VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вычислим площадь Я части гиперболического параболоида х = ху, вырезаемой прямым круговым цилиндром х2+ у2 = 8 (рис. 6.4). В данном случае поверхность является графиком функции ~(х,у) = ху с областью определения Р = ((х;у) Е ай: х2 + у~ < 3) . В этой области функция ~(х, у) = ху непрерывна и имеет непрерывные частные производные Д = у и ~„' = х.
Поэтому площадь поверхности можно вычислить по формуле (1.63). Подставляя значения частных производных в эту формулу, находим 1+ 32+ х2йхйр 332 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Для вычисления этого двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам г, у, в которых Ю = ((г; ср) Е К: г Е [О, ~Г8], ср Е (О, 2я) ) . Тогда получим ъг 4в (1+ гз)Юз ~~Ге 62 8=/ Юу~ у1+ ~8=2 = — я. 3 о 3 0 0 Рис.
6.5 Рис. 6.4 Пример 6.3. Найдем площадь Я поверхности тела, ограниченного цилиндрами хз + гз = аз и уз + «з = аз (рис. 6 5). Исключая з из этих уравнений, получаем уравнения у = ~я проекций линий пересечения цилиндров на плоскость хОу. Учитывая, что рассматриваемое тело симметрично относительно координатных плоскостей, а также относительно плоскостей у = ~я, при вычислении площади поверхности этого тела достаточно рассмотреть участок цилиндрической поверхности яв+яз = а~, расположенный в первом оставите. Этот участок ограничен плоскостями хОу, хОв и у = я и составляет шестнадцатую часть рассматриваемой поверхности. Его можно задать явно уравнением я = ~/а~ — яз, в котором функция б.3.
Пеовщдь воверхвесгв г = /(х, у) имеет треугольную область определения Р = 1(х; р) ~ й~: х ~ [О а1> д ( х) . В замкнутой области Р функция /(х, у) непрерывна и имеет непрерывную частную производную /г = О. Частная производная Д = — х/~/а~ — х~ непрерывна в Р всюду, кроме точек прямой х = а, причем в окрестности каждой такой точки она не ограничена. Тем не менее использовать формулу (1.63) можно. Она приводит к несобственному двойному интегралу по замкнутой области .Р.
Непосредственное вычисление несобственного интеграла доказывает его сходимость и дает площадь рассматриваемой поверхности: Я = 16 1+ <Ь Иу = 16 Иу = в а = 16 1 = — 16а~/а~ — хг~ = 16а~. / ~/ог хг о о Пример 6.4. Вычислим площадь Я винтовой поверхности (прямого геликоида), заданной параметрическими уравнениями х = и сове, р = и в1по, г = ой (Ь ) 0) и ограниченной плоскостями г = О, г = 2Ы и цилиндрической поверхностью, заданной уравнением хг+ рг = а .
г г Подставляя уравнение г = ий в уравнения ограничивающих плоскостей, устанавливаем, что о Е [О, 2я). Возводя первые два параметрических уравнения в квадрат и подставляя в уравнение, задающее цилиндрическую поверхность, находим, что для точек этой поверхности и = а . Следовательно, и, о и г являг г ются цилиндрическими координатами точек рассматриваемого участка винтовой поверхности, причем в качестве области Р определения функций, задающих этот участок, можно принять круг радиуса сс Р = 1(ирг) Е В~: иЕ [О,а), об [0,2я]). 334 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Используя представления (6.17) — (6. 19), находим я = (х~ ) г + (р' )г + (х~ ) 2 = совг о + в)пг с — 1 хихв + раув + гаге / / / / / =сове ( — ивше)+вше.исове+О.Ь = О, ( ~)2+у)2+( ~)2 игв1„2„+,г г„+Ьг иг+Ьг Подставляя эти соотношения в (6.21), имеем Интеграл в правой части этого равенства вычислим интегрированием по частям с использованием таблицы интегралов [7Ц: Г (иг+ Ьг) — Ьг ~=) Л~г~=.,"г+и- ' ',ь= и Дг+Ьг г+Ьг~ [ + / г+Ьг~ Отсюда находим выражение для Х и в итоге получаем а 8=2 / /Р+л ~= 0 л — я(и~Д2+ Ь2 + Ь21п~и+ ~/иг + Ь2 [) ~ = я(а~/а~+ Ьг+ Ь 1в[а+ ~/аг+ Ьг [ — Ь21пЬ).
