VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если же область Р ограниченная, но неограниченной в Р является функция 1(х), то 1 называют несобственным интегралом атарово рода. Для несобственных интегралов используют те же обозначения, что и для обычных кратных интегралов (также называемых собственными интегралами). Таким образом, в соответствии с определением | 1(х)дх= Иш 1(х)дх.
о оь Отметим, что под несобственным интегралом часто понимают не только конкретное значение 1 предела интегралов 3.7. Краевые иесебстиеииые иитеграеы 203 по областям монотонного исчерпывания, но и сам этот предел. Если этот предел существует и конечен, то говорят о сход*щемсл несобсепвенном инепеэрале, а если предел не существует или бесконечен, то говорят о расходлщемс* несобстпвенном инепеэрале. Теорема 3.10.
Пусть функция 7" (х) неотрицательна в области Р и интегрируема в любой измеримой подобласти этой области. Тогда для сходнмости несобственного интеграла,~(х) по области Р необходимо и достаточно, чтобы существовало такое монотонное исчерпывание (Рь) области Р, что последовательность интегралов 1ь= У(х)ах, йег1, будет ограничена. ~ Доказательство теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.15, и мы его не будем приводить.
Особо отметим, что это доказательство включает в себя как часть доказательство аналога леммы 3.9 для двумерного случая. ° Теорема 3.11. Пусть функции 7"(х) и д(х) интегрируемы по любой измеримой подобласти области Р и удовлетворяют неравенству 0 < у (х) < д(х), х Е Р. Тогда: 1) если сходится несобственный интеграл /'д(х) ~Ь, то схо-. дится несобственный интеграл ( 7" (х) ~Ь; В 2) если расходится несобственный интеграл /'у(х)дх, то В расходится несобственный интеграл (д(х) сЬ.
в < Сформулированная теорема обобщает на многомерный случай теорему 1.16, а ее доказательство, по существу, не отличаетсл от доказательства теоремы 1.16. ь 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Теорема 3.12. Пусть функция Дх) интегрируема по любой измеримой подобласти области Р С и". Несобственный интеграл ) у(я) дх сходится тогда и только тогда, когда сходится В несобственный интеграл 1' ~Дя) ~ 1Ь.
ф Сформулированная теорема, которую мы приводим без доказательства, объединяет и обобщает теоремы 1.17 и 1.18. Напомним, что в случае сходимости интеграла ) ~ 7" (х) ~ Ия говорят и об абсолютной сходимости интеграла / у(я)дя. В одномери ном случае условие абсолютной сходимости более сильное, чем условие простой сходимости.
Однако, как утверждает теорема 3.12, в многомерном случае два этих понятия совпадают. Пример 3.8. Исследуем на сходимость и-кратный (и ) 3) несобственный интеграл второго рода Г Ия (я2 + + я2)~/2 1 ''' я по области Р = ((я1, ..., х„) Е 2Си: 0 < я1+... + я„< 1) при различных значениях параметра а. Этот интеграл является несобственным потому, что подынтегральная функция не ограничена в окрестности начала координат.
Выберем монотонное исчерпывание области Р областями Рь = 1(я1, ..., х„) Е И": 1/(2Й) < х1~ +... + х„< 1), Й Е 1Ч. Для вычисления интегралов от функции Дя) по областям Рь, Й е Я, удобно перейти к п-мерным сферическим координатам 205 Вопросы и задачи г, у1, ..., у„1 (см. пример 3.6). Обозначим и-1 с„= соо~р11йр1 Ц ( вш ~рцйрц —— тт 1' ь1 "=2 о 2яа п=2й, й~М; 2"+1 ха (2й 1)!1, п=2й+1, й ЕМ. Тогда ~ ~ О 1 ~ ~ ~ а ох 12 = (Хг+... + Хг)о~г 1 1 = сп = с„„. (3.49) 1/(гь) 1ДгЦ При й -+ оо определенный интеграл в правой части (3.49) пе- 1 реходит в несобственный неопределенный интеграл / — „+,, о' сходящийся при а — и+ 1 > 1. Используя теорему 3.10, непосредственным вычислением при а < п находим Нх с„ = 1пп1ь= ( .2+ + .2)а/2 я Итак, исследуемый интеграл расходится при о > и и сходится при а < п к значени1о и-а Вопросы и задачи 3.1.
