VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Тогда, согласно формуле (8.48), и$1Ыл = (пх~7)1иИЯ, где индекс 1 внизу, как и выше, обозначает первую координату вектора (его проекцию на ось Ох|). Аналогичные формулы 461 8.4. Интегранънме формулы верны и для двух других координат. Все три равенства можно представить как векторное равенство пЫн = (пх м")исБ.
(8.49) Теперь возьмем непрерывно дифференцируемое в С векторное поле Ь(М) и преобразуем векторный интеграл (ехЬ)дл в поверхностный по поверхности Я. Введем вспомогательное векторное поле а = Ьхе1. Тогда аФ = (Ьхе1)с = (ФхЬ)е1 = (ФхЬ)1, и поэтому Используя дифференциал сЬ = Ын радиус-вектора точки, соотношения (8.48) -(8.50) можно представить в виде ай = (Рха)пЙ$, шаг = (пхну)юоо, ь Я ь Я Ьх<Ь = (пх~7)хЬИЯ. п (~ха) = (пхни)(Ьхе1) = ((пх~)хЬ)е1 = ((пх~7)хЬ) .
Отсюда, согласно формуле Стокса (8.48), имеем о.ы,о=~ц .о).м,м. Аналогичные равенства можно получить по двум другим координатам. В результате (Ф х Ь) йн = ((и х ~7) х Ь) оЯ. (8.50) 462 В. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Пример 8.8. Согласно закону Ампера на элемент а1 проводника, по которому течет электрический ток силой 1 и который находится в магнитном поле с вектором магнитной индукции В, действует сила аг' = Ха1 хВ. Если проводник образует замкнутую петлю в форме кусочно гладкого контура Х, то на эту петлю действует сила г' = 1 а1 х В, причем направление обхода контура Х совпадает с направлением тока Х.
Отсюда, учитывая, что сН = вав, в соответствии с (8.50) получаем Хг=1 1хВйз=Х ((пх~7)хВ)йЯ, (8.51) где Я вЂ” произвольная кусочно гладкая поверхность, ограниченная контуром Х, а и — единичный вектор нормали к Я, направление которого согласовано с направлением обхода контура Х. Из (8.51) следует, что в однородном магнитном поле сила, действующая на контур с током, равна нулю. Используя (8.10), находим (пх~7) х В = — п(~7В) + ~7(псВ) = = — п(~7В) + пх('Ч хВ)+ (п~7)В. (8.52) Из уравнений Максвелла следует, что всюду ~ХВ = 0 и 'сух В = О, где плотность электрического тока нулевая. Последнее условие выполнено в точках поверхности Я, и, учитывая (8.52), вместо (8.51) получаем Р = 1 (п~7)В~И. аб.
Обратная задача теории поли 463 Если Ь вЂ” плоский контур, ограничивающий плоскую область площадью Я с фиксированным направлением вектора та, то с учетом (8.9) имеем Р =1/ — ИЯ. Г дЮ дта (8.53) В частном случае одномерного магнитного поля, вектор магнитной индукции которого изменяется лишь в направлении вектора и,, (8.53) переходит в равенство Р =18~ — ), где /дВх дв ()- дВ '1 д — — значение производной — в плоскости контура Ь. дк(у, дяя Если при этом векторы Б и тя коллинеарны, то им коллинеарен и вектор Т. 8.5, Обратная задача теории поля ч а = уча'=ейча — йча'= — 1.
Под обратной задачей теории поля понимают построение векторного полл по его дивергекцци и ротиору (иногда говорят о восстановлении векторного поля по его дивергенции и ротору). Сначала убедимся, что произвольное векторное поле а, заданное в области В, можно представить суммой потенциального а' и соленоидального ан полей: а = а'+ ап. Согласно определению потенциального поля, векторное поле а' является градиентом 8гайи некоторого скалярного поля и — потенциала векщорного по и а'. Определим, какой потенциал может иметь потенциальная составляющая векторного поля а(М), если известно скалярное поле 1 = — ЙЪа.
