VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть поверхность о задана неявно уравнением (6.4), в котором функция Р(х,р,я) определена и непрерывно дифференцируема в некоторой области 6 С Кз. Если в каждой точке (х; у; я) Е о' градиент функции Р(х, у, я) отличен от нуля, то поверхность о является гладкой и не имеет особых точек.
При этом вектор Р (х, у, я) 4 + Р'у(х, у, з) у + Р (х, у, х) И есть нормальный вектор касательной плоскости к поверхности о' в точке (х;у; я) Е 8. Нормируя этот вектор, получим непрерывную вектор-функцию "к~+ г уу+~яй и= которая в каждой точке поверхности о' задает единичный вектор нормали к этой поверхности. Таким образом, в данном случае поверхность о' является двусторонней. Остановимся на частном случае — сфере радиуса В, заданной уравнением х2+ уз+ х2 = В2. В этом случае Р(х,у,я) = = хз+ у2+ лз — В2 — непрерывно дифференцируемая в Кз функция, причем ее градиент 6гаоР(х,у,я) = 2хй+ 20 + 2яй обращается в нуль в единственной точке 0(0; 0; 0), не лежащей на сфере. Следовательно, сфера — двусторонняя поверхность, 326 6.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а непрерывная функция единичной нормали к поверхности име- ет вид еа(х,у,к) = = — е+ — у+ — Й. хе+ уу+кй х . у . к хг+уз+кз В В В Эта функция опредеяяет внешнюю сторону сферы. ф Приведенный пример показывает, что на практике большинство рассматриваемых поверхностей являются двусторонними. Существуют ли односторонние поверхности? Чтобы выяснить это, подробнее изучим вопрос, по каким причинам векторная функция (6.12), которал определена в окрестности любой точки гладкой поверхности, может не существовать на всей поверхности. Возьмем на поверхности Ф контур Ьв, выбрав в качестве начальной некоторую точку Мв. Если поверхность двусторонняя, то на выбранном контуре определена непрерывная векторная функция, значением которой является единичный вектор нормали к поверхности.
Но единичный вектор нормали в каждой точке поверхности может принимать лишь два возможных значения. Поэтому, задав единичный вектор нормали в точке Мв, мы тем самым однозначно определяем векторную функцию в некоторой окрестности точки Мв. Обойдя весь контур, мы вернемся в точку Мв с однозначно определенным единичным вектором нормали.
При этом возможны две ситуации: либо конечное положение вектора нормали совпадет с начальным, либо нет. В последнем случае можно сделать вывод, что на поверхности нельзя задать непрерывное изменение единичного вектора нормали и что эта поверхность является односторонней. Простейшим примером односторонней поверхности являетсл листв Мебиуса*. Эту поверхность можно представить следующим образом. Возьмем прямоугольную полоску АВС1) бумаги и склеим ее противоположные стороны АВ и С.0, перекрутив эту полоску один раз (рис. 6. 3). Выбор той или иной сто- 'А.Ф. Мебиус (1790-1868) — немецкий математяк.
327 аа Площадь аоверхяостя роны полоски определяется выбором единичного вектора нормали. Если контур на поверхности пересекает линию склейки, то происходит переход с одной стороны полоски на другую. В результате при обходе по такому контуру единичный вектор нормали меняет направление. Рис. 6.3 Если поверхность Ф двусторонняя, то на ней существует всего лишь два способа выбора непрерывного единичного вектора нормали. Задав в каждой точке единичный вектор нормали так, чтобы он менялся непрерывно, мы тем самым определяем сторону поверхности.
Поэтому в дальнейшем под стороной поверхностпи мы будем понимать заданную на этой поверхности непрерывную функцию вектора единичной нормали. 6.3. Площадь поверхности Для вычисления площади еяадкой поверхности Ф, заданной параиетрическилли уравнениями (6.6), можно использовать теорему о неявной функции, в силу которой поверхность в окрестности произвольной ее неособой то ики Мв можно представить как график функции, разрешив параметрические уравнения относительно двух иэ трех переменных х, у, х. Однако пересчет результата для получения формулы площади поверхности в этом случае достаточно трудоемкий.
Поэтому мы используем другой подход. Для замкнутой области Р— области определения функций х(и,и), у(и,и), х(и,и) — выберем некоторое разбиение То на частичные области .Ц, ~ = 1, и. Каждой частичной области 328 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Р; соответствует некоторая часть Ф; поверхности Ф. Части Ф; будем называть часшнчмььмп об васпьамн поверхности Ф, а их совокупность Т вЂ” разбиением поверхности Ф. Таким образом, любое разбиение поверхности определяется'каким- либо разбиением области определения функций в правых частях параметрических уравнений (6.6).