6.4. Поверхностный интеграл первого рода Поверхностный интеграл первого рода представляет собои такое же естественное обобщение двойного интеграла, каким является криволинейный интеграл первого рода по отношению 335 е.4. Поеерхвоехвый лвтегрел первого рода Я Е У(хо Ро х') ДЯ' 1=1 (6.23) назовем интегральной суммой для функции у(х, р, х) по поверх- ности Ф. Определение 6.1. Если интегральная сумма (6.23) при д -1 0 имеет конечный предел Х, не зависящий ни от способа разбиения поверхности Ф на частичные области Ф, С Ф, 4 = = 1, и, ни от выбора точек М;(х;;у;;х,) Е Ф;, то этот предел называют поверхностныле интегралоле первоео рода от функции Дх, р, х) по поверхности Ф и обозначают 1= ~(х,у,х)ао'.
Итак, используя (6.23), имеем (6.24) Раскрывая смысл предельного перехода в (6.24), устанавливаем следующее: число 1 называют поверхностным интегралом к обычному определенному интегралу. Это обобщение строится на основе определения площади криволинейной поверхности. Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Охух. Пусть на некоторой двусторонней зладпой (нли кусочно хладной) поверхности Ф, ограниченной кусочно гладким контуром Ь, определена функция у (М) = ~(х, у, х). Выберем разбиение поверхности Ф на конечное число частичных областей Ф;, 4 = 1, и, с площадями ДЯ;.
В каждой частичной области Ф, возьмем произвольную точку М;(х;;у,",х;) Е Ф;. Пусть д — максимальный из диаметров д1 частичных областей Ф;, 4 = 1, и. Сумму 336 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ первого рода от функции Дх,у, я) по поверхности Ф, если для любого е ) О найдется такое б(е) > О, что при любом рыбиении поверхности Ф на частичные области Ф; С Ф, 1 = 1, н, с диаметрами 4 и площадями ЬЯ;, подчиненными единственному условию Н = шах 4 < Б(е), н при произвольном выборе точек з=1,в М;(хбу,", я;) Е Ф; выполняется неравенство и ~1 — ~~ ~(х,,у;,х;)ЬБ;~ <е. Ы1 (6.25) Из определения 6.1 поверхностного интеграла первого рода следует, что он не зависит от выбора стороны поверхности.
Теорема 6.1. Пусть Ф вЂ” гладкая поверхность, не имеющая особых точек и заданнал нараметрически уравнениями х = х(и,о), у = 9(и, о), (и; о) Е Р С К, х = «(и,и), где функции Е, Р, С переменных и и и определены соотноше- ниями (6.17) — (6.19). м Согласно определению, разбиению Т поверхности Ф на частичные области Ф;, 1 = 1, и, отвечает разбиение Тп области Р и пусть функция ДМ) = 7"(х,р,г) непрерывна во всех точках М Е Ф, включая краб поверхности Ф. Тогда поверхностный ин- теграл первого рода (6.24) существует и может быть вычислен по формуле 337 о.4.
Повврхпоогпый интеграл первого рода определения функций в параметрических уравнениях (6.6) на частичные области Р,. Если к нулю стремится диаметр Ы(Т) разбиения Т, то диаметр д(Тг() разбиения То также стремится к нулю, и наоборот. Итак, выберем разбиение Т поверхности Ф на частичные области Ф; и соответствующее ему разбиение Тг( замкнутой области Р на частичные области Р;, 1 = 1, и. В каждой частичной области Ф; возьмем произвольную точку М,(я;; убя;). Этой точке отвечает точка (и(; и;) в частичной области Р;, так что я( = х(и(,и;), у, = у(и,,и;), я( = «(и;,и;). (6.27) В соответствии с (6.21) для площади поверхности ЬЯ; частич- ной области Ф; имеем ЬЯ, = ЕС вЂ” Езди сЬ. Применяя теорему о среднем значении для двойного интеерала, получаем ЕЦ, Ер ~$ где Е;, Р;, д; — значения функций Е, Е, С в некоторой точке (йби;) е Р;, а Ы, — площадь .Р;. Тогда интегральную сумму (6.23) для поверхностного интеграла в левой части (6.26) с учетом (6.27) можно представить в виде 8„'=1 у( ( „д,р(зв(, (~дц((во; — г вз;.
