VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 58
Текст из файла (страница 58)
8.1. Первая операция в (8.24) приводит к векторному полю, тождественно равному нулю. В этом нетрудно убедиться непосредственной проверкой (см. Т.7). Отметим, что зто согласуется со следующим свойством векторного произведения: схс = 0 для любого вектора с (в данном случае роль вектора с играет векторный оператор ~7). Вторая операция в (8.24) также векторном анализе относят к дифференциальным окерациям нервого норядка. В результате выполнения какой-либо из этих операций возникает новое поле, скалярное или векторное.
Если зто поле оказывается дифференцируемым в некоторой области, то к нему можно снова применить одну из дифференциальных операций. Возникают операции, связанные с двукратным дифференцированием, которые в теории поля и векторном анализе называют дифференцио ььными операциями атарово порядка.
Поскольку есть всего три дифференциальных операции первого порядка, комбинируя их различным способом, можно было бы получить девять дифференциальных операций второго порядка. Однако не все возможные комбинации операций первого порядка допустимы. Не имеют смысла выражения 450 В. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Таблица 8.1 приводит к тривиальному результату, и это можно интерпре- тировать как равенство нулю смешанного произведения вида сса, в котором два сомножителя равны. Таким образом, гоФ 8гайи = Чх(Чи) = О, ЖчгоФа =Ч(Чха) = О. (8.25) Третью операцию в (8.24) можно выразить через скалярный квадрат Чг векторного оператора Гамильтона: Йч 8тайи =Ч(Чи) =(ЧЧ)и = Ч и = д д д~/ д д д~ е1 — +ег — +ез — ~ ~е1 — +ег — +ез — ~и= дх1 дхг дхз/~ дх, дх, дхз,l = д д д д д д~ /дг дг дг~ + ) ~ г г г~ дх дх дх дхг дхз дхз) ~,дхг1 дхг гдх~~,l где дг дг дг Чг + + дхг дхг дхг (8.26) скалярный дифференциальный оператор второго порядка,называемый операпьором Латаьаса (или лапласиаиом),который часто обозначают через Ь.
Итак, дивергенция градиента скалярного поля равна лапласиану этого поля. Равенство нулю лапласиана скалярного поля означает,что представляющая это 8.3. дифферевцпалъпые операции второго порядке 451 поле скалярная функция удовлетворяет ураеиеиию Лапласа, т.е. является гарлдоиической фуикиией, а само скалярное поле есть пооденциал лапласоеа полл. Пример 8.5. Убедимся, что скалярное поле и(М) = 1/т, где т — расстояние от точки М до некоторой фиксированной точки Ме, задается функцией, гармонической в любой области Р, не содержащей точку Мо.
Имеем т с?и Чи = 8гдц?и = — — = — —, тз ~ где т — радиус-вектор точки М с началом в точке Ме. Используя равенство (8.16) и учитывая, что, согласно примеру 7.10, Чт = д??ч т = 3, получаем 7 1 д Ч =Ч(Чи) =Ч вЂ” — ) = — — Чт+тЧ~ — — ) = .з) .з тз)— 3 тд?/ 1д 3 тз3 =- — +т- — ~ — — ) = — — + — — =О.
тз т ?т~ тз) тз т т4 Таким образом, при т ~ 0 лапласиан скалярного поля и = 1/т равен нулю, и зто поле описывается функцией, гармонической в произвольной области Р, не содержащей точку Мо. Эту функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве [Х??]. ф Две оставшиеся в (8.24) дифференциальные операции второго порядка связаны соотношением 8гай Жала = гоФ гоФа+ (д?п 8гай)а, (8.27) или Ч(Ча) = д7х(Чха)+Чза, (8.28) где действие оператора Лапласа на векторное поле а = едад + + езаз+ езаз реализуется как умножение числа на вектор, т.е.
