VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В этом случае в соответствии с законом Кулона' на заряд д, помещенный в точку с радиус- вектором и, действует сила ЧЧо 4тео!и!3 (7.14) где ео — электрическая постоянная (см. 7.1). Векторнзл функция В(г) = ® (7.15) 4яео!е !3 На векторные поля, как и на скалярные, можно распространить понятия непрерывности и дифференцируемости.
Веппзорпое поле а(М), определенное в пространственной области Р, называют непрерывным (дифференцпруемым) в точке М, если в некоторой прямоугольной системе координат оно *Ш.О. Кулон (1736-1806) — французский физик. векторного аргумента и задает в пространстве силовое поле .Е(М), значением которого в точке М является вектор напряженности электрического поля, т.е. вектор силы, с которой заряд до отталкивает помещенный в точку М единичный заряд, имеющий с до одинаковый знак.
7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ представляется функцией многих переменных, непрерывной (дифференцируемой) в этой точке. Векторное поле, непрерывное (дифференцируемое) в каждой точке области аУ, называют непрерывным (дифференцируемым) в Р. Введенные понятия не зависят от выбора системы координат, так как если в одной системе координат векторное поле представлено непрерывной (дифференцируемой) функцией, то и в любой другой системе координат оно будет представлено непрерывной (дифференцируемой) функцией.
Для векторных полей можно ввести понятие производной по направлению'. 7.4. Векторные линии Пусть векторное поле а(М) определено в области .0 С С м~. Гладкую кривую Г в В называют вемгпорной линией векторного поля а(М), если в каждой точке Р е Г касательный вектор к кривой коллинеарен вектору а(Р) (рис.
7.4). Рис. Т.4 Если еекгпормое иоле является силовым, то векторные линии такого поля называют сеьяовыми линиями. Также называют векторные линии и в случае, когда речь идет о векторном поле электрической и магнитной напряженности. На векторной 'В [Ч) такое понятие для некторных функций не вводилось, хотя и было отмечено, что его легко определить аналогично скалярному случаю. 391 7А. Векторные лнннн линии стрелками обычно указывают направление векторного поля в точках, принадлежащих этой линии.
В гидродинамике векторные линии называют .аннплми тпоееа. Они представляют собой траектории установившегося движения частиц жидкости. Действительно, в этом случае векторным полем является поле скоростей, а вектор скорости направлен по касательной к траектории движения частицы жидкости. Пусть в пространственной области Р задано векторное поле а(М), причем а(М) Ф О, М Е Р.
Выберем некоторую прямоугольную декартову систему координат Ох1хгхз (рис. 7.5). Тогда векторное поле а(М) в этой системе координат будет представлено векторной функцией а(хм хг, хз) с координатными функниями а;(х1, хг,хз), 1 = 1, 2, 3. Пусть векторная линия Г в Р задана параметрическими уравнениями х1 = х1(з), хг = хг(1), Ф б [сз, Р]. хз = хз(1), (7.16) В точке Р, которой соответствует значение 8 параметра кривой Г,касательный вектор к кривой имеет вид й (~) йх1 (З) йхгЯ (Ьз($) <Й й Ж сй =ез +ег — +ез Рис.
7.5 392 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Согласно определению векторной линии, этот вектор коллинеарен вектору а(Р) = аг(Р)ег + аг(Р)ег + аз(Р)ез. Записав условие коллинеарности двух векторов, получим 'г (1) хг(з) хз(з) аг(хг,хг,хз) аг(хмхг,хз) аз(хмхг хз) или, переходя к записи в дифференциалах, ~г ахг ахз аг(хг,хг,хз) аг(хмхьхз) аз(хмхг,хз) Напомним, что если в уравнении (7.18) какой-либо из знаменателей а;(хмхг,хз) обращается в нуль, то нулю равен и числитель соответствующей дроби. В силу условия а(М) ф О, М Е Р, в каждой точке области один из знаменателей отличен от нуля. Уравнения (7.18) представляют собой симметричную форму записи автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (Ч11Ц. Для перехода к записи этой системы в координатной форме достаточно все отношения в (7.18) приравнять дифференциалу ~й параметра $: сь;(з) й = а;(хг,хг хз) (7.19) 1 = 1, 2, 3.
