VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Преобразуем этот определитель, вычитая первую строку из остальных строк, а затем раскрывая его по первому столбцу. После преобразования получим, что Уг-У1 «г-«1 Уз-У1 «з-«1 У4 У1 «4 «1 Хг Х1 ХЗ Х1 Х4 — Х1 Определитель третьего порядка в правой части равенства выражает смешанное произведение трех векторов, направленных вдоль ребер тетраэдра йа, выходящих из вершины М1. Поэтому он отличен от нуля, т.е. Ь4 ф О, если эти векторы не где И, у, « — координаты центра тяжести частичной области й . Если замкнутую область й' удается достаточно точно аппроксимировать многогранником, то этот многогранник удобно разбивать на 1нензраэдры.
По известным значениям Ь = У(хь, уз, «ь), к = 1,4, функции у(х,у,«) в четыМз рех вершинах Мь(хь, уь,«з) каждо- го тетраздра йа (рис. 4.8) можно М1 построить интперноллционныя нно- О М, гочлен Р1(х,У,«) = аз+ а х+ а«У+ + а,« первой степени. Четыре кох эффициента ао, а„а„, а, этого мно- гочлена можно найти как решение системы линейных алгебраических уравнений (ОЛАУ) 4,3. Мвогомеряма кубатуРяма ФаР44улм 235 являются компланарными, а четыре точки Мь не лежат в одной плоскости. Так как абсолютное значение смешанного произведения векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, а объем К~ тетраэдра Йа составляет шестую часть такого параллелепипеда, то Ъд = ~Ь4~/6.
После нахождения коэффициентов многочлена Р1 (х, у, л) его можно использовать при построении многомерной кубатурной формулы для тетраэдра. Как и в двумерном случае, в тетраэдре Йд удобно ввести барицентрические коордиватпы щ(М) = = 14/Ул, й = 1, 4, где Уь — объем тетраэдра Йь с вершиной в точке М и основанием, совпадающим с гранью тетрзэдра Йа, противолежащей вершине Мь (на рис. 4.8 изображен случай я = = 1).
Ясно, что рь(Мь) =1 и рь(М ) = О при у' фа. Повторяя рассуждения, приведенные в двумерном случае, приходим к равенству <Р„(М) ~П~ = —. | уа 4 (4.29) В данном случае функциям уь(М) уже нельзя дать столь удобную геометрическую интерпретацию, как в двумерном случае, но они по-прежнему остаются линейными функциями координат точки. В самом деле, рассмотрим, например, случай я = 1. Тетраэдр Й1 образован тремя векторами МзМ, МзМз и МзМ4, а его объем Уь равен шестой части модуля смешанного произведения этих векторов. Отметим, что тройка векторов МзЛ4, МзМз, МзМ4 сохраняет ориентацию внутри тетраэдра Йь. Поскольку смешанное произведение трех векторов линейно зависит от координат вектора МзХ~, то и функция <р1(М), пропорциональны объему У1, линейно зависит от координат этого вектора.
Предположим, что система координат выбрана так, что грань МзМзМ4 тетраэдра Йл, являющаяся основанием тетра- 1 эдра Й1, находится в плоскости хОу. Тогда $~ь = -хо1, где Я4— 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 236 площадь треугольника МОМОМ4, а К~ = — 1, д = -ЬЯ г е Ь вЂ” высота в тетраэдре Йа, опущенная из вершины 1. р М . В езультате получаем, что ~р1(х, у, х) = х/Ь и | у1(х,у,х)с1хс1ус1х = -ссхссуссх.
йл йь Можно показать, что интеграл сира; ва можно представить в виде ь ь — сЬ дхду = хЯ(х) сЬ, Ис о й. о 2 где Р, — сечение тетрзэдра Йа плоскостью х = сопвс, а Я(х) — площадь м этого сечения. Но из геометриче- сРис. 4.9 кнх соображений заключаем, что Р, есть треугольник, подобныи треугольнику МОМО с (р .. ), М М ( ис. 4.9), причем коэффици эфф ент подобия равен —. Отсюда следует, что Ь Я(х)=( — ) Я1и 1 Я1Ь К~ = Я1Ь и(1 — и) с1и = — = —. О (М), Ь = 1 4 позволяют записать линеиную Функции уь( ), аппроксимацию функции Дх, у,х) в тетраэдре Йа в виде 4 1(х,у,х) т ~~ Яро(х,у,х). О=1 (4.30) 237 4А.