Отличие суммы Яп от интегральной суммы 338 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ для двойного интеграла в правой части (6.26), в которой Ерэ г;, С; — значения Е, г', С в точке (хб р,), состоит в том, что слагаемые в о~~ вычислены в произвольной точке (ибгч) Е Р;, д Е„' рЕО-Е д вычислен в точке (й;;о;) Е Р;, положение которой диктуется теоремой о среднем значении для двойного интеграла. Рассмотрим разность )Е„' — Е"~ =Е у' (~ЯРО; — Е,. —,~ЕС вЂ” Е,. )ЕЕ„ где Д = у (х(про в;), у(и;, гч), л(и;, е,)). Поскольку сложная функция 1(х(и,е), р(и,е), я(и,е)) непрерывна в замкнутой области Р, то она и ограничена в этой области, т.е. ~Дх,р)~ < К в Р для некоторой константы К. Следовательно, ~ Я < К, 1 = 1, и.
Фу д УЕО-Е рр Р.Р уд бого е ) О существует такое д(е) ) О, что для любого разбиения замкнутой области Р с диаметром у1, меньшим 6(е), выполняется неравенство Д=(~УЕ;О,-Е,'-ЕЕ;О;-Е,' д ', где У вЂ” площадь области Р. Значит, если Й= й(Тгу) < 6(е), то Это равносильно тому, что 1пп(о„' — Я,",) = О.
Й-+е Отсюда следует, что если сумма Я„" имеет предел при Й вЂ” + О, то и сумма Я,', имеет тот же предел при И-+ О. Но при любом выборе точек М, Е ЬФрз 1 = 1, и, сумма оя является интегральной суммой двойного интеграла в правой части (6.26), 339 бА. Поверхпоетпьп1 иетеграе первого рода который существует в силу непрерывности подынтегральной функции (см. теорему 1.5). Следовательно, существует и равный этому интегралу предел при Й вЂ” ~ 0 суммы оо, являющийся, согласно определению 6.1, поверхностным интегралом первого рода в левой части (6.26). 1ь В случае поверхности Ф, заданной лоно уравнением х = = Дх, у), формула (6.26) принимает вид У(х,у,х)ао' = <Ь ду, (6.28) где Р* — проекция поверхности Ф на плоскость хОу.
Так как 1 ~сову(' где у — угол между вектором нормали к поверхности Ф и осью Оз, то (6.28) можно представить в виде (6.29) При доказательстве теоремы 6.1 предполагалось, что поверхность Ф, по которой берется поверхностный интеграл первого рода в (6.26), является гладкой и незамкнутой.
Отметим, что формула (6.26) справедлива н в случае кусочно гладкой поверхности, причем как незамкнутой, так и замкнутой. Пример 6.5. Вычислим поверхностный интеграл первого рода 1 от функции Дх, у,х) = х по поверхности Ф, являющейся частью гиперболического параболоида, заданного уравнением 340 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ г « = ху, которая вырезана цилиндрическои поверхностью х + + уг = 4.
Используя (6.28), запишем Х= «оЯ= « Ф о. 1+,г+ гд ду о. где Хг* — замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат. Как и в примере 6.2, перейдем к полярным координатам: 2я 2 ~=/~~ /,'„Т~~ ~ ь~~= о о 2я 2 = |..,ь)|"Д7Д.= . у о о Поверхностный интеграл первого рода по своей сути аналогичен двойному интегралу и на него распространяются основные свойства двойного интеграла: линейность, аддитивность, монотонность. Для поверхностного интеграла верна оценка по модулю, аналогичная соответствущей оценке двойного интеграла, а также следующий аналог теоремы о среднем для двойного интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