Выберем на кривой Г точку Мо(хг~, хг, хоз), и пусть этой точке соответствует значение зо параметра кривой. Тогда условие принадлежности точки Мо кривой Г в координатах имеет вид х;(Зо) =хо, з=1,2,3. (7.20) Система дифференциальных уравнений (7.19) в сочетании с уравнениями (7.20) представляет собой задачу Коши [Ч11Ц. Из теоремы Коши существования и единственности решения системы ОДУ (Ч11Ц следует, что если функции а;(хг,хг,хз), 393 Т.4. Векторные лю1ия Пример 7.6. Найдем векторные линии поля скоростей твердого тела Р, вращающегося вокруг оси. Выберем прямоугольную систему координат Ох1хзхз так, чтобы ось вращения совпала с координатной осью Охз (см. рис.
7.2). Как следует из примера 7.3, рассматриваемое векторное поле описывается векторной функцией и(г) = й х г, где г — радиус-вектор точки, а координатные Функции этого поля имеют вид е1(хмхз, яз) = Йхз и ея(жз жя жз) = Йхз юз(!е1 жз жз) = О. Поэтому В денном случае система (7.18) имеет вид 4~г ~~з — йяз йх1 О ' (7.21) где й = [й[. Нетрудно увидеть, что система распадается на два независимых уравнения я1дх1 = -хзНхз и Ияз = О. Решая их, приходим к общему решению системы (7.21) в виде с х~1+хз~ — Сз = О, яз-Сз =О. Отсюда можно заключить, что векторные линии являются окружностями с центрами на оси Охз, лежащими в плоскостях, перпендикулярных этой оси.
Как и следовало ожидать, онн совпадают с траекториями движения отдельных точек твердого з = 1,2,3, удовлетворяют в области Р условию Лившица относительно переменных яб то в некоторой окрестности точки 8 Е [а, Д, соответствующей точке М Е Р, существует решение системы (7.19), и притом единственное.
Это решение в соответствии с (7.16) определяет единственную кривую, проходящую через точку М и имеющую в каждой своей точке Р касательный вектор,коллинеарный вектору а(Р). Таким образом, через произвольную точку М Е Р, в которой а(М) Ф О, проходит векторная линия заданного векторного поля, и притом единственная. Отметим, что если функция имеет в области Р ограниченные частные производные по всем переменным, то в этой области она удовлетворяет условию Липшица [УПЦ. 394 7.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ тела. Например, для точки М(В;0;0) Е Р постоянные в общем решении принимают значения С1 = Вг, Сг = О, т.е. векторная линия, проходящая через эту точку, есть окружность, лежащая в плес~ос~~ хз = 0 (в кооРдинатной ~~ос~ости х1 Охг). РадиУс этой окружности равен В, а центр совпадает с началом координат. Пример 7.7. Пусть твердое тело вращается вокруг оси Охз с постоянной угловой скоростью Й = Йез и, кроме того, перемещается поступательно вдоль этой оси со скоростью е = = аоез, ео > 0 (см. пример 7.3). Тогда векторное поле е(М) скоростей имеет координатные функции и1(х1,хг,хз) = — Йхг и ег(хмхг,хз) = Йхм аз(х1,хг,хз) = ао, а система дифференциальных уравнений для векторных линий такова: охз Ихг дхз — Йхг Йх2 ао ' (7.22) В данном случае можно переменное хз взять в качестве независимого и представить систему в следующем виде: Ихг Й вЂ” = — х1.
Ихз со сЬ~ Й вЂ” хг) охз ао (7.23) Преобразуем эту систему двух ОДУ, записанную в нормальной форме, в дифференциальное уравнение второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение и с помощью второго уравнения исключим переменное хг. ~2. Й2 — + — х1= 0. дхг сг з о (7.24) х1(хз) = С1 соархз + Сгзшрхз> Это — линейное дифференциальное уравнение, и нетрудно найти его общее решение 395 7.4. Векторныеливии где Теперь функцию хз(хз) можно определить из первого уравнения системы (7.23).