Доказать утверждение: измеримое множество имеет меру нуль тогда и только тогда, когда оно не имеет внутренних точек. 206 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.2, Показать, что декартово произведение Р = А х В юмеримых множеств А с Кв и В с Ж'в является юмеримым множеством пространства йв+'в и при этом р(Р) = р(А)р(В). 3.3. Сформулировать определение предела интегральных сумм для действительной функции и переменных. 3.4. Составить интегральную сумму и суммы Дарбу для функции у(х1,...,хв) = хг1+ ...
+ хг, соответствующие разбиению области Р = 1(х1, ..., хв) Е й": хь Е (О, аь), Й = 1, п ) на промежутки Р;,..;„= ((х1, ..., хв) Е Ж": ~ ' аь < хь < и аь, Й = 1п ~, 11 = 1, Л'ь 1г = 1, Д~г, "° 1в = 1, .У„. 3.5, Вычислить объем (меру) и-мерной пирамиды Р= (х1,...,хв)Е~Й:хь>0) Й=1,п, — +...+ — <1 а1 ав в-1 х1 = а1г Ц е1п'Рб ав1 в-1 хь = аьт сое рь 1 Ц ашира Й = 2, и-1; Хв =авГ Севов 1) где и > 3, а аы Й = 1,п, — положительные константы (зто отображение вводит и-мерные сферические координаты). 3.6. Найти якобиан отображения, имеющего следующую координатную запись: 207 Вопросы и задачи 3.7.
Использул определенные в задаче 3.6 о-мерные сферические координаты г, со1, ..., ~р„ 1, вычислить объем (меру) п-мерного зллипсоида 3.8. Вычислить и-мерный интеграл 1 1 | (х1 +... + х„) их1 ... ох„. о о 3.9. Исследовать на сходимость несобственный интеграл первого рода | 11х1 Нха ( г+ +.г) (г и по неограниченной области П = ((хь ..., х„) ЕЖ": х1+...+х„) 1) при различных значенилх параметра а ) О. 4. 'ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Рассмотренный в предыдущих главах подход к вычислению нратныя интегралов может оказаться нерациональным, если при сведении их к повторным интегралам подынтегргльная функция будет слишком сложной. Этот подход вообще не применим, если хотя бы один из повторных интегралов неберущийся или же подынтегральная функция задана табличным способом.
В таких ситуациях, как и в аналогичных ситуациях для определенного интеграла, прибегают к приемам численного интегрирования. В этой главе обсудим особенности численного интегрирования для кратных интегралов. 4.1. Использование одномерных квадратурных формул Трудоемкость вычисления кратного интеграла с помощью численного интегрирования зависит от сложности подынтегральной функции и области интегрирования и в сильной степени — от кратности интеграла.
Сначала рассмотрим наиболее простую ситуацию, когда область интегрирования ограничена координатньпли поверхностями какой-либо системы координат или же может быть преобразована в такую область заменой переменных. Если область интегрирования кратного интеграла является н-мерным промежутком (для двойного интеграла это соответствует прямоугольнику, а для тройного интегралов прямоугольному параллелепипеду), то каждое переменное интегрирования изменяется независимо, в пределах фиксированного отрезка. Поэтому в повторном интеграле пределы интегрирования всех внутренних определенных интегралов будут 4.1.
