VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Точно так же градиент функции трех переменных, в заданной системе координат представляющей рассматриваемое скалярное поле, есть вектор, указывающий направление наибольшего роста значений скалярного поля и величину этого роста. Этот вектор, вычисляемый в какой- либо системе координат, от выбора этой системы координат не зависит и характеризует свойства скалярного поля. Его и называют градиентом скалярного поля в заданной точке и обозначают 8гай и(М).
382 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Своим появлением понятие градиента обязано шотландскому физику и математику Дж.К. Максвеллу (1831 — 1879) и происходит от латинского слова Егай1ог, означающее „расти" (отсюда и обозначение Ехала, введенное им в 1873 г.). Однако сначала Максвелл намеревался обозначить это понятие словом в1оре — „склон", поскольку направление градиента противоположно направлению наискорейшего спуска по поверхности, которой можно изобразить плоское скалярное поле. Если функция многих переменных и(х,д,я) дифференцируема в точке (хе,де,яе), то вектор градиента этой функции в точке (хе, де, зс) перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку.
В силу того, что понятия „поверхность уровня" и „градиент" не связаны с выбором системы координат, отмеченное свойство переносится и на скалярные поля. Отсюда, в частности, следует, что единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля и(М) в точке М можно представить в виде [Ч] 8таби(М) ! Его(М) ! ' (7.5) 8тай(пи+)3с) = а8тайи+ ~38тайе, (7.6) где а,)3 Е Ж. Это равенство отражает свойство линейности операции взятия градиента скалярного поля в заданной точке. Аналогичным образом, учитывая правило дифференцирования произведения скалярных функций, можно установить пра- причем знак плюс соответствует направлению возрастания скалярного поля.
Скалярные поля с общей областью определения можно складывать и умножать на действительные числа. В результате этих операций мы снова поскучаем скалярные поля. Пусть в области Ю заданы дифференцируемые скалярные поля и(М) и е(М). Используя свойства частных производных скалярных функций, несложно установить, что 383 7.3. Векторное яоее вило вычисления градиента от произведения скалярных полей: 8гао(ии) = иягайе+иягайи. (7.7) дТ(х1 > хг) Т1 — Тв дх1 Вг дТ(хм хг) Т1 — То дхг Вг Таким образом, Т вЂ” Т 8гапТ(М) = г (хге1 + х1ег), М Е Р, (7 8) где ем ег — базисные векторы заданной прямоугольной си- стемы координат. На рис.
7.1 изображены векторы градиента. Видно, что их длина по мере приближения к точке М> возраста- ет. В начале координат градиент скалярного поля нулевой. 7.3. Векторное поле Наиболее наглядным примером векшориого полл является поле скоростей при течении жидкости. Пусть в некоторой области Р пространства происходит движение частиц жидкости, при котором в каждой точке М Е Р частицы жидкости, попадающие в эту точку в различные моменты времени, имеют один и тот же вектор скорости и(М). В этом случае говорят, что течение жидкости является установившимся (или стационарным). Таким образом, при установившемся течении жидкости вектор и(М) в произвольной точке М Е Р не изменяется с течением времени, хотя в разных точках М1 и Мг векторы и(М1) и Пример 7.2. Вычислим градиент плоского скалярного полл Т(М), которое задано функцией Т(хмхг) вида (7.4), определенной в области Р = ((х1,хг): х1 Е (О, В), хг Е (О, В) 1.
Функция Т(хм хг) дифференцируема в .Р, и поэтому для нее градиент определен в каждой точке области. Используя вид функции Т(хм хг), находим, что проекции градиента скалярного поля на координатные оси Ох1 и Охг равны соответственно 384 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛН и(Мз) могут различаться. Тем самым в области В определено векторное поле — поле скоростей жидкости.
