VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5.13. Вычислить криволинейный интеграл второго рода | хйу — уйх ОА вдоль кривой, соединяющей точки О(0;0) и А(1;2), если: а) ОА — отрезок прямой; б) ОА — дуга параболы, осью симметрии которой является координатная ось Оу; в) ОА — ломаная, состоящая из отрезка ОВ оси Ох и отрезка ВА, параллельного оси Оу. 5.14. Вычислить работу силы г' вдоль кривой АВ, если Р = = (у; — х1, а А — дуга окружности х~+ уз = 1 с концевыми точками А( — 1/А/2;-1/~/2) и В(1/~/2;1/~/2), причем движение от А к В соответствует отрицательному направлению на окружности. 5.15.
Вычислить работу силы Р вдоль замкнутого контура Ь при обходе его в положительном направлении, если: а) Р = (х — у;2х+у1, а Ь вЂ” треугольник с вершинами А(1;1), В(3;3) и С(3;-1); б) Р = (х+у;у — х1, а Ь вЂ” эллипс бхз — бху+буз = О. 5.16. С помощью формулы Грина вычислить криволинейные интегралы второго рода от следующих подынтегральных выражений (укэзанные контуры обходятся в положительном направлении): а) ху йу — хХйх, Ь вЂ” окружность х +у~ =а~; б) (х+у)йх — (х — у)йу, Ь вЂ” эллипс хз/а~+уз/оз =1; в) е * " (соа2хуйх+в1п2хуйу), Ь вЂ” окружность хз+уз = = Вз.
318 В.КРИВОЛИНЕЙНЫЕИНТЕГРАЛЫ 5.17. С помощью криволинейных интегралов вычислить площади областей, ограниченных заданными кривыми: а) эллипсом х = а сов г, р = Ьвш8, $ Е [О, 2я]; б) гиперболой р = 1/х, координатной осью Ох и прямыми х=1их=2; в) параболой 2ахг = д+ а, а ) О, и координатной осью Ох. 5.18.
Доказать, что следующие подынтегральные выражения являются полными дифференциалами, и вычислить криволинейный интеграл от этих выражений вдоль кривой между заданными точками А и В: а) (х + у) Ах+ (х — у) йу> А(0; 0), В(2; 3); б) хдх+ргЫу, А(1;1), В(2;3). 5.18. С помощью криволинейного интеграла найти функцию и(х,р), если: а) <~п (хг+ 2хр рг),ух+ (хг 2хр Рг) 18. б) Аи = (усовхр — 2хвш(х~-у )) <Ь+ (хсовху+2увш(хг-рг)) Нр. 5.20. Дважды непрерывно дифференцируемую в области Р функцию и(х,у) называют гармонической в Р, если она удовлетворяет уравнению 8' а. — + — = О, (х; р) Е Р. Вхг зрг Доказать, что функция п(х,у) является гармонической в односвяэной области Р, если она имеет в Р непрерывные частные производные второго порядка и криволинейный интеграл по любому гладкому контуру Ь, целиком лежащему в Р, от производной — по направлению внешней нормали и к контуру В дя равен нулю.
5.21. Вычислить криволинейный интеграл хор — Них г+„г Ъ если Ь вЂ” простой контур, охватывающий начало системы координат. Зависит ли результат от выбора контура Р? 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 6.1. О задании поверхности в пространстве г = у(х,у), (х;у) Е С С Й . (6.1) Аналогичны случаи, отличающиеся другим сочетанием переменных: х = У(у>г), (у;г) Е 0~ С Ж, (6.2) у=У(х>г)> (х;г) Е С2 С К .
(6.3) В этих трех случаях поверхность называют явно заданной поверхностью. Поверхность в пространстве может быть задана уравнением г*(х,у,г) =О, (6.4) которое не разрешено относительно какой-либо иэ переменных. Тогда ее называют неявно заданной поверхностпью. На- пример, уравнение х2+ у2+ г2 — о2 = О (6.5) задает в пространстве Кз поверхность, представляющую собой сферу радиуса В с центром в начале координат.
