VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Рассматриваемое векторное воле является плескала, поэтому в соответствии с (7.46) имеем гоЗН=21 — ( 2 2)+ — ( 2 2) ез=О. ~дх1 х2+х2 2дх2 х21+х2 2у Значит, по любому контуру, не охватывающему проводник с током (т.е. ось Охз), циркуляция данного поля равна нулю, поскольку на такой контур можно натянуть поверхность, все точки которой принадлежат области О. Вычислим циркуляцию по контуру Х, однократно охватывающему проводник с током. В качестве такого контура возьмем окружность радиуса В в плоскости х10хз с центром в начале координат. Для точек этой окружности х1 = Всозз и хз = = Взшз, $ Е [О, 2и), поэтому 2е Гь = НЫз = 21~ 2 2 — — 21~ = 4и1.
— х2ах1+х1ох2 1 В ос х21 + х22 ь Ь О Таким образом, Гс ~ О, т.е. рассматриваемое поле не является потенциальным. Отметим, что полученное значение Г1 не зависит от радиуса окружности. Более того, циркуляция по любому контуру Х 1, однократно охватывающему ось Охз, будет равна 4иХ.
Действительно, рассуждая так же, как и в примере 7.15, можно показать, что циркуляция по контуру Х1 равна циркуляции по окружности Ь. ф Прием, использованный в примерах 7.15 и 7.16, позволяющий заменить произвольный контур Х1 контуром Х простой формы (окружностью), вдоль которого циркуляцию легко вычислить, можно применить в произвольных многосвязных обла- 430 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НОЛЯ стях. Если два контура таковы, что их можно соединить разрезом, превратив в один контур, на который можно натянуть поверхность, то циркуляции безвихревого поля по таким контурам равны. Это позволяет утверждать, что циркуляция безвихревого полл не меняется при непрерывном деформировании контура. Если один контур непрерывным деформированием можно преобразовать в другой, то циркуляции беэвихревого поля по этим контурам равны.
Дополнение 7.2. Векторный потенциал соленоидального поля Пусть а(М) — некоторое непрерывное векторное поле, определенное в пространственной области Р. Если существует такое днфференнаруемое в .Р векторное ноле Ь(М), что го$ Ь(М) = а(М), М Е Р, (7.63) то векторное поле Ь(М) называют венпзорным попзенцналом поля а(М). Убедимся, что необходимым условием существования у непрерывно дифференцируемого векторного поля а(М) векторного потенциала Ь(М) является соленоидальность поля а(М). Для этого введем в области Р прямоугольную систему координат Ох1хгхз и представим векторное поле Ь(М) некоторой векторной функцией Ь(хмхг,хз) с координатными функциями Ьь Ьг, Ьз. В силу правил вычисления дивергенции и ротора в координатах, а также независимости непрерывных смешанных производных от порядка дифференцирования имеем д /дЬг дЬ1'1 + — ~ — — — ) = О. (7.64) дхз ~дх1 дхг) Равенство йча— : 0 означает, что поле а(М) соленоидально.
Д.7.2. Векторный нотеннннл еоленондельного нонн 431 Замечание 7.2. Векторный потенциал соленоидального поля определен неоднозначно. Бели Ь(М) — векторный потенциал векторного поля а(М) в области Р, то векторным потенциалом поля а(М) будет и любое векторное поле Ь(М) + е(М), где векторное поле е(М) удовлетворяет условию гоСе(М) = О, т.е.
е(М) — безвихревое поле. Действительно, в силу линейности операции вычисления ротора гоЦЬ+ и) = го$Ь+гМе = гоФЬ. Наоборот, если Ь1(М) и Ьз(М) — два векторных потенциала поля а(М), то гоФ(Ь1 — Ьг) = го$ Ь1 — гоФ Ьз = гоФа — гоВа = О, откуда Ь1(М) = Ьз(М) + е(М), где е(М) = Ь1(М) — Ьз(М)— безвихревое поле. В поверхностно односвлэкой обласгаи безвихревое поле является потенциальным, и мы можем сказать, что в этом случае векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольного дважды непрерывно дифференцируемого скалярного поля. ф Векторный потенциал Ь(М) соленоидального поля а(М) позволяет упростить вычисление потока Яя этого векторного колл через кусочно гладкую поверхность Я, так как в этом случае с помощью теоремы Стокса поток Ял векторного поля а(М) через поверхность Я можно заменить циркуляцией Гг.
векторного потенциала вдоль Ь(М) границы Ь поверхности Я. Действительно, Ял = спи = (го~ Ь)пйЯ = ЬЫз = Гг., (7.65) л Я о где тк = тк(М) — единичный вектор нормали к поверхности Я в точке М; Ф = Ф(М) — единичный касательный вектор к кусочно гладкому замкнутому контуру Ь в точке М.
