VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 35
Текст из файла (страница 35)
По-прежнему через Л обозначим максимальную иэ длин Ья1 элементарных дуг А, 1А;, т.е. Л= шахте;. 1=1,п Если существуют пределы 11, Хг интегральных сумм (5.26) при Л -+ О, не зависящие ни от разбиения кривой АВ на элементарные дуги, ни от выбора точек М; на этих дугах, то эти пределы называют криволинейными пнтиеграламн второео рода вдоль кривой АВ от функции Р(х,у) по переменному х и от функции фх,у) по переменному у и обозначают | Р(х,у) дх и Я(х,у) ду. АВ АВ Полученная формула уже не приводит к криволинейному интегралу первого рода, но имеет простой геометрический смысл.
Сумма в правой части этой формулы похожа на ранее встречавшиеся интегральные суммы, и на ее основе можно построить интеграл нового типа. 275 5.4. Криволииейиый иитеграл второго рода Итак, по определению Г Р(х,у)дх = Вш ~) Р(х;,у;)Ьх;, (5.27) А-+О АВ 1=1 Я(х,у)ау = 1пп ,'> Я(х;,у;)Ьуь ! ~ ~ л ~~ о ~ ~ ~ ~ ~ т ~ ~ ь АВ 1=1 (5.28) Р(х, у) Йх+ Я(х, у) др = Р(х, у) дх+ Я(х,у) ду. (529) АВ АВ К криволинейному интегралу второго рода приводит задача вычисления работы силы при перемещении материальной точки по криволинейному пути.
Действительно, предел в правой части формулы (5.25) можно представить в виде суммы двух пределов, каждый из которых есть криволинейный интеграл второго рода по соответствующему переменному. Следовательно, вместо (5.25) можем записать А = Р(х, у) дх+ Я(х, у) Ну, (5.30) АВ где Р(х,у) и фх,д) — проекции силы Р = Р(х,у) на координатные оси Ох и Оу.
Отметим, что работу силы на криволинейном пути можно представить и криволинейным иншегралом первого рода в виде (5.24). Это позволяет записать равенство АВ АВ В приложениях часто встречается сумма интегралов (5.27) и (5.28) от двух функций Р(х,у) и Ч(х,р) (в частном случае эти функции могут совпадать).
Такую сумму называют нрнволинейным интпегра 1ом втпорого рода общего вида и записывают под одним знаком интеграла: 276 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ которое устанавливает связь между криволинейными интегралами двух видов. Криволинейные интегралы первого и второго рода имеют много общего. Однако у них есть и существенное различие: если первый из этих интегралов не зависит от выбора направления обхода кривой (от выбора ориентации этой кривой), то второй при изменении направления обхода на противоположное меняет знак. Это связано с тем, что в интегральной сумме интеграла первого рода значения функции ДМ;) умножаются на длины Ья; дуг А; 1А;, в то время как в случае интеграла второго рода значения функции умножаются на проекции Ьх; (или Ьу;) вектора А, 1А; на координатную ось Ох (или Оу).
В последнем случае изменение направления обхода приводит к изменению направления векторов и, как следствие, к изменению знака их проекций. Таким образом, для криволинейных интегралов второго рода имеем Р(х,у)дх= — Р(х,у)йх и Я(х,у)ф= — Я(х,у)ду, АВ ВА АВ ВА причем из существования интегралов в правых частях этих равенств вытекает существование интегралов в левых частях, и наоборот.
Понятие криволинейного интеграла второго рода можно перенести на случай пространственной кривой. Если на кривой АВ в пространстве заданы непрерывные функции Р(х,у,я), Я(х, у, я), В(х, у, я), то, как и выше, разбивая кривую АВ на элементарные дуги с длинами Ья;, можно построить интегральные суммы и рассмотреть их пределы при стремлении к нулю величины А = шакал;. Эти пределы, если они существуют, называют а=1,и кРивоеииейиыи иитегрвв втоРого Родо 277 криволинейными интегралами второ о р д р г о а по пе еменным х, у и х вдоль пространственной кривой АВ и обозначают АВ АВ Р(х,у,х)Йх, Ч(х,у,г)ду, Я(х,у,х)Йх.
АВ В приложениях часто встречается сумма этих интегралов, которую о единяю бъединяют общим знаком интеграла: АВ АВ | Р(х,у,я) йх+ фх,у,я) ду+ Я(х,у,я) с1х = АВ Р(х, у, и) Йх+ Я(х, у, х) Иу + Я(х, у, я) г1ю (5.31) АВ Для пространственной кривой АВ существует аналогичная связь между криволи риволинейными интегралами первого и второго родов: | Р(х, у,х) 6х+ Я(х,у,х) с1у+ Я(х, у,х) ~Ь = АВ (Р сова+ Ясоз19+ Ясову) йз = ГЬйв, АВ АВ где Р = Р(М) — векторная функция, для котор ( кото ой Р(М) = = Р(х, у,х), Я(М) = Ч(х,у,х) и Я(М) = Я(х,у,г) являются коямо гольной декартовой системе ординатными функциями в прям у — углы, образованные единичным координат Охуг, а се, ф, 7— вектором ( ), Ф(М) касательным к кривой АВ в точке М, с осями Ох, Оу и Оз соответственно.
Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру часто о озн алом. пея такого интеграла наказывают контурным интегралом. правление обхода контура уже нельзя зад , у ать казан начальную и конечную точк ю точки кривой. Чтобы определить направлеззличные способы. ние обхода контура, можно использовать различные спосо ы. Н араметрическом задании контура в качестве Например, прн п 278 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ направления его обхода можно выбрать то, которое соответствует возрастанию параметра кривой. В плоском случае для простейших контуров (окружность, эллипс) направление обхода часто сравнивают с движением часовой стрелки. При этом обход контура против хода часовой стрелки (или просто против часовой стрелки) называют положительным, а обход контура по ходу часовой стрелки (по часовой стрелке) — отрицательным (рис.
5.5,а). Рис. 5.5 В приложениях зачастую контур фигурирует как граница некоторой плоской области (в этом случае кои~иур простиоб). Тогда обход контура можно соотнести с этой областью: при положительном обходе контура область все время остается слева, а при отрицательном — справа (рис. 5.5, 5). Однако описанные способы указания направления обхода контура приемлемы лишь в относительно простых ситуациях. В каком смысле следует понимать обход контура на рис. 5.6 Рис. 5.5 5.5. Существоваиие и вычисление иитеграла второго рода 279 против часовой стрелки? В таких непростых ситуациях направление обхода можно задать, выбрав на контуре три различные точки и указав, в каком порядке они проходятся.
Для контурных интегралов, в которых направление обхода контура задано как положительное (против часовой стрелки), иногда используют специальное обозначение, если же направление обхода контура задано как отрицательное, то используют обозначение . Таким образом, если Ь вЂ” окружность, то в интеграле Р(х, у) йх + Я(х, у) йу в предполагается обход Ь против часовой стрелки, а в интеграле по часовой стрелке.
5.5. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода Пусть плоская кривая АВ задана параметрическими уравнениями где функции х(с), у(1) непрерывны на отрезке [са, )3]. Предполагаем, что значение параметра й = а соответствует точке А, а значение $ =,8 — точке В. Теорема 5.2. Если функции х($) и у(Ф) в параметрическом представлении кривой АВ непрерывно дифференцируемы, 280 б. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а функции Р(х, у) и Я(х,у) непрерывны на кривой АВ, то криволинейный интеграл втпороео рода общеео вида вдоль кривой АВ от функций Р(х, у) и Я(х,у) существует, причем для него верно равенство АВ =|(Р( я,уфь(в+о(*(в,у(вь(ц)ж. (532) о < Криволинейный интеграл второго рода общего вида состоит из двух частей, определяемых функциями Р(х,у) и Я(х,у).
Можно ограничиться доказательством теоремы лишь для одной части, так как для другой части доказательство аналогично. Итак, докажем, что для непрерывной на гладкой кривой АВ функции Р(х,у) криволинейный интеграл второго рода по переменному х существует, причем (5.33) Выберем произвольное разбиение кривой АВ точками Ав = А, А1, ..., А = В на элементарные дуги А; 1А;. Пусть е;, г = =О,п, — значенияпараметракривой,соответствующиеточкам А;. Для этих значений верны соотношения ~о = се < е1 < ег « " 1 -1 < ~и = Р.
На каждой элементарной дуге А; 1А, произвольным образом выберем точку М;(х;; у;), и пусть т; — значение параметра, отвечающее этой точке. Очевидно, что Ц 1 < т; < Ф;, г = 1, н. Для интегральной суммы Я, соответствующей выбранному раз- о.о. Существование и вычисление интеграла второго рода 281 биению кривой АВ, можем записать Я = ~~ Р(х;,у;)Ьх1 =ЯР(х(т;),у(т1))(х(Ц) — х(Ц 1)) = 1=1 1=1 Интеграл 1 в правой части (5.33) в силу условий теоремы существует, так как его подынтегрвльная функция непрерывна на отрезке [а, )8]. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, запишем д 1) /~)*))л))) Юл К /г) ))1 1))*йл а 1=1 и, Из полученных представлений интегральной суммы Я и инте- грала 1 находим Оценим правую часть этого равенства.
Так как функция Г(1) = Р(х(в), у(1)) непрерывна на отрезке [а,,В], то она равномерно непрерывна на [а, р]. Следовательно, для любого е > 0 существует такое б = 6(е) > О, что для любых значений 1), ~н Е [а, д, удовлетворяютцих условию ]~) — ~))] < б(е), выполняется неравенство ]Р(1') — Р(~в)] < е. Функция е(1) переменной длины дуги кривой АВ, отсчитываемой от ее начальной точки А, является непрерывно дифференцируемой и возрастающей [И].
Следовательно, существует обратная функция 1(в), определенная на отрезке [О, влн], где вдн — длина кривой АВ. 282 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Эта функция непрерывно дифференцируема, а модуль ее производной ]6'(л)] достигает на отрезке [О, лАВ] некоторого максимального значения к1, т.е. ]г'(з)] ( (к1, О < л < ллн. из форнулм конечных приращений вытекает, что ]Ц вЂ” Ц 1] = ]$'ф)]Ьл; < К1Ьл; < К1Л, где л; = л(Ц), е=О,п, Ьл,=л; — з; 1 — длиныэлементарных дуг разбиения кривой, а Л = шах Ьль 1=1,а Пусть разбиение кривой удовлетворяет условию Л < о(е)/К1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
