VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В этом случае говорят о вихревом характере силового поля. Чтобы охарактеризовать, в какой степени и где поле является вихревым, поступим следующим образом. Выберем некоторый единичный вектор тк, точку Мо в области определения векторного поля а. В плоскости сг, перпендикулярной вектору та и проходящей через точку Мо, возьмем простой кусочно гладкий контур Ь, окружающий точку Мо и ограничивающий в плоскости область с площадью г (рис. 7.13).
Предел 1 Г м,(Мо) = 1пп — ~> аФ~Ь ь~м,г ~ (7.40) Рис. 7.13 отношения циркуляции вдоль контура к площади, ограниченной этим контуром, если он существует, называют завихреимостпью векторного поля в точке Мо в направлении вектора тк. Например, завихренность плоского векторного поля скоростей точек вращающегося твердого тела в направлении вектора 410 7.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Й угловой скорости для любой точки Ме на оси вращения будет равна 2Й (см. пример 7.11). Оказывается, что завихренность векторного поля а(М) в точке Мс в направлении единичного вектора гг можно представить как проекцию некоторого вектора ш на направление вектора и. Вектор ы можно определить его проекциями на направления базисных векторов еп ез, ез. Его называют ротором (иногда вихрем) векторного поля в точке Мс и обозначают гога(М).
Термин „ротор" (от латинского слова гого— вращаю) и обозначение гоФ ввел в 1878 г. У. Клиффорд, но до него это обозначение наряду с обозначением сиг1 (по-английски вихрь, завиток, спираль) применял Дж. Максвелл. Поскольку завихренность векторного поля а(М) в точке Ме по направлению гь есть проекция на это направление вектора гога(Мв), наибольшее значение в точке Ме она достигает в направлении, определяемом самим ротором векторного поля. Таким образом, можно сказать, что ротор векторного поля в точке Мс — это вектор, в направлении которого завихренность поля в точке Мс максимальная, причем длина вектора равна этому максимальному значению.
Понятиям циркуляции и ротора можно дать гидродинамическую интерпретацию. Рассмотрим векторное поле п(М) скоростей частиц жидкости, заданное в некоторой пространственной области Р. Поместим мысленно в точку Мс Е Р центр тонкого плоского диска турбинки, лопасти которой расположены по ее ободу, представляющему собой окружность Е радиуса В (рис. 7.14).
Предположим, что погружение турбинки в жидкость не изменяет поля скоростей и при воздействии частиц жидкости на лопасти турбинка может вращаться без трения относительно своей оси. В каждой точке М Е Ь действие жидкости на лопасти определяется проекцией вектора п(М) на направление вектора Ф(М), касательного к Ь в этой точке, т.е. значением щ(М) = п(М)Ф(М).
Суммарное воздействие жидкости на турбинку при бесконечно большом числе лопастей будет 7.6. Циркукецил векторного полл и ротор Рис. 7.14 пропорционально интегралу Гв = еФеЬ, т.е. циркуляции полл скоростей жидкости по контуру Ь. Предположим, что турбинка имеет малые размеры, т.е. величина В мала.
В этом случае угловая скорость турбинки будет характеризовать завихренность поля скоростей жидкости в точке Ме в направлении оси турбинки. Изменяя направление оси, можно найти такое ее направление, при котором угловая скорость вращения турбинки будет наибольшей. Это направление совпадает с направлением ротора го$е(Ме) поля скоростей в точке Ме, а угловая скорость вращения турбинки при этом пропорциональна ~ го1 е(Ме) !. Циркуляция векторного поля и ротор не связаны с выбором какой-либо системы координат, однако вычисление их значений возможно лишь в том случае, если векторное поле будет представлено в некоторой системе координат.
Выясним, как выражается ротор векторного поля а(М), представленного в прямоугольной системе координат Ох1хзхз функцией т а(хмхз,кз) = (а1(хъхз,юз) аг(я1,къхз) аз(хмхз,хз)) В этом случае циркуляция Гв векторного полл а(М) вдоль плоского простого контура Ь представляется криволинейным 412 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ интегралом от координатных функций а1, аг, аз векторного поля а(М): Гс = аЬйз = а1о1х1 + аг с1хг + азиз.
(7.41) в Ъ Если векторное поле а(М) непрерывно дифференцируемо в области Р, содержащей контур Ь, то к этому криволинейному интегралу можно применить формулу Стокса: Г / / даг даг ~ Гь = а1йх1+агахг+азахз = / ~~ — — — 1пз+ ) (,0дх, дхг) Ь л /даз даг~ /да1 даз~ + ~ — — — )п1+ ~ — — — )пг сБ, (7.42) дхг дхз дхз дх1 где д — замкнутэл область в плоскости контура Ь, ограниченная этим контуром, а и; — направляющие косинусы вектора и нормали к плоскости контура Х, выбранного так, что заданное на контуре направление обхода направлено против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора и.