Напомним, что в 432 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ соответствии с теоремой Стокса векторы в(М) и Ф(М) должны быть выбраны так, чтобы направление обхода контура Ь, определяемое выбором вектора Ф(М), со стороны вектора п(М) было противоположным ходу часовой стрелки. Однако не всякое соленоидальное поле имеет векторный потенциал. Расхождение между усювием соленоидальности и усювием существования векторного потенциала примерно то же, что между понятиями безвихревого полл и потенциального поля (т.е. имеющего скалярный потенциал). В этом убеждает следующее рассуждение. Если векторное поле а(М) в области Р имеет векторный потенциал Ь(М), то поток поля а(М) через любую замкнутую поверхность Я в области Р равен нулю. Действительно, выберем на поверхности о простой замкнутый контур Ь.
Этот контур разделит о на две поверхности о1 и оз и будет являться их общей границей. Как уже сказано, поток поля а(М) через поверхность Я~ равен циркуляции поля Ь(М) вдоль 1. Но точно так же поток поля а(М) через поверхность оз равен циркуляции поля Ь(М) вдоль того же контура Ь.
Однако направления обхода контура в этих двух случаях являются противоположными. Значит, сумма двух потоков, равная потоку поля а(М) через всю поверхность Я, равна нулю. Пусть область Р такова, что вместе с любой замкнутой поверхностью Ь' С Р она содержит и область, ограниченную поверхностью о (такую область Р будем называть объемно односвязной). Тогда можно показать, используя теорему Остроградского — Гаусса, что поток соленоидального поля через произвольную замкнутую поверхность о' равен нулю. Если же область Р не является объемно односвяэной, то для некоторых замкнутых поверхностей теорема Остроградского — Гаусса не применима. Примером области, не являющейся объемно односвяэной, является полый шар (область между двумя концентрическими сферами).
В этой области силовое поле, создаваемое, например, точечной массой, размещенной в центре О полого шара, является соленоидальным. Однако поток Д.72. Векторный потееппал еолепопдалъпого поля 433 этого поля через сферу с центром в точке О не равен нулю, т.е.
это поле не имеет векторного потенциала. Действительно, рассматриваемое силовое поле описывается векторной функцией а(г) = -С вЂ” г, где г = ~г~. На сфере Я с центром в точке О единичный вектор ез(М) внешней нормали коллинеарен радиус- вектору г точки М. Поэтому где  — радиус сферы Я, и поток (~я векторного поля а(М) через сферу Я равен — 4ябгпе. Покажем, как можно построить векторный потенциал Ь(М) соленоидального поля а(М).
Выберем в пространстве прямоугольную систему координат Охзхзхз и запишем в координатах равенство гое Ь = а. Получим систему дифференциальных уравнений в частных производных дЬз дЬ2 = аы дх2 дхз дЬг дЬз — — — =аз, дхз дхг дь дь — — — = аз. дх1 дх2 Как уже отмечено вьппе, эта система имеет достаточно обширное множество решений, т.е. решение системы можно искать с большой степенью произвол. Положим Ьз = О. Тогда рассматриваемая система дифференциальных уравнений изменится следующим образом: дЬ2 — = — аг, дхз дЬ, аз~ дхз дЬ2 дЬг — —, — =аз.
дх, д, Т. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 434 Из первых двух уравнений получаем Ь1(х1,хг,хз) = аг(Х1,хг,хг)дхз+~р(хьхг) и ~(х1,хг хз) = — й1(х1 х2 х2) Йхз + ф(х1,х2), где ~р(х1, хг) и ф(Х1, хг) — неизвестные функции двух переменных. Подставляя эти выражения в третье уравнение системы и используя дифференцирование неопределенных интегралов по параметру, находим д1Р(Х1, хг) д1й(х1, хг) /' да1 ( даг дх1 дх1,/ дх1 / дхг Используя представление Г даз йЗ = ( — <1ХЗ дхз и равенство да1 даг даз — + — + — =О, дх1 дхг дхз приходим к уравнению дф(Х1~Х2) д~Р(Х1~Х2) дх1 дх2 Ь1(Х1 хг хз) = йг(х1~хг~хг)йхз Ьг(хьхг,хз) = — а1(Х1,хг,хг)Ихз, (7.66) Ьз(хьхг,хз) = О.
Несложно найти какое-либо решение етого уравнения. Напри- мер, можно просто взять у(Х1, хг) = 1Р(х1, хг) = О. В результате получим следующие формулы: Вопросы и задачи Пример 7.17. Построим векторный потенциал плоского соленоидазьного поля е(М) скоростей твердого тела, вращающегося относительно некоторой оси с угловой скоростью Й. Выберем прямоугольную систему координат Ох1хгхз, для которой ось Охз совмещена с осью вращения. Тогда векторное поле е(М) будет определяться векторной функцией т е(х1,хг,хз) = ( — йхг йх1 0) (см.
пример 7.3) и координатными функциями векторного поля будут е1 = -йхг, ег = йх1 и ез = О. В соответствии с равенствами (7.66) получаем Ь1 = азохз = Й х1охз = Йх1хз) Ь2 = е1охз = й хгыхз = йхгхз~ Ьз = О. Таким образом, векторный потенциал имеет вид т Ь(х1,хг,хз) = (йх1хз йхгхз 0) . Непосредственной проверкой убеждаемся, что (7.67) ег ез д д дхз дхз хгхз О Е1 д дхз = Й( — хге1+х1ег) =в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