Метод статистических исиытаиий Подставляя эту аппроксимацию в тройной интеграл по тетра- эдру Йд и учитывая (4.29), получаем йд Г 4 У(*,к )и' 1 (Кде(,кс) с'= йд 4 г 4 =~„Ь/ ю( ) ~1'= —,),Уь. (4Л) я=1 и я=1 Для применения многомерной кубатурной формулы (4.31) достаточно знать узловые значения уь функции Дх, у, х) в вершинах Мь тетраэдра Йд и объем К~ этого тетраэдра, который можно найти по координатам вершин как шестую часть абсолютной величины определителя (4.28). Тройной интеграл по всей области интегрирования Й' можно приближенно вычислить как сумму приближенных значений интеграла по частичным областям разбиения. Отметим, что в частичных областях Йа наряду с линейной аппроксимацией функции Дх, у, х) можно использовать и аппроксимацию интерполяционным многочленом более высокой степени, что позволяет получить более точную кубатурную формулу.
В частности, если известны значения этой функции не только в вершинах тетраэдра, но и в серединах его ребер (всего 10 значений), то можно построить полный интерполяционный многочлен второй степени, который можно выразить через квадраты и попарные произведения функций ~рь(М). 4.4. Метод статистических испытаний Для вычисления интегралов и решения других математических задач можно использовать численный метод, основанный на моделировании случайных величин с последующей статистической оценкой характеристик этих величин.
Этот метод называют методом сгвагввсгвических испытаний. Одним из 238 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ простейших приборов для получения случайных чисел является рулетка, используемая в казино, а метод статистических испытаний часто называют метподом Ыонпье-Карло по названию города в княжестве Монако, известного своими казино. Основная идея применения метода Монте-Карло к решению задачи, в которой необходимо найти некоторое значение 1, состоит в подборе такой случайной величины Х, чтобы ее матпематическое ожидание МХ было равно (или пропорционально) 1. Получить приближенное значение математического ожидания и оценить точность этого значения можно методами математической статистики, проведя И независимых испытаний и построив выборку х1, ..., хы объема М для рассматриваемой случайной величины Х.
В качестве оценки математического ожидания МХ можно выбрать выборочное среднее: Н 1= МХ = — ~х„. Ж~ а=1 (4.32) *Ж.Л.Л. Бюффон (1707-1788) — французский естествоиспытатель. Идея метода статистических испытаний впервые была сформулирована в работе Ж.Л.Л. Бюффона', опубликованной в 1777 г., но написанной еще в 1733 г. В этой работе был предложен метод оценки числа я путем случайного бросания иглы на лист бумаги, разграфленный равномерно расположенными параллельными прямыми.
Пусть прямые расположены с шагом а, а игла имеет длину 1< а. Положение иглы можно определить углом д между ней и прямыми и расстоянием х от центра С иглы до ближайшей из прямых (рис. 4.10). Поскольку попадание центра С иглы в любую точку, а также угол д ее наклона по отношению к прямым равновероятны, двумерная случайная величина (х, 0) имеет в прямоугольнике — а/2 < х < а/2, 0 < й < к равномерное распределение. Игла пересекает одну из прямых (а именно ближайшую), если точка (д;х) удовлетворяет условию 239 4.4.
Метод статистических испытаиий Рис. 4.10 Рис. 4.11 ~х~ ( (1/2) зшО. На рис. 4.11 показана область Р, попадание в которую точки (О;х) означает касание или пересечение иглы с прямой. Вероятность Р этого события равна отношению площади Бп области Р к площади Я прямоугольника, в котором задано распределение двумерной случайной величины. Следовательно, Яв 2 Г1 . 21 Р= — = — ( -е1пЫО= —.