в соответствии с равенством Ч~а = едЧ ад+ езЧ~аг+ езЧзаз. 452 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Равенство (8.28) можно получить, используя формулу (8.22) для двойного векторного произведения и правила обращения с оператором Гамильтона (см. 8.2): гоФ го$а = Чх (Чха) =Ч(Ча) — (ЧЧ)а = = Ч(Ча) — Ч~а = 8гас1 йга — (г(1г 8гад)а. Пример 8.6. Рассмотрим действие лапласиана на произведение двух скалярных полей и(М) и и(М). Используя равенства (8.15) и (8.16), находим Ч~(ио)= Ч (Ч(ио) ) = Ч(иЧо+ оЧи) = Ч иЧо) + Ч(иЧи) = = (Чи)Чо + иЧ(Чо) + (Чи)Чи+ сЧ(Чи) = = 2(Чи) Чс + иЧ~о + оЧ~и. 8.4.
Интегральные формулы Из формульь Остроерадскоео — Гаусса можно получить ряд интегральных соотношений, связывающих характеристики векторного поля в некоторой замкнутой пространственной области Ъ" и на ее границе Я, в общем случае состоящей из нескольких непересекающихся замкнутых гладких поверхностей.
Пусть а — непрерывно дифференцируемое векторное поле в замкнутой области У. Запишем формулу Остроградского— Гаусса, используя оператор Гамильтона Ч: (8.29) агыЫ = г11гаФ7 = Чайг', 8 Ъ' где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Я. Пусть и и е — скалярные поля, дважды непрерывно дифференцируемые в 1'. Тогда векторное поле а = иЧи непрерывно дифференцируемо в 1' и, согласно равенству (8.16), Ча =Ч(иЧо) = иЧ(Чо) + (Чо)Чи = иЧ~и+ (Чо)Чи.
453 8.4. Иатегральлме феРнулм поля о по направлению вектора и, то „Чг„,~~ + (Ч„)Чи,1~; (8 3Ц дя, Я к Поменяв местами скалярные поля и и о можем записать ) ~д Чг Дг+ (Ч )Ч 1У Я и и Вычитая это равенство из равенства (8.30), приходим ко впю- рой формуле Грина (иЧо — РЧи)неБ = (иЧ е — сЧ~и) ~Л; (8.32) Я Ъ или в иной записи ( де ди'1„ 1, дн дтпл,/ Я Ъ (8.33) Выбирал в качестве скалярных полей и и д и е о но и то же скалярное поле и, из (8.31)находим д Ю= 1ичгиИ+ ЕЧи' Ф1. ди Я Ъ' (8.34) Используя это равенство в формуле (8.29), получаем первую формулу Грина и(Чо)пад = иЧЯи<М+ (Чо)ЧиНК (8.30) Я У к дю Так как (Чо)н, согласно (8.8), есть производная — скалярного 455 8.4. Интегральные формулы ющем виде: р(М) г1Б = 4ярэ~р(М,), 8е где М, Е Яе — некоторая точка сферы Яе.
В результате получаем 8е ди = 4х Ипг 1 и(Мс) + Р— р-+8~, дг м,г При р — ~ О точка М, стремится к точке М„а рассматриваемый интеграл имеет предел, равный 4яи(М,). При этом область У; переходит в исходную область 1'. Поэтому в пределе при р -+ О из (8.36) получаем 4зги(Ме) = ~ ~ — — — и — ~ — ) ) НЯ вЂ” / — ~7~иг1У. (8.37) 7~ ди дпЬ,)) Если значение лапласиаиа поля и в каждой тонге замкнутой области У известно, т.е. арузи(М) = — 7(М), М Е У, где у(М)— заданное скалярное поле, то равенство (8.37) приводит к интегральной формуле Грина [Х1Ц.
Теорема 8.1. Решение уравнения Пуассона* (8.38) где Г" — непрерывная. функция в Жз, существует и единственно в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям 11ш и(М) =О, 1пп г =О, (8.39) ди(М) с-+00 т-+со дг 'С.Д. Пуассон (1781-1840) — французский механик, физик и матема; тик. 456 д. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА где г = г(М,М,) — расстояние от точки М до произвольной наперед заданной точки М,. Это решение может быть записано с помощью тройного интеграла в виде и(Ме) = — ~ (1К (8.40) ~ Применим равенство (8.37) к сфере Я радиуса В с центром в точке М, Е К. В этом случае в точках М е Я имеем — = —, а д д до дг' равенство (8.37) примет вид Г/ 1 ди и 1 Г 1 2 4яи(М,) = у ~ — — + — ) сЫ вЂ” ~ — ~~и(1К (8.41) По условию поля и(М) и удовлетворяют условиям до(М) дг П (М( =О П Я ) =О. (8А2( ди(М) я-(оо МЕо" МЕо Значит, как и вьппе, для некоторой точки М, Е Я и, несмотря на неограниченное увеличение поверхности Я, поверхностный интеграл в (8.41) при В -+ оо стремится к нулю: 11 — — ' + — ', 1о=4я 11 Я вЂ” +и(М,) =О.