Ысволъэовввве одвомервых хввдрвтурвых формул 209 постоянными, а вычисление повторного интеграла можно проводить с использованием какой-либо квадратурной формулы. Рассмотрим подробнее процедуру вычисления двойного интеграла по прямоугольнику Р = ((х; у) Е Й: х е (а, 6], у е (с, д] ) Рис. 4.1 4 Ь 1= у(х,у)дхду= Йу 1(х,у)йх. (4.1) Для вычисления внутреннего определенного интеграла Р(у) = П '*у) дх а в повторном интеграле разобьем отрезок [а, Ь] на ж частичных Ь вЂ” а отрезков равнои длины ах = — (см. рис.
4.1) и используем квадратурную формулу средмах, имеющую второй порядом точностпи. В результате получим г'(у) — Б ~ у(х;,у) =Ф(у), (4.2) где х; = — — абсциссы узлов квадратпурноб формулы. За- 1 — 1/2 и. тем, разбивая отрезок (с, д] на п частичных отрезков длиной Йв — — — и используя для внешнего определенного интеграла (рис. 4.1).
Пусть функция у(х,у) непрерывна в Р. Двойной интеграл от функции у (х, у) по прямоугольнику .Р представим повторным: 4.1. Ипювьвоввнне одномерных нваврвтурнвдх формул 211 ~В~~ < — Ь~ ~~ а — с 2 дд2Р(дд) 24 ве[е,в) 11й2 Для оценки второй производной функции Р(р) используем ее представление интегралом и правило дифференцирования ин- теграла„зависящего от параметра (Ч1]: ь ь )в ь~)= ~в~~ "~ю,(</( л "~(ю,<м о дд11 В результате приходим к оценке, аналогичной (4.5): !В! <(Ь-.НИ- )Ь,м 24 У (4.6) Прослеживая вывод приближенной формулы (4.3), можем записать 1=В1+уд=В1+Ь„~,Р(У,)=В1+Ь„~~1,(В (уу)+Ф(Е,)) = 2=1 1=1 = В, + Ь„'ЯВ.(Ц)+ Ь,Ь Я Я ~(-*;,У,), д=д 1=1 откуда получаем представление В = Вд+ЬД,В (У') =Вд+Вг.
Для оценки слагаемого В2 используем (4.5): ~В2/ = Ь„~~~ В (уу)~ < Ьв ~~1 ~Вв(р2)~ < 11-1 ! У вЂ” Д ь - а 2 (ь - а) (дд - с) ~ (ПЬ — ЬвМ2х = " 24 * * 24 Ь.М2в. которой в соответствии с применяемой квадратурной форму- лой имеем оценку 212 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Суммируя оценку (4.6) слагаемого В1 и полученную оценку слагаемого Вз, находим оценку погрешности В формулы (4.3): [В! < [В,1+ [В,! = (ЬзМ + Ь'„М,„) = (Ь-а)(И-с) /(Ь-а)з (сХ-с)з 24 ~.,Р М" и.
~"( «» Таким образом, формула (4.3) имеет второй порядок точности. Предполагая наличие ограничения ~В~ < с на допустимую погрешность вычисления интеграла (4.1) и располагал значениями Мз и Мзю можно подобрать т и и так, чтобы минимизировать общее число точек, в которых необходимо вычислять значения подынтегрзльной функции. Согласно приближенной формуле (4.3), количество этих точек равно гоп. Вместо формулы средних для вычисления двойного интеграла по прямоугольнику Р можно использовать любую другую квадратурную формулу, например фор аулу тпрапецьб или фор.вдлу парабол. Так, выбирая равномерное разбиение отрезков [а, Ь] и [с, д~ соответственно на т и и частичных отрезков длины Ь и Ью а затем примененяя к обоим определенным интегралам в (4.1) формулу трапеций, получаем приближенную формулу | пь я / Дх,р)йхйу=Ь,Ь ~~ ~ А;/(хоуу), (4.8) =о х=о где х, = й, р = уЬт — координаты узлов квадратурной формулы, а коэффициенты А; принимают одно из трех значений 1/4, 1/2 и 1, первое из которых соответствует узлам в углах прямоугольника Р, второе — узлам на сторонах Р, а третье — узлам внутри Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