Так как векторное поле ап по предположению соленоидальное, то в силу определения соленоидального поля в области Х) имеем йчоп = О. Поэтому 464 В. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Отсюда следует, что з7~и = Ча = — 7, (8.54) т.е. неизвестный потенциал и является решением ураененил Пуассона. Уравнение Пуассона определяет поле и неоднозначно, так как вместе с и решением этого уравнения является любое поле н + ие, полученное добавлением гармонической функции ио. Однако если на границе Я области В известны значения поля ди и и значения его производнои — по направлению внешнеи дн нормали зз к поверхности Я, то это поле определено однозначно и его можно найти с помощью формулы (8.37).
Рассмотрим случай, когда область 1) есть все пространство. Для поля н потребуем выполнения условий (8.39). Тогда решение уравнения (8.54) единственно и его можно найти с помощью формулы (8.40): Г ПМ') 1 ~ 7 (М') 4зг./ г(М',М) 4я,/ г(М',М) нз йз Соленоидальную составляющую векторного поля а(М) при известной потенциальной составляющей можно вычислить по формуле а" (М) =а(М) — зи(М) =а(М)+ — ~7 (, ЙЪ'(М') нз Теперь перейдем к построению векторного поля а, заданного во всем пространстве, по известным его дивергенции ш = йча и ротору Ь = го$а. Предполагаем, что координатные функции векторного поля а удовлетворяют условиям вида (8.39).
К равенству Ь = з7ха применим операцию ротора и используем формулу (8.28): ~7хЬ = ~7х(~7ха) = '[7(~7а) — ~7~а. д.8л. Операция и ортогоиальиьпг арииеаииейагик коордииатак 465 Теперь учтем равенство Ча =ш Чга = Ч(Ча) — Ч х Ь = Чгп — Ч хЬ.
Таким образом, векторное поле а(М) удовлетворяет уравнению Пуассона Чза = — у, (8.55) в котором у = гойЬ вЂ” 8гаг1гп. Полученное уравнение является векторным и эквивалентно трем уравнениям для координатных функций а;(М) искомого векторного поля а(М), записанных в какой-либо прямоугольной системе координат Охгхгхз. (8.56) 1 = 1, 2, 3, о1 = ~в гДе уе — кооРДинатные фУнкции вектоРного полл,~. Если функция а, удовлетворяют условиям вида (8.39), то решения уравнений (8.56) определены однозначно и их можно записать с помощью формулы (8.40): ЯМ') а;(М) = — / ', сЛ/(М'), М ей~, 1=1,2,3, (8.57) 4я.
7 т(М,М') где г(М,М') обозначает расстояние между точками М и М'. Дополнение 8Л. Дифференциальные операции в ортогональных криволинейных координатах Напомним, что понятия грвдиеювв скалярного полл, дивергенции и ротпора векторного поля не связаны с выбором какой- либо конкретной прямоугольной системы координат в пространстве. От выбора системы координат не зависят и свойства дифференциальных операций векторного анализа.
Это обстоятельство значительно облегчает вычисления, связанные с исследованием полей. 16 — ю 00 466 В. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА й = Ф(Х1>хг>хз) дг = дг(хт,хг,хз), 92 = 9з(Х1>хг>хз)> (8.58) задающие взаимно однозначное отображение области Р на некоторую область Ря. Пусть матрица Якоби ~ — ~ этого ото/дд> ~ ~дх, т' бражения в каждой точке области Р является невырожденной, а обратное отображение определяется непрерывно дифференцируемыми в Ря функциями х1 = х1(91,92 9з)> хг = хг(ч1>Ф>92)> ХЗ = ХЗ(Ч1>Ч2>ЧЗ) (8.59) При этих условиях числа 91, дг, дз можно рассматривать как криволинейные координаты точки в области Р. Криволинейные координаты 91, дг, дз характеризуются их поверхностями уровня 91(х1>хг>хз) = С1, чг(х1>хг>хз) = С2> чз(х1>хг>хз) = Сз Однако на практике не всегда можно ограничиться только прямоугольными системами координат.