Если в пространстве задана прямоугольная система координат Ох1хзхз, векторное поле может быть представлено как векторнал функция трех переменных. Действительно, в этом случае с помощью координат можно определить и точку в области определения, и вектор поля в этой точке. Обозначим через ет, ез, ез базисные векторы системы координат Ох1хзхз. Тогда векторное поле а(М) с областью определения В можно представить в виде а(М) = а1(хмхз, хз)ет+ аг(хмхз,хз)ез+ аз(хмхэ,хз)ез, (79) где а;(хмхз,хз), т' = 1, 2, 3, — некоторые скалярные функции трех переменных, определенные в П. Значениями этих функций в точке М(хт,хз,хз) являются координаты вектора а(М) в базисе ем ез, ез. Мы их будем называть координатными функциями векторного поля а(М).
Каждую из координатных функций можно рассматривать как представление некоторого скалярного поля. В этом смысле векторное поле можно считать комбинацией трех скалярных полей. Однако связь „векторное поле — три скалярных поля" напрямую зависит от выбора системы координат. Как и скалярные поля, вентпорные полл могут быть стпационарными и нестпационарными. В первом случае вектор поля зависит не только от точки, но и от времени, во втором — только от точки. Можно также выделить однородные и неоднородные вентпорные полл.
Значением однородного векторного поля во всех точках области является один и тот же вектор, неоднородное векторное поле в разных точках принимает разные значения. В дальнейшем под векторным полем будем понимать стационарное векторное поле. Вентпорное поле называют двумерным (одномерным), если в некоторой прямоугольной системе координат Ох1хзхз оно не зависит от переменного хз (переменных хз и хз).
Одно- 385 7.о. Векторное поле мерное векторное поле естественно рассматривать как частный случай двумерного векторного поля. Поле, не являющееся двумерным (а значит, и одномерным), будем называть тпрехмерным. Двумерное вентпорное поле э(М) называют плоским, если в той системе координат, в которой оно не зависит от третьей координаты хз, каждый вектор и(М) параллелен плоскости х10хз, т.е.
в втой системе координат аз(хпхз,хз) ив в О. Плоские векторные поля удобно рассматривать на плоскости, т.е. как функции точки на плоскости, а не в пространстве. Двумерное векторное поле, не являющееся плоским, называют плоснопараллельным. Пример 7.3. Твердое тело, вращающееся вокруг оси с постоянной угловой скоростью, описывает некоторую осесимметричную замкнутую область Р (рис. 7.2). В точке М б Р частицы (точки) твердого тела имеют скорость п(М) = Йхт, где Й вЂ” вектор угловой скорости, направленный вдоль оси вращения, а т — радиус-вектор точки М, имеющий начало в некоторой фиксированной точке О на оси вращения. Отметим, что выбор точки О на оси вращения не является существенным (1П].
Рис. 7.2 Таким образом, в Р определено векторное поле в(М), которое представлено векторной функцией э(г) = Йхг векторного аргумента и. Выберем прямоугольную систему координат Ох1хохз так, чтобы ось вращения совпала с координатной осью Охз, а вектор и — нее 386 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ й и орт ез были сонаправленными (см.
рис. 7.2). Тогда й = = Йез, где Й = ~й~ — длина вектора угловой скорости. Так как в выбранной системе координат радиус-вектор г = ОЛ1 точки М(х3,.хг,.хз) имеет координаты х1, хг, хз, то векторное произведение й хт может быть вычислено следующим образом: й х г = Йез х (х1е1+ хгег + хзез) = Й(х1 ег — хг е1). Следовательно, векторное поле е(М) представляется функцией е(х1,хг) = йхг = Й(х1ег — хге1), (7.10) а координатные функции векторного поля имеют вид 01(х1>хг>хз) = — Йхг, ег(х1>хг>хЗ) = Йх1> ез(х1>хг>хз) = О.
Таким образом, рассматриваемое векторное поле плоское, поскольку третья координатная функция равна нулю, а первые две не зависят от хз. Впрочем, это ясно и из геометрических соображений: векторы точек вращающегося тела перпендикулярны оси вращения и не меняются при переходе от точки к точке вдоль прямой, параллельной оси вращения. Предположим, что твердое тело, вращаясь вокруг оси, к тому же еще перемещается поступательно с постояыной скоростью ее = езез, направленной по оси вращения. Тогда векторная функция, представляющая поле в выбранной системе координат, изменится следующим образом: й(х1, хг) = Й (х,(М)ег — хг(М)е1) + ввез.
