1 х2 хз) Теперь в соответствии с (7.34) получаем уча = 7(т)спчт+тбгас17(т) = = 3~(т) + т т = 3~(т) + т~'(т).
(7,36) У'(т) т В частности, если производная функции 7" (т) ограничена в окрестности точки т = О, то т) '(т) -+ 0 при т -+ О, и в этом слу ни, в ° 1 л ) у ~р~ =~ятйтц и правила дифференцирования сложной функции имеем 406 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ дивергенция центрального векторного поля в его центре равна 3У(О). Остановимся на частном случае центрального векторного поля — силовом воле тяготения, создаваемого материальной точкой массой те, помещенной в начало координат. В этом случае в соответствии с (7.13) имеем 7" (г) = — —, где 6' — граОто гз витационная постоянная (см.
7.1). Силовое поле, создаваемое в пустоте помещенным в начало координат электрическим зарядом щ, имеет аналогичный вид с У(г) = де/(4яеег~), где сев электрическая постоянная (см. 7.1). Для этих полей можем записать У(г) = А/гз, где А = сопвФ. Эта функция дифференцируема при г ф О, так что подставляя ее в (7.36), находим А / А1 й1га(м) = 3 — + г ~ — 3 — ) = О, г ~ О, гз 1 г4) т.е. дивергенция рассмотренных силовых полей при г;4 0 равна нулю.
ф Понятия потока и дивергенции векторного поля позволяют получить более краткую векторную запись формулы Остроградского — Гаусса. Для этого в формуле нужно рассмотреть поверхностный интеграл как поток некоторого векторного поля, а тройной интеграл — как интеграл от дивергенции того же векторного поля. Теорема 7.1 (теорема Остроградского — Гаусса). Если векторное поле а(М) дифференцируемо в пространственной области .Р, то для любой замкнутой области Ъ' С Р, ограниченной замкнутой кусочно гладкой поверхностью Я, верно равенство а4зав = о4чай1, (7.37) где 44 — единичный вектор внешней нормали к поверхности о'. 407 7.6.
Циркулецил векторного палл и ротор 7.6. Циркуляция векторного поля и ротор Пусть в области Р С Из заданы непрерывное в ентпорное лоле а(М) и гладкая кривая Х, на которой определено направление обхода выбором начальной и конечной точек. На втой кривой в каждой точке М в соответствии с направлением обхода можно определить единичный касательный вектор с(М), который является непрерывной функцией точки (рис. 7.11). Криволинейный интеграл М) а( Хг.
= асов = ас(М) сЬ, (7.38) где сЬ вЂ” дифференциал длины дуги кривой Х, в теории поля называют лннейныле инпзеералоле от векторного поля а вдоль рис. 7.11 кривой Р. Понятие линейного интеграла легко переносится на произвольные кусочно гладкие кривые. Для его существования достаточно, чтобы кривая была кусочно гладкой, а векторное поле — кусочно непрерывным на Х. Замечание 7,1. В случае силового полл линейный интеграл вдоль кривой Х представляет собой работу, которую силовое поле совершает при перемещении материальной точки вдоль кривой из ее начальной точки в конечную. Иногда о линейном интеграле как о работе говорят в случае произвольного векторного поля.
тг Линейный интеграл по замкнутой кривой (контуру) традиционно называют цнрнуллцией венгпорноео полл. Это понятие было введено в 1858 г. Г.Л.Ф. Гельмгольцем*, а тер- 'Г.Л.Ф. Гельмгольц (1821-1894) — немецкий физик, математик, физиолог и психолог. 408 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ мин „циркуляция" (от латинского слова с1гсп1а1ю — вращение) предложил У. Томсон*. Пример 7.11. Векторное поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси с угловой скоростью Й, описывается векторной функцией и(г) = Йхг (см.
пример 7.3). В качестве контура интегрирования выберем окружность | с центром на оси вращения в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Центр окружности возьмем как начало радиус-вектора г. Циркуляция Гс векторного поля е(г) вдоль Ь может быть представлена в виде Г1 = пФг1з = (Йхг)Ил = ЙгИл, (7.39) Ь Ь ь где под знаком последнего интеграла стоит смешанное произведение трех векторов. На окружности Х выберем направление обхода против часовой стрелки, если смотреть на окружность с конца вектора Й, приложенного к точке О.
Тогда в каждой точке М Е Ь вектор Й, радиус-вектор г этой точки и касательный вектор с(М) к окружности Ь в точке М образуют правую тройку (рис. 7.12). Поскольку эти векторы попарно ортогональны, их смешан- Рис. 7.12 'У. Томсон, лорд Кельвин (1824 — 1907) — английский физик и математик. 7.6. Циркулаииа кскториого пола и ротор 409 ное произведение равно произведению длин этих векторов, т.е. йИ = йй = сопвФ, где й — длина вектора й.
Отсюда следует, что Гь = 2пйВ~. Отметим, что значение контурного интеграла оказалось пропорциональным площади круга, ограниченного этим контуром. Отношение циркуляции вдоль окружности к Гс площади этои окружности равно — = 2й и не зависит от ради- Р уса окружности. ф Ненулевое значение циркуляции силового поля указывает на то, что это поле производит работу при перемещении материальной точки, возвращающейся в исходное положение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