и(М,) = — — / ~у~и(М) ЙЪ; (8.43) нз При этом замкнутая область К, ограниченная сферой Я, займет все пространство, и мы получим представление 458 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Правую часть полученного представления можно рассматривать как потпенииал центрального венпзорного полл а(М) = = ~7и(М) с центром в точке Мо. Обратимся снова к формуле Остроградского — Гаусса, записанной в форме (8.29).
Пусть в прямоугольной системе координат Ох1хзхз единичный вектор зз внешней нормали к замкнутой поверхности Я имеет координаты пц пз, пз. Рассмотрим скалярное поле и(М), заданное в области 6, включающей в себя поверхность Я и ограниченную этой поверхностью область У. Под значением поверхностного интеграла понимают вектор, координатами которого являются интегралы от функций инз, ииз, ипз — координатных функций подынтегрального выражения.
Используем формулу Остроградского — Гаусса в применении к этим координатным функциям для преобразования поверхностного интеграла в тройной. Согласно формуле Остроградского — Гаусса, Г ди (ие1)пйд = ип1 сБ = / — НУ. ,/ дх1 Аналогичные равенства можно записать и для функций инз, ипз. В результате получим иззу = 8гайиНУ = ~7иИУ, (8.45) (8.46) Ь= е1Ь|+езЬз+езЬз где объемный интеграл от векторного поля 8гайи понимают как вектор, координатами которого являются интегралы от координатных функций этого поля.
Теперь рассмотрим непрерывно дифференцируемое векторное поле 8.4. Иятеграеьные фоРиуеы и преобразуем к тройному поверхностный интеграл (ггхд) Ж С этой целью введем вспомогательное векторное поле а( ) = = Ь(М) х ег, где е1 — базисный вектор выбраннои прямоугольной системы координат. Умножая а скалярно на вектор гг и используя свойства смешанного произведения, находим агг = (Ьхег)гг = (пхЬ)ег = (гехЬ)г, где индекс 1 в данном случае обозначает первую координату вектора (проекцию на ось Ох1 ). Аналогично Ча = Ч(Ьхег) = егЧЬ= (гоеЬ)г.
Согласно формуле Остроградского — Гаусса, (ахЬ)г~Ж = аггИЯ = Чаг1Б = (гогЬ)гйК Я Я и Аналогичные равенства верны и для двух других координатных осей. В результате получаем векторное равенство ахЬ~Б= го1ЬЫК (8.47) Формулы (8.29), (8.45) и (8.47), связывающие поверхностные и объемные (тройные) интегралы, иногда рассматривают как утверждения теорем, называемых теоремами Остроградского — Гаусса о дивергенции, градиенте и роторе соответственно.
Перейдем к рассмотрению представлений, вытекающих из теоремы Сгаокса. Формулу Стокса, записанную в векторной 460 8. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА форме (7.50), можно преобразовать, используя оператор Гамильтона. Пусть в области С задано непрерывно дифференцируемое векторное поле а(М). Выберем в 0 кусочно гладкую поверхность Я, ограниченную кусочно гладким контуром Ь.
Тогда формулу (7.50) можно представить в виде аЫз = (го1п)пйЯ = Яха)пйЯ, (8.48) где Ыя — дифференциал длины дуги контура Ь, а 4 и ив единичные векторы касательной к контуру Х и нормали к поверхности Я, причем направления этих векторов согласованы так, что обход контура Ь в направлении вектора Ф происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора и. Пусть и — непрерывно дифференцируемое скалярное поле в области С. Векторным линейным интегралом называют вектор, координатами которого являются линейные интегралы от координатных функций векторной функции иФ. Пусть вектор Ф в заданной прямоугольной системе координат Ох1хзхз имеет координаты 8м $ю Фз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