Я ха,г 2 ха 0 Таким образом, я = —. 21 аР Вероятность какого-либо случанного события можно оценить относительной частотой этого события, т.е. отношением М/М числа Ф появления этого события (числа успешных испытаний) к общему числу проведенных испытаний. В примере с иглой число 1ч' — это общее количество бросаний иглы, а Ж вЂ” количество бросаний, в которых произошло пересечение или касание иглы одной из прямых.
В частном случае 1= а получим я ю 2И/Ж, т.е. оценку трансцендентного числа я рациональным числом. Отметим, что для получения трех верных знаков числа я по методу Бюффона нужно примерно 104 бросаний. Поэтому с практической точки зрения метод Бюффона малопривлекателен. Однако сама возможность оценки путем проведения статистических испытаний привлекла внимание к работе Ж.Л.Л. Бюффона, и даже появилсл термин „игла Бюффона". 240 4.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Итак, составной частью метода статистических испытаний является моделирование (говорят также о „разыгрывании") случайных величин. Проще всего моделировать одно.верную непрерывную случайную величину Х, равномерно распределенную на некотором отрезке [а, Ь) и имеющую плотносшь распределения вероятностей [ХЧ1] — я Е [а, Ь]; р(х) = ь-а' О, яф[а,Ь]. (4.33) Равномерно распределенную на отрезке [О, 1] случайную величину Х можно моделировать аналогично „игле Бюффона", бросая точку на лист бумаги, разграфленный параллельными линиями с шагом 1.
Однако, во-первых, этот способ нельзя использовать в компьютерных вычислениях, а во-вторых, нет гарантии, что при бросании возможные положения случайной точки равновероятны. Поэтому на практике для моделирования равномерно распределенных случайных величин используют алгоритмический способ генерации на компьютере псевдослучайных чисел. В табл. 4.1 приведены первые 30 таких чисел, полученных по формуле г„=10 ьвя„, и=1, 30, где г„= Аз„ы Таблица 4.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,6049270367 0,5184511120 0,6665535727 0,3569329660 0,3673940252 0,5046996355 0,4776453995 0,9728847466 0,3933189141 0,0713648160 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,6956902556 0,1126290699 0,2448731491 0,0495253020 0,6787808067 0,1170111628 0,4673165634 0,0582941814 0,5930217271 0,9517789780 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,7531391389 0,1733065296 0,1728751589 0,0345180076 0,9043107612 0,7890546151 0,8286741394 0,8999650040 0,2002926951 0,8703832609 4.4.
Метод статистических испытаний 241 А = 100003 «е = 123456789, тп = 101с, а символ = означает, что е„равно остатку от деления Ае„1 на тп. Например, Аге =100003 123456789 =12346049270367 = 6049270367, откуда «1 = 6049270367 и г1 — — 0,6049270367. При фиксированных значениях А, вэ и т числа г„предопределены и не являются „истинно случайными". Поэтому их и называют псевдослучайными. Начиная с некоторого номера псевдослучайные числа начнут повторяться, так как существу-' ет конечный набор остатков при делении на фиксированное число тп. Параметры А, ге и тп стараются выбрать так, чтобы повторение в последовательности псевдослучайных чисел случилось как можно позже.
Например, при выбранных выше значениях А, ге и т равенство е„= «о имеет место при и) 5 10э [ХХ]. Моделирование равномерно распределенных случайных величин позволяет моделировать и любые другие случайные величины. Пусть случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [О, 1]. Для того чтобы построить случайную величину У с фдннпиеб распределения ееролтпносгаей Р(х), достаточно рассмотреть случайную величину У = Р 1(Х), где Р 1(х)— функция, обратная к функции Р(х). Таким образом, если (го) — последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [О, 1], то последовательность псевдослучайных чисел (х„) с функцией распределения Р(х) можно получить, решая уравнения Р(х„) = = г„, п Е 1ч, В частности, для равномерного распределения на отрезке [а, Ь] имеем х„= а+ (Ь вЂ” а)г„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