В этом случае векторное поле скоростей уже не будет плоским, хотя оно останется двумерным, т.е. оно плоскопараллельное. ф Если векторное поле а(М) в некоторой цилиндрической системе координат От>дя не зависит от угловой координаты >р, 387 7.3.
Векторное поле причем в каждой точке М вектор а(М) параллелен плоскости, проходящей через точку М и ось Ог, то зто иоле называют осессьеелсеисричиым. Осесимметричное плоское веитиориое иоле, векторы которого во всех точках М параллельны плоскости, перпендикулярной оси Ог, называют осевым. В осевом поле вектор в любой точке круговой цилиндрической поверхности т = С = сопвС перпендикулярен этой поверхности и имеет на поверхности постоянную длину. В связи с этим осевое векторное поле иногда называют цилиндрическим. Пример 7.4.
Рассмотрим однородный стержень, имеющий С форму цилиндра высотои Н с круговым поперечным сечением радиуса В и плоскими торцами (рис. 7.3). Пусть в материале стержня действуют внутренние источники тепловыделения с постоянной объемной мощностью дп, торцы стержня идеально теплоизолированы, а его боковая поверхность охлаждается за счет теплообмена с окружающей средой. При установившемся распределении температуры в стержне количество теплоты выделившейся в стержне за едяннцу времени, пропорционально его объему ярс~Н и равно яВ лс~Н. Вся выделившаяся теплота будет проходить через боковую поверхность, поэтому плотность теплового потока на единицу площади этой поверхности в силу осевой симметрии стержня всюду одинакова и равна щ В/2.
Рис. Т.З и* 388 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Вектпорное поле а(М) называют центпралъным (иногда сферическим) с центром в точке О, если в любой точке М его области определения вектор а(М) имеет длину, зависящую лишь от расстояния т = ОМ, и направлен вдоль прямой, проходящей через точки О и М. Выбрав точку О как начало радиус-векторов точек пространства, центральное поле а(М) с центром в точке О можно описать векторной функцией а(М) = а(т) = 7 (т)т векторного аргумента т, где т = ~т~ = ОМ.
(7.11) Пример 7.5. Векторное поле а(М), описывающее распределение сил в пространстве, называют силовым. Примером силового векторного полл является поле тяготения, порождаемое материальной точкой массой тле. Пусть эта масса расположена в начале прямоугольной системы координат. Согласно закону Ньютона, на материальную точку М массой тп с радиус- вектором т действует сила притяжения тптпо ~(т) ~ з" ~т~з (7.12) Рассуждая аналогично, можно установить, что на любой цилиндрической поверхности о„радиуса т ( В, соосной с боковой поверхностью (см. рис.
7.3), плотность теплового потока равна сд т(2. Вектор о(М) плотности теплового потока, проходящего через поверхность от, в любой точке М е от в силу осевой симметрии стержня перпендикулярен поверхности Я„ и имеет на поверхности постоянную длину ~д(М) ~ = д~ т/2. Таким образом, перенос теплоты в стержне описывается векторным полем д(М), являющимся осевым. Если один или оба торца стержня охлаждаются окружающей средой, то направление теплового потока уже не будет перпендикулярно оси стержня, а векторное поле о(М) не будет осевым.
ф 389 7.3. Векторное ноле где С вЂ” гравитационная постоянная (см. 7.1). Таким образом, в области Кз '1 (О) (пространстве с выколотой точкой) определено силовое поле и( ) ~ з' !!'' (7.13) которое в данном случае записано как векторная функция векторного аргумента. Вектор а(М) характеризует силу, с которой масса то притягивает единичную массу, расположенную в точке М. Ясно, что векторное поле а(М) является центральным. Другой пример центрального векторного поля — поле сил притяжения или отталкивания, возникающих при взаимодействии точечных электрических зарядов. Пусть точечный заряд до находится в начале координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