Используя равенство (7.24), вычисляем производную х1 по хз и подставляем в первое уравнение (7.23). В результате получаем х2(хз) = С1ешРхз СзсовРхз. (7.25) Общее решение (7.24), (7.25) системы (7.23) позволяет найти векторную ливию, проходящую через заданную точку М* Е Р с координатами хе» х~, хе~. для этого достаточно в уравнения (7.24), (7.25) подставить значения координат точки. В результате будем иметь систему двух линейных уравнений относительно неизвестных постоянных С~ и Сз: < х1 = С1соврх3+ С2в1прхз, хз(хз) = С1 в1прхз — С2 созрхз. Отметим, что определитель системы — сов~ рхз — вш~ рх~ —— — 1 не равен нулю. Потому система имеет решение, и притом единственное.
Если рассматривать координату хз в качестве параметра, то придем к выводу, что уравнения (7.24), (7.25) задают винтовую линию. Ее ось совпадает с координатной осью Охз, а проекция на плоскость хз = 0 есть окружность с центром в начале координат, квадрат радиуса которой равен С~э + С~э. Последнее можно установить, если возвести в квадрат (7.24) и (7.25) и сложить результаты. В частности, для точки М'(В;0;О) иэ (7.24) имеем С1 = В, а из (7.25) — Сз = 0 и вместо (7.24), (7.25) получим х1(хз) = Всоврхз, хз(хз) = Вв1прхз.
~ (7 26) 396 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Пусть в пространственной области В задано векторное поле а(М). Возьмем в П гладкую кривую Х, для которой в любой ее точке Р касательный вектор кривой не является коллинеарным вектору а(Р) (в частности, а(Р) Ф 0). Такую нрнврю будем называть трансверсальной векторному полю а(Р). Через каждую точку Р Е Х можно провести векторную линию рассматриваемого полл. При этом множество всех таких линий, проходящих через точки Р Е Х, образует поверхность о, называемую вен1порной поверхностью векторного полл а(М) (рис.
7.6). Векторная линия, проходящая через любую точку Р Е о векторной поверхности о, целиком лежит на этой поверхности. Поэтому касательная к векторной линии в точке Р е о, а значит, и вектор а(Р) будут перпендикулярны вектору п(Р) нормали к о' в этой точке. Рис. Т.В В некоторых случаях векторная поверхность может оказаться плоскостью или частью плоскости.
Ясно, что это возможно лишь в случае, когда линия Х является плоской. Однако прямой зависимости между формой линии Х и формой соответствующей векторной поверхности нет. Выбрав в качестве Х прямую или отрезок прямой, мы можем прийти к векторной поверхности, не являющейся плоскостью или частью плоскости. Например, векторные линии векторного поля скоростей вращающегося вокруг оси твердого тела есть окружности с центрами на оси вращения (см. пример 7.6). Если в качестве Х взять прямую, параллельную оси вращения, то соответствующая век- 7.5.
Поток векторного ноля н дивергенция 397 торная поверхность будет прямым круговым цилиндром, осью симметрии которого является ось вращения. Выбрав в качестве кривой Х простой контур, получим векторную поверхность, называемую веитпорной трубкой векторного поля а(М) (рис. 7.7).
Любая векторная линия, не проходящая через точки контура Ь, целиком лежит либо внутри, либо вне векторной трубки. Для поля скоростей твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси (см. пример 7.6), векторные трубки представляют собой замкнутые торообразные поверхности. На рис. 7.8 изображена половина такой векторной трубки, образованной с помощью окружности Х радиуса гм плоскость которой содержит ось вращения, а центр окружности находится на расстоянии В от этой оси (эта поверхность является частью тора). Рис. 7.7 Рис. 7.8 7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