В каждой частичной области Ф; разбиения Т выберем произвольным образом точку М;(я;; у;; г;). Предположим, что диаметр <ЦТ) разбиения Т, т.е. максимальный из диаметров частичных областей, настолько мал, что проекция Р; частичной области Ф; на касательную плоскость к поверхности Ф в точке М; является взаимно однозначной, т.е. различные точки Ф; имеют различные проекции на касательную плоскость. Выберем некоторую частичную область Ф, и зафиксируем. В точке М; построим прямоугольную систему координат М;Щ, соприкасающуюся с поверхностью (согласованную с поверхностью), т.е. такую систему координат, для которой плоскость ~М1О совпадает с касательной плоскостью к поверхности в точке М;, а ось М;~ направлена по нормали к поверхности. В окрестности точки М; поверхность Ф можно задать уравне- ниями и = т~(и,е), (и;е) Е Р.
1 = 1(н,е), (6.14) Благодаря такому выбору системы координат М;Щ имеем Щи;,гч) = Щ(и;,е,) = О, где кч и е; — значения параметров, соответствующие точке М;. Плоская область Р; расположена в координатной плоскости МДВ, и ее площадь ЬЯ; можно подсчитать следующим образом: 329 6.3. Паощедь поп ерхпостп б; < в1ах ~.У(вввчо,) — Х(и,о)~Ьово (о;е)ЕвЭ» (6.15) Для значения .У(и;, гч) имеем 7( „) 1о(ввввов) 1е(оввев) ~ в О (ввосч) О (и' гч) ™х~~ Суммируя оценки (6.15) по всем частичным областям Ф,.
разбиения Т, заключаем, что ,') ЬЯ,— ~~» ~7(вввчо)Лев~ < ~~в шах~7(овьедо) — 7(вве)~Ьо, < в=1 в=1 в=~ < пвахшах~,У(и;во;) — 7(и,е)~о, ,-~,„В» где н — площадь замкнутой области Р. При стремлении к нулю диаметра вУ(Т) разбиения Т поверхности Ф к нулю стремится и диаметр ЙТо) разбиения Твв замкнутой области Р. При этом шах шах~,У(вн,е;) —,7(и,е) ~ -+ О при е1(Т) -+ О. в=цп Пв о Следовательно, сумма ~ ~.7(и;во;~взев; при вУ(Т) -+ О стремится к в=1 площади поверхности Ф. Но в то же время эта сумма является интегральной для двойного интеграла по области .Р от функции ~г,',хф. Таким образом, площадь Я поверхности Ф можно вычислить по формуле Я = ~з'„хфвУвввЬ. и (6.16) где,У(вв, е) — якобиан отображения (6.14) в точке (ьд е) Е ХУ;.
В последнем интеграле подынтегральную функцию Щвв, о) ~ заменим константой ~,7(ввве е;)!. Получим для площади ЬЯ, приближенное значение ~.7(ввво ив)~Ьщ, где Ьо; — площадь замкнутой области Р; в плоскости переменных вв и е. Погрешность бв этого приближения можно оценить следующим образом: ззо б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Введем функции Е (,ю)2 ( )( ))2+( г( ))2+( г( ))2 Р = г'„г„= х'„(н, и) х„(и, и) + у'„(и, и) у'„(и, и) + (6.17) + я,',(и,е) з,',(и,е), (6.18) 6' = (т'„) = (х'„(н,е)) + (у',,(и,и)) + (я„'(и,е)) . Нетрудно проверить,что ~,г х,г ~з (,( )2(,1)з (,~ .~)з ЕД Рз Поэтому представление (6.16) можно записать в виде (6.19) (6.20) я = ЕС вЂ” гэйл.
В (6.21) Выражение ю= уеб-Ры ы (6.22) называют элементном плопфадн поверхностна (или э вементпом плоьцади е нриеолинейных ноордннатпах). До сих пор мы ограничивались случаем гладкой поверхности. Однако формула (6.21) для площади поверхности верна в более общем случае кусочно гладкой поверхности. Действительно, такую поверхность можно разбить на конечное число гладких поверхностей, для каждой из которых формула площади поверхности верна.
Значит, в силу аддитивности площади и двойного интеграла она верна и для всей кусочно гладкой поверхности. Отметим также, что формула (6.21) верна и для гладких поверхностей, имеющих особые точки, если множество особых точек сосредоточено на некотором конечном числе гладких кривых. Используя эти кривые как разрезы, мы можем разбить поверхность на составные части, не имеющие особых точек. 331 6.3. Пеоюцвдь поверхности Легко убедиться, что в простейшем случае поверхности Ф, заданной лево уравнением х = Дх,у), формула (6.21) может быть сведена к формуле (1.63). Действительно, достаточно записать параметрическое представление (ирз) Е Р, 9 = о! в = у(и,е), где Р— область определения функции Дх,у). Тогда ю)2+( г)2+( г)2 1+Ую)2 Д (х~)2+ (р~)2+ (х~)2 1+ У~)2 откуда ,)2)( (~,)2) У~~г)2 + (~Р)2+ уг)2 Пример 6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