Так, в случае нентпрального скаллрного или вектпорного полл, которое зависит лишь от расстояния до центра этого поля, удобнее использовать сферическую систему координат, а при исследовании осеет>мнетпрнчных полей предпочтительней оказывается цилиндрическая система координат. Сферическая и цилиндрическая системы координат являются частными случаями спстпемы криволинейных коорд~напт. Пусть в пространственной области Р зафиксирована прямоугольная система координат Ох1хгхз. Рассмотрим три непрерывно дифференцируемые в Р функции Д.8.1. Операции в ортоговалъиых криволинейных координатах 467 (координацзиыии поверхностями) и пересечениями зтих поверхностей (координатными линиями).
Координатные линии можно описать параметрическими уравнениями. Например, координатная линия оз = Сз, дз = Сз может быть задана параметрически в виде х =х~(дмС2,Сз), хз = хз(01, Сз, Сз), из =ха(й,С1,Сз)> Соответствующий единичный касательный вектор имеет вид 1 х-~ дх; 11 = — р е; — ', 1'=1,2,3, Н. "~' дд ' (8.60) где з Н2 Ч~~ «( х1) ,, д01 (8.61) Козффипиенты Н называют параметпрпми Ламе*.
В дальнейшем будем рассматривать системы ортогонзльных криволинейных координат, для которых любые две координатные линии, проходящие через заданную точку М Е Р, пересекаются в ней под прямым углом (рис. 8.2). Условием ортогональности координатных линий в каждой точке М Е Р 'Г. Ламе (1795-1870) — французский математик и иижевер.
и* где параметром является переменная координата д1. Параметрическое задание координатной линии позволяет легко получить координаты касательного к ней вектора. Координаты касательного вектора к координатной линии, вдоль которой изменяется координата д. и которая проходит через точку М е Р,в прямоугольной декартовой системе координат ОХ1Х2ХЗ РЗВНЫ 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Рис. 8.2 будут три равенства о1оз = О, озфз = 0 и дзд1 = О, которые с учетом формул (8.60) можно представить в виде з о*; а*; ~) — — = О, у', Й = 1, 2, 3, й ~ у.
(8.62) При выполнении условий (8.62) единичные векторы о1, оз, оз образуют ортонормированный базис, который называют базисом системы криволинейных координат. В отличие от базиса е1, ез, ез прямоугольной декартовой системы координат базис системы криволинейных координат изменяется от точки к точке. Однако при этом ориентация базиса системы криволинейных координат остается неизменной во всей рассматриваемой области Р. В самом деле, столбцы координат векторов он оз, дз в прямоугольной системе координат представляют собой, согласно формулам (8.60), столбцы матрицы Якоби отображения (8.58). Но определитель матрицы Якоби, как функция многих переменных, определен и непрерывен в области Рц изменения криволинейных координат, причем он не обращается в нуль.
д.В.ь Операции а ортогонззьных хрннаеннейных координатах 469 Следовательно, зтот определитель сохраняет знак во всей области .Ое. Но знак якобиана, равного смешанному произведению д1дгдз, как рзз и определяет ориентацию тройки векторов дм дг, дз Квадрат дифференциала длины дуги гладкой кривой, заданной в криволинейных координатах, представим в виде Раскрывая скобки и учитывая формулы (8.60) для параметров Ламе и условия (8.62) ортогональности системы криволинейных координат, находим з ~2 ч~ ~Н212 (8.63) Так как вдоль каждой из координатных линий изменяется лишь одна из трех криволинейных координат, то из (8.63) вытекает, что дифференциалы длин дуг координатных линий имеют вид (8.64) еЬ = Н йду, у = 1, 2, 3. Следовательно, для шестигранника ММ1М2МзМ1М2МзМ* с криволинейными гранями (см.
рис. 8.2) дифференциал объема в ортогонзльных криволинейных координатах будет равен дЪ' = йз16згйзз = Н1 Н2Нз йд1 йдгх)дз, (8.65) а дифференциал площади любой его грани ММуМ;*Мь т, у, а = = 1, 2,3, а'~у ф й ~ 2, примет вид оБ ь = ~Ьфзь = Н Ньйцддь, у', й = 1, 2, 3, у ф й. (8.66) Пример 8.9. Найдем дифференциалы длин дуг, объема и площади в цилиндрической и сферической системах координат 470 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА и установим связь между ортами базиса в этих системах с ортами е;, в' = 1, 2, 3, прямоугольной декартовой системы координат Ох1хзхз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
