VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Градиент центрального скалярного полл ~(г) коллинеарен радиус- вектору г, г ая Я~Рхэ)= ~'(г) х ~'(г) у ~'(г) г ') ~'(т) /+~~'+у ~~зт+~'г ' /'+и'+ ~! Значит, второе слагаемое в правой части формулы (7.49) равно нулю как векторное произведение двух коллинеарных векторов. т Так как г = (х1 хз хз), то е1 ег д д дх1 дхт х1 хз ез д дхз хз гонг = Понятия циркуляции и ротора векторного поля позволяют получить краткую векторную запись формулы Стокса. Для этого левую часть формулы Стокса (7.42) следует интерпретировать как циркуляцию векторного поля, а правую часть— как поток ротора векторного поля через поверхность. Теорема 7.2 (пзеорема Спзоиса). Если векторное поле а(М) непрерывно дифференцируемо в пространственной области О, то для любой кусочно гладкой поверхности о в 17, ограниченной простым кусочно гладким контуром Ь, верно ра- венство аФоз = (го1а)тзсЫ.
(7.50) Итак, оба слагаемые в правой части формулы (7.49) нулевые и, следовательно, ротор центрального векторного поля также нулевой. Отметим, что это верно и для осевого векторного полл, которое можно представить в виде у(г)г, где в данном случае вектор г есть проекция радиус-вектора точки на плоскость, перпендикулярную оси поля. 417 7.7. Простейшие типы иекториых полей 7.7. Простейшие типы векторных полей Рассмотрим некоторые частные типы векторных полей. Дифференцируемое векторное поле а(М), заданное в пространственной области Р, называют безвихревым векторным полем, если в любой точке этой области его ротор равен нулевому вектору О, т.е. (7.51) гоФ а(М) = О, М Е Р.
Из примера 7.13 следует, что безвихревыми являются центпрольное и осевое векторные полл. Непрерывное векторное поле а(М), заданное в области Р С С Кз, называют бесцирку.ллционным векторным полем, если циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру Х, лежащему в Р, равна нулю, т.е. (7.52) Гв = аЫв =О, где й(М) — единичный касательный вектор к контуру Х в точке М е Ь. Векепорное поле а(М), заданное в пространственной области Р, называют потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля и(М), т.е.
а(М) = рапи(М), М Е Р. (7.53) При этом скалярное поле и(М) называют (скалярным) потпенциалом векторного поля а(М). Нетрудно убедиться, что гравитационный потенциал материальной точки (см. пример 7.2) и электростатический потенциал точечного заряда (см. пример 7.5) являются скалярными потенциалами соответствующих центральных силовых полей, 418 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ которые являются потенциальными в пространстве с выколотой точкой (точкой размещения массы или заряда). Везвихревое поле, бесциркуляционное поле и потенциальное — близкие понятия, но не эквивалентные.
Чтобы выяснить связь между этими понятиями, введем некоторую прямоугольную систему координат Ох1хгхз и обратимся к теореме 6.3. В заданной системе координат рассмотрим дифференцируемое поле а(М) с координатными функциями а1(х1, хг, хз), аг(х1, хг, хз), аз(х1, хг, хз). Тогда условие безвихревого поля, используя координатную запись (7.44) ротора векторного поля, можно представить в виде даг даз д , дх,' дог да1 даз даг дхг дхз' дх, дх, Условие бесциркуляционного поля означает, что криволинейный интеграл второго рода от координатных функций этого поля по любому контуру в области равен нулю. Наконец, условие потенциального поля равносильно утверждению, что выражение а1 (Ь1+ аг дхг + аз дхз является полным дифференциалом некоторой функции.
Согласно теореме 6.3, все три условия для новерхносшно односвязной области Р эквивалентны. В общем случае эти понятия уже различаются. Однако можно утверждать, что в любой области в случае непрерывного векторного поля понятия потенциального поля и бесциркуляционного полл совпадают. Дифференцируемое бесциркуляционное поле является безвихревым, но обратное утверждение верно не всегда.
Отметим, что для потенциального векторного поля а(М), заданного в области Р, скалярный потенциал и(М) определен в Р с точностью до постоянного слагаемого. Действительно, вычисление потенциала векторного поля, согласно теореме 6.3, сводится к задаче восстановления функции по ее дифференциалу, а такая задача может быть решена с точностью до постоянного слагаемого. 7.7.
Простейшие типы веиториых полей 419 Если векторное поле а(М) потенциально в области Р, то линейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Согласно 4ормуле Ньютона — Лейбница длл криволинейного интеграла, значение линейного интеграла может быть найдено с помощью потенциала и(М) векторного поля: В асов = и(М) ~ = и(В) — и(А). А (7.64) вь Гь = айсЬ = Л(в) дв ф О.
