VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 38
Текст из файла (страница 38)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рвс. 5.13 причем в качестве пути интегрирования в последнем интеграле можно взять горизонтальный отрезок, соединяющий точки М(х;у) и М(х+Ьх;р) (рис. 5.13). В этом случае ду = О, переменное р имеет постоянное значение,и мы получаем (я+ах;у) (*и) где последний интеграл есть определенный интеграл по отрезку [х,х+Ьх]. Итак, функция р(йх) =Р(х+Ьх,у) — Р(х,у) переменного Ьх представлена как определенный интеграл с переменным верхним пределом, причем подынтегральная функция является непрерывной в точке с = х. Поэтому функция <р(Ьх) дифференцнруема при Ьх = 0 и ~р'(0) = Р(х, у).
Но последнее равенство и означает, что в точке М(х;у) функция Р(х, р) имеет частную производную по переменному х, равную Р(х, у). Аналогичным образом, используя приращение Ьу по переменному р, можно показать, что в точке М функция г (х,у) имеет также и частную производную по переменному р, разу Я(хр) ) Теорема 5.6. Пусть функции Р(х, у) и Я(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой одно- 5.8. Усеоаин неаааиеииоети интеграла от нута интегрировании 301 дР(х, у) дЯ(х,р) (5.45) ду дх 3) для любого кусочно гладкого контура Ь, целиком лежащего в области Р, верно равенство Р(х, у) йх+ Я(х, р) Ыу = О.
4) криволинейный интеграл второго рода от функций Р(х, у) и фх,у) в области Р не зависит от пути интегрирования. ~ Докажем зту теорему „вкруговую". Сначала покажем, что из первого условия теоремы следует второе. Пусть Р(х, у) йх+ Я(х, у) е1у = АР(х, у). (5.46) Тогда имеем [У] дР(х,р) двх,р) ® Следовательно, дР(х, у) дзР(х, р) дЯ(х, у) дз Р(х, у) ду дудх дх дхду ОР дЦ В силу непрерывности частных производных — и — праду дх вые части последних равенств равны между собой, так как непрерывные смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.
Поэтому равны и левые части этих равенств, т.е. выполнено второе условие теоремы. связной области П в плоскости хОу. Тогда следующие четыре условия эквивалентны: 1) выражение Р(х,у)Йх+ Я(х,у)Ну является в области Р полным дифференциалом некоторой функции Р(х,у); 2) всюду в области Р верно равенство 302 б. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Покажем теперь, что иэ второго условия теоремы следует третье.
Пусть Ь вЂ” произвольный кусочно гладкий контур, целиком лежащий в области В. Согласно форму.ае Грина длл односвлзноб обласещ Р(х,у)дх+Я(х,у)ду= ' — ' дхду=0, так как в силу второго условия теоремы подынтеграиьная функция в двойном интеграле тождественно равна нулю. Итак, доказано, что выполнено третье условие теоремы.
Третье и четвертое условия эквивалентны в силу теоремы 5.4. Пусть выполнено четвертое условие. Согласно теореме 5.5, функция Р(х, у), определяемая равенством (5.43), имеет непрерывные частные производные, равные Р(х,у) и Я(х,у). Но тогда эта функция дифферевцируема, а ее дифференциал имеет вид дУ(х, у) = Р(х, у) дх + Я(х, у) ду. Это доказывает выполнение первого условия теоремы. ~ Теорема 5.6 дает не только несколько критериев независимости криволинейного интеграла от пути, но и метод, позволяющий восстановить функцию Р(х,у) по ее дифференциалу Р(х, у) йх + Я(х, у) ду. Выражение Р(х, у) дх + Я(х, у) ду называ ют дифференциальной формой. В теореме 5.6 сформулированы условия, при которых дифференциальная форма является дифференциалом некоторой функции двух переменных.
Пример 5.11. Рассмотрим количество й~ тепловой энергии, которое необходимо сообщить 1 кмоль идеального газа, чтобы перевести этот газ из состояния, определяемого давлением р, объемом е и абсолютной температурой Т, в близкое состояние р + др, е + оо, Т + оТ. Выясним, можно ли представить величину Й~ как дифференциал некоторой функции переменных р, е, Т. Поскольку газ идеальный, давление, объем о.8.
Усаовив везаввеимоети ивтеграеа от пути ивтегрировавия 303 и температура связаны уравнением состояния (5.47) где В м 8314 — универсальная газовая постоянная. Это д амаль К уравнение, имеющее фундаментальное значение в естественных науках и технике, вывел в 1874 г. русский химик Д.И.
Менделе. ев (1834 — 1907), но пропорциональность величин рв и Т установил еще в 1834 г. французский физик и инженер Б.П.Э. Клапейрон (1799 — 1864). Поэтому (5.47) принято называть уравнением Клапейрона — Менделеева. Если при подводе тепловой энергии й) объем е газа не изменяется, то его температура возрастает на ИТ1 = —, где с„— Щ С„ теплоемкость 1 кмоль газа при постоянном объеме. В соответствии с уравнением (5.47) возрастает давление на др1 = — дТ1. В При неизменном давлении р из уравнения (5.47) следует, что рост температуры на Ж' вызовет увеличение объема на <Ь = В = — дТ, т.е. гэз совершит работу рпо. Деиствительно, пусть газ находится при давлении р в цилиндре с поршнем площадью Я и занимает объем е (рис.
5.14). Газ действует на поршень с силой рЯ, которая уравновешена силой Р = рЯ, приложенной в обратном направлении к штоку. При увеличении объема газа до на сЬ поршень перемещается на расстояние <Ь = — и совершает Я работу, равную произведению постоянной снлы на перемещение 4о поршня: рЯ. — = р<Ь = ЯЙТ.