Поверхность в пространстве может быть задана различными способами (У]. Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система координат Охуг с ортонормированным базисом 2,у, Й. Поверхность в пространстве может быть задана как график некоторой непрерывной функции 826 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Наконец, поверхность Ф может быть задана парамегаричесними уравнениями х = х(и,е), у=у(и е) г= «(и,е), (и; е) Е .0 С К > (6.6) где х(и,е), у(и,е), в(и,е) — непрерывные функции в их области определения В. В этом случае говорят о параметпричесни заданной поеерхносгпи. Например, сфера радиуса В с центром в начале координат может быть описана не только как неявно заданная поверхность (6.5), но и как поверхность, заданная параметрически: х = Ввшисове, у = Ввшивше, О < и < я, О < е < 2я. (6.7) в = Нсови, Так как между точками пространства и их радиус-векторами установлено взаимно однозначное соответствие (точке М(х;у;в) соответствует ее радиус-вектор г = хе+ у.у + вй), уравнения (6.6) можно записать в виде г = х(и,е)з + у(и,е)д + в(и, е)1с.
(6.8) Таким образом, мы получаем векторное уравнение поверхности Ф. В дальнейшем будем считать, что если поверхность Ф задана параметрическими уравнениями (6.6), то функции х(и, е), у(и, е), в(и, е) удовлетворяют следующим условиям. 1. Область определения Р функций х(и,е), у(и,е), г(и,е) является замкнутой ограниченной областью, граница дй которой — простой кусочно гладкий контур.
2. Функции х(и,е), у(и,е), в(и,е) непрерывно дифференцируемы в В, т.е. определены в некоторой области, целиком б.1. О задании поверхности в пространстве 321 содержащей Р, и имеют в этой области частные производные первого порядка, непрерывные в Р. 3. Отображение г: Р С Кэ -+ Ф, определяемое тремя функциями х(и,е), у(и,о), г(и,е), является инъекцией, т.е.
различным точкам (и; е) Е Р соответствуют различные точки (х; у; и) поверхности Ф. Если ус!ювие 3 распространяется и на граничные точки области Р, то поверхность Ф будем называть нростаот1 новерхносттьью. Множество точек поверхности, соответствующих граничным точкам области Р, образует в таком случае ераницу (или край) этой поверхностпи. На рис. 6.1,а изображена ограниченная контуром АВСЕА замкнутая область Р = ((и; о) ! О < а < и < Ь, О < е < х) С 11~ (прямоугольник). Функции х = исоа е, у = и вше, н = и, определенные в Р, задают простую поверхность, которал представляет собой часть прямого кругового конуса (рис.
6.1, б). Границей (краем) этой поверхности является контур А'В'С'Е'А' на конусе, соответствующий контуру АВСЕА на плоскости. Рис. 6.1 Точки поверхности, не принадлежащие ее границе, называют внутаренними таочкаати поверхностна. Поверхность может не иметь границы. Такую поверхностна называют замкнутаоб. Примером замкнутой поверхности является сфера. 322 б. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ < г» = хь(ио>ео)»+у»(ио>оо)я +»»(ио>оо)к> (6.9) г'„ = *'„(ио>ео)й + у'.(ио>оо)Э' + ».'(ио>во)й не являются коллинеарными, то такую точку поверхности Ф называют неособой (или регулярной). В противном случае точку Мо Е Ф называют особой точкой поверхности Ф. Поверхность, не имеющэл особых точек, является гладкой.
Касательная плоскость, построенная в неособой внутренней точке Мо(хо,уо,'»о) поверхности Ф, соответствующей точке (ио,'ио) Е Р (те. хо = х(ио>ио)> уо = у(ио>ио)>»о = »(ио>ео)), может быть задана общим уравнением А(х — хо) + В(у — уо) + С(» — »о) = 0 (6 10) в котором А, В, С вЂ” координаты вектора и = г,', хг„' нормали к поверхности Ф в точке Мо Е Ф [Ч], являющегося одновременно и нормальньья вектором касательной плоскости в этой точке. Используя правило вычисления векторного произведения в прямоугольных координатах ]П1], получаем А = У„'(ио>ио)»„'(ио>ио) — у,'(ио,оо)»'(ио,ио), »ь(ио>ио)хь(ио>оо)»ь(ио>оо)хь(ио>оо)> С х~а(ио>ио)уь(ио>ео) х> (ио>юо)уь(ио>оо)' (6.11) Поверхность Ф будем называть гладкой поверхнос|пью, если для любой ее внутренней точки существует такая окрестность в пространстве, что часть поверхности Ф, попадающая в эту окрестность, может быть представлена как явно заданная поверхность одним нз уравнений (6.1) — (6.3), причем функция ~ является непрерывно дифференцируемой.