Ь о Полученное противоречие показывает, что у потенциального полл в односвяэной области нет замкнутых векторных линий. Теорема 6.3 не только выявляет связь между тремя типами векторных полей, но и дает удобный способ вычисления потенциала векторного поля. Чтобы найти потенциал и(М) заданного в области Р векторного поля а(М), можно выбрать некоторую фиксированную точку Мо Е Р и вычислить линейный интеграл вдоль любого пути в Р, соединяющего точки Мо ни У непрерывного потенциального поля в поверхностно одно- связной области нет замкнутых аентпорных линий Действительно, предположим, что непрерывное потенциальное поле а(М) имеет замкнутую векторную линию Ь.
Тогда, с одной стороны, циркуляция вдоль этой линии равна нулю, так как поле потенциально. С другой стороны, в каждой точке М контура Ь вектор а(М) коллинеарен единичному касательному вектору Ф(М) к кривой Ь, т.е. а(М) = Л(М)с(М), где скалярная функция Л(М) непрерывна на Ь и не обращается в нуль, поскольку на векторной линии а(М) ф О. Так как Л(М) у4 О, то функция Л(М) знакопостоянна на Х.
Исходя из этого, вводя на контуре Ь натуральный параметр в Е (О, во), получаем 420 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ и М. Тогда из равенства (7.54) получаем и(М) = и(Ме) + азаз. (7.55) Мо В втой формуле слагаемое и(МЗ) может принимать любые дей- ствительные значения. Потенциал можно также найти, инте- грируя систему дифференциальных уравнений дп — = а1, дх1 да — =аг, дхг дю — =аз, дхз Пример 7.14.
Проверим, является ли потенциальным векторное поле а(М), заданное в пространстве функцией а(х1~хг,хз) = (Х1+Х2ХЗ Хг+Х1хз хз+Х1хг/ з з з Рассматриваемое поле имеет координатные функции а1 = з з = х1 + хгхз, аг = хг + хгхз и аз = хз + Х1 хг.
Пользуясь предста- 3 влением (7.44) ротора в координатах, находим проекции гаса на координатные оси: даЗ даг (гаса)1 — — — — — = Х1 — х1 = О, дхг дхз да1 доз (гога)2 = — — — = хг — хг = О, дхз дх1 даг да1 (гог а)з = — — — = хз — хз = О. дх1 дхг где а1, аг, аз — координатные функции векторного поля.
Эта система вытекает из координатной записи градиента скаляр- ного поля. 421 7.7. Простейшие типы вектервык полей Рмс. 7.16 Итак, всюду в пространстве го$а = О, т.е. векторное поле а(М) является безвихревым, а значит, и потенциальным. Найдем потенциал этого поля. Для этого вычислим линейный интеграл векторного поля вдоль пути, соединяющего точку О(0;0;0) с точкой М(х;рея). В качестве пути, соединяющего эти точки, выберем трехзвенную ломаную ОМ1МзМ, где звено ОМ1 паравлельно оси Ох1, звено М1Мз — оси Охз, а звено МзМ вЂ” оси Охз (рис. 7.16). Тогда получим е! еа хз и(хг,хз,хз) =С+ ~ И~+ О <Ь)+ (~ +х1хз)ЙС = о о о .4+ 4+ 4 = С + + х1хэхз Ф 4 Дифференцируемое еемпзормое езоле а(М), заданное в пространственной области Р, называют солемоидальмым, если в любой точке М Е Р его дивергенция равна нулю, т.е.
й)та(М) = О, М Е Р. (7.56) Слово е соленоидальный а (от греческих слов ош)о)и — трубка и бсср — вид) ввел А.М. Ампер", а термин „соленоидзльное поле" принадлежит У. Томсону. Соленоидальное поле иногда называют трубчатым. Примером такого поля является магнитное поле, возникающее при прохождении электрического *А.М. Ампер (1775 — 1836) — французский физик и математик.
422 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ тока через катушку ипдуктивпости (катушку ипдуктивпости обычно называют соленоидом). Также солепоидальиыми являются векторное поле скоростей твердого тела, вращающегося относительно некоторой оси с постоянной угловой скоростью (см. пример 7.9), и центральное силовое поле, создаваемое помещенной в его центре материальной точкой или точечным электрическим зарядом (см. пример 7.10). В солепоидальпом поле пет источников пи положительной, ии отрицательной интенсивности. Рассмотрим область Ъ' внутри векторной трубки соленоидального поля а(М) между двумя ее произвольными поперечными сечениями Е1 и Ез (рпс. 7.17), которые могут быть пе обязательно плоскими. Для потока векторного поля а(М) через границу о области $~ получаем ааЮ = й1иаей' = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