Я Рис. 6.14 ЗО4 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Таким образом, для повьппения температуры газа на ЙТ при неизменном давлении необходимо подвести больше тепловой энергии, чем при неизменном объеме, а именно Щ = с„ЙТ+рйе =с ЙТ+ВЙТ= с„ЙТ, где с„= с„+  — теплоемкость 1 кмоль газа при постоянном давлении. Если при изменении состояния газа изменяются все три параметра р, е и Т, то переход в близкое состояние можно разделить на две стадии: сначала температура изменяется на ЙТ при постоянном объеме и вызывает изменение давления, а затем при постоянном давлении изменяется на Йе объем. Тогда получим (5.48) сК~ = с„ЙТ + рйе. Из трех параметров состояния газа, согласно уравнению Клапейрона — Менделеева, независимыми являются лишь два. При анализе процессов, в которых газ используют в качестве рабочего тела тепловых двигателей и холодильных машин, часго независимыми параметрами выбирают р и е.
Дифференцированием (5.47) найдем рйе+еЙр = ВЙТ н, исключив нз (5.48) ЙТ, запишем й~ = — (рйе+ейр) +рйе = — рЙе+ — еЙр. (5.49) ср ср с, В В В Полагая, что ср и с„постоянны, и сравнивая частные производ- ные — ( — р) = — и — ( — е) = —, устанавливаем, что равенство (5.45) в данном случае не выполнено, так как ср ) с„. Следовательно, подведенное к газу количество энергии й~ не является полным дифференциалом. Это означает, что при переходе идеального газа из одного состояния в другое подведенное к газу (или отведенное 8.8.
Усювив иезависвиости ивтегрвла от луги ивтегрироваввя 305 от него) количество тепловой энергии зависит от конкретного процесса перехода, изображаемого в координатной плоскости чОр некоторой кривой АВ (рис. 5.15), и равно Рис. 5.15 АВ Даже при возвращении газа в исходное состояние по некоторой замкнутой кривой АВЕРА он может приобрести (или потерять) определенное количество тепловой энергии, что и положено в основу рабочих процессов разнообразных тепловых двигателей и холодильных машин.
Отметим, что записанное с учетом (5.47) и (5.48) отношение й~ В Ии Ыр — = — Й~=ср — +с„— Т ро ю р является полным дифференциалом функции о = С+ср)по+ с„1пр, С = сопяФ, называемой в термодинамике энтропией (от греческого слова аитрохьа — поворот, превращение). Поэтому, согласно теореме 5.6, криволинейный интеграл АВ не зависит от пути интегрирования. Таким образом, энтропия является функцией только состояния газа и не зависит от процесса перехода из одного состояния в другое, тогда как подведенная к газу тепловая энергия Я таким свойством не обладает. Б.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 306 5.9. Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала В односвязной плоской области .0 криволинейный интеграл второго рода 1 = Р(х, у) дх+ Я(х,у) ду АВ не зависит от пути интегрирования, если подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции Р(х, р).
Если функции Р(х, у) и Я(х, у) имеют в 1) непрерывные частные производные, то, согласно теореме 5.6, для независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство дР(х, у) дЯ(х, у) др дх Напомним, что для криволинейных интегралов, не зависящих от пути, используют специальное обозначение В(аваев) 1 = Р(х,у) дх+ Я(х,р) ду. А(*А;яА) Основная идея в вычислении таких интегралов состоит в выборе наиболее простого пути интегрирования. Как правило, в этом случае в качестве пути интегрирования выбирают ломаную АКВ, состоящую из двух отрезков прямых, параллельных координатным осям (рис.
5.16). Если такой путь интегрирования целиком попадает в Рнс. 6.16 о.9. Вычислеиие иитегрвла от волвого Аифферевииаеа 307 область Р, то в соответствии со свойством 4' криволинейного интеграла второго рода (см. 5.6) можно написать АВ | Р(х, Ц) Йх+ Я(х, Д) е(у = Я(хА,у) ду+ Р(х, ЦВ) дх = АК КВ Ув ев Ю(хА)у)'Ь+ Р(х уВ)охи УА ил поскольку при интегрировании по отрезку АК имеем х = хл = = сопвФ, Их ги 0 и у изменяется от рА до уВ, а при интегрировании по отрезку К — у = уВ = сопз1, ду = 0 и х изменяется от хл до хВ. Таким образом, получаем формулу (ив Ьов) | Р(х, у) Их+ Я(х, у) Иу = (ел ил) Ув ив Я(хА у) йу+ Р(х,уВ) г(х, (5 50) вл ил которую удобно использовать для вычисления криволинеиного интеграла второго рода от полного дифференциала в плоской односвязной области Р. Криволинейный интеграл, не зависящий от пути, можно вычислять и с помощью формулы Ньютона — Лейбница для криволинейноео интеерала.
Это удобно в случае, когда легко найти функцию Р(х, р), дифференциалом которой является под ьпггег ынтегральное выражение. Отметим, что на практике часто решают обратную задачу: с помощью криволинейного интеграла определяют функцию и'(х,д). Пример 5.12. Вычислим криволинейный интеграл второго рода (з;з) 1 = удх+ хну. (1;1) 308 0. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этом случае легко сразу указать функцию Р(х, р) = хр, для которой подынтегральное выражение являетсл полным дифференциалом. Дейсгвительно, дР дР г(Р(х, р) = — 1(х + — 1(р = р йх + х йр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