Стягивая контур Ь к фиксированной точке Мо, получим выражение для проекции ротора векторного поля а(М) в точке Мо на направление п (Г обозначает площадь плоской замкнутой области д) 1 Г/даг даз'1 (го1а(Мо))п= 11щ ) ~ )пзсБ+ в мог'/ ~ дх1 дхг) Я 1 Г/даз даг 1 1 Г/'да1 даз'1 + 1пп — ) ~ — — — (п1 1д+ 1нп — ) ( — — — ) гйд.
.Р/ ~дх, дх,),Р/ ~дх, дх) Я л Пределы в правой части равенства в силу непрерывности подынтеграпьных функций равны значениям этих функций в точке Мо. Таким образом, / даг да1 '1 (гоФа(Мо))п = ~ — — — ) пз+ ~ дхг дхг) 7.б. Цюрлуллцпю хектарюага полю и ротор 413 Формула (7.43) выражает взвихренность векторного поля т а(М) в точке Ме в направлении вектора гз = (пг пз пз) . Из вида правой части формулы вытекает, что взвихренность есть даз даз даз даз проекция на и вектора с координатами — — —, — — —, дхг дхз' дхз дхз' даз даз — — — Таким образом, наиден ротор векторного поля в дхз дхз' точке Ме, а указанные выражения есть его координаты, т.е.
/ даз дат '1 газа(Мс) = ~ — — — )ег+ ~, дхз дхз ) ег ез д д ез д дхз го$а(Ме) = (7.45) дхз дхз аг аз аз который аналогичен определителю, используемому при вычислении векторного произведения (???). Если ееатпорпое поле плоское и задано функцией а(хг,хз) = (аг(хпхз) аз(хпхз)), то ротор этого векторного поля будет иметь вид г' даз даг '1 газа(Ме) = ~ — — — ) ез дхг дхз (7.46) Пример 7.12.
Вычислим ротор векторного поля скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О. В каждый момент времени г векторное поле скоростей е(М) описывается векторной функцией е(г) = Й х г, где Й вЂ” вектор Координаты ротора по своему виду похожи на координаты векторного произведения двух векторов. Учитывая это, ротор векторного поля можно записать с помощью символического определителя третьего порядка 414 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Рис.
7.1б мгновенной угловой скорости. Выберем прямоугольную систему координат Охг хзхз с началом в точке О и представим вектор т Й его координатами: Й = (Й1 йз йз) (рис. 7.15). Тогда, вычисляя векторное произведение в координатах, получим ез ез ез Йз Йз Йз п(М) = х1 хз хз = (Йзхз — Йзхз)ег+ (Йзх1 — Йгхз)ез+ (Й1хз — Йзхз)ез Теперь, используя формулу (7.45) вычисления ротора в координатах, находим гозо = = 2йгег + 2йзез+ 2йзез = 2Й.
Таким образом, в любой точке М вращающегося тела ротор векторного поля скоростей равен удвоенному вектору мгновенной угловой скорости вращения зтого тела. ф Операция вычисления ротора векторного поля является линейной. Если векторные поля а(М) и 6(М) дифференцируемы ег д дж~ Йзхз — Йзхз ез д дхг Йзх1 — Йзхз ез д дхг йзхз — йзхз 7.б.
Цнркуланна векторного пола н ротор 415 в области Р, то, используя линейность операции дифференци- рования, можно показать, что в этой области гоФ(аа+)3Ь) = агоза+13гоЗЬ, (7.47) где а,)36 К. Кроме того, можно записать правило для ротора произведения векторного поля на скалярное, аналогичное правилу дифференцирования функций: гогЦа) = аргоса — ах 8гас17".
(7.48) В самом деле, используя представление (7.44) ротора в коорди- натах и правило дифференцирования произведения функций, находим (д(~аз) д(уаг) 1 /д(айаг) джаз 1 дх дхз ) ~ дхз дх ) (да~ дог '1 / дУ дУ '1 / дУ дУ 'г +ез ~ — — — ) У вЂ” е1 ~аг — — аз — ) — ег ~аз — — аг — )— ~дх1 дхг) ~ дхз дхг) ~, дх1 дхз) ( ду' ду" '1 — ез ас — — аг — ) = у гоФа — ах 8гас17. дхг дх1) В частности, если а — постоянный вектор, то го$а = 0 и гоз(уа) = — ах8габ~.
гога =гогот)г) = Дг)гост — тх 8гас1У(т). (7 49) Пример 7.13. Вычислим ротор ссенгпраяьноео векторного поля а(М), заданного в области Р векторной функцией а(г) = Дг)г, где т = ~г~, а функция у(т) является дифференцируемой. В соответствии с формулой (7.48) имеем 416 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Выберем прямоугольную систему координат Ох1хзхз с началом координат в центре О векторного поля а(М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