В каждой внутренней точке гладкой поверхности существуют касательная плоскость и нормаль к этой поверхности (Ч]. Пусть поверхность Ф задана параметрически при помощи уравнений (6.6), в которых функции х(и,и), у(и>и), »(и>и) непрерывно дифференцируемы в Р. Если в точке Мо(хо;уо; »о) е е Ф, соответствующей точке (ио> оо) Е Р, векторы б.х.
Одностороввие и двустороявие павврхяостя З2З Векторы г„' и 1', отложенные от точки Мв Е Ф, лежат в касательной плоскости Р (рис. 6.2). Рис. 6.2 6.2. Односторонние и двусторонние поверхности Установим важное для дальнейшего изложения понятие стороны поверхности.
В ряде случаев это понятие интуитивно ясно. Бсли поверхность задана явно, например, уравнением х = х(х,у), то можно говорить о ее верхней или нижней стороне. Занннутпал поверхностпь ограничивает некоторую область в пространстве, и можно различать внутреннюю сторону этой поверхности, обращенную к области, и внешнюю сторону, обращенную вовне.
Исходя из таких интуитивных представлений дадим определение стороны поверхности. Рассмотрим гладнуи поверхность Ф, замкнутую или же ограниченную кусочно гладким контуром Х. В каждой внутренней тонне такой поверхностпи существуют насате 1ьнал плоскость и нормальный вектор. Нормальный вектор может иметь одно из двух возможных направлений. Пусть в окрестности точки Мв(хв,ув',хв) поверхность можно задать параметрически уравнениями (6.6) с помощью гладких функций х(н,е), у(и,е), х(и,е). Тогда в качестве единичного вектора нормали можно выбрать вектор г,', хг„' н= (6.12) 11" 324 6.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где векторы г„' и з'„определены соотношениями (6.9). Вектор в является непрерывной функцией в некоторой окрестности точки Ме. Выбор единичного вектора нормали позволяет задать сторону поверхности в окрестности точки Мс. Для выбора противоположной стороны достаточно взять вектор с противоположным знаком. Итак, в случае гладкой поверхности в окрестности любой ее точки можно указать непрерывно меняющийся единичный вектор нормали. Если в каждой точке поверхности можно выбрать единичный вектор нормали так, что получится векторная функция, непрерывная на всей поверхности, то такую поверхность называют деустороннеюЪ поеерхностпъю. Если длл поверхности Ф не существует непрерывного единичного вектора нормали, то ее называют одностороннеб пол ерлносшью.
Пример 6.1. а. Явно заданную поверхность л = 1(х,р), (х;у) Е.О, где функция 1(х,у) непрерывно дифференцируема в Р, можно задать параметрическими уравнениями (и;е) НВ. При таком описании поверхности имеем г,', = в+У,',(и,с)й> г'„=у'+Д(в,е)й. Вычислим векторное произведение этих векторов: г„'хг,', = — Д(и, е)4 — Яи,э),у + й.
После нормировки находим (6.13) где для удобства аргументы у функции Ди,е) и ее частных производных опущены. 6.2. Одяостороняие я двусторояние поверхности 325 Легко убедиться в том, что векторная функция в(и,е) непрерывна в области определения Ю функции у(и,е). Таким образом, явно заданная поверхность г = у (и, е), (и; о) Е Ю, является двусторонней. б. Пусть поверхность, заданная параметрическими уравнениями (6.6), не имеет особых точек. Тогда равенство (6.12) определяет векторную функцию и(п, е) единичной нормали, непрерывную в Р. Ясно, что в этом случае мы имеем дело с двусторонней поверхностью. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
