VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для этого разбиения имеем У+1 Ф Я о Р(Ру) = Я о Р(Р4) + он+ Р(Ри+1) < 1=1 4=1 < — + 2Мр(Рн+1) < — + 2Мр(Е) = е. 2 2 Так как число е было выбрано произвольно, в силу критерия Римана заключаем, что функция Дх) интегрнруема на множестве Р, а значит, и на множестве Р, поскольку эти два множества различаются множеством меры нуль. ° 3.4. Свойства интегрируемых функций и кратного интеграла Перечислим основные свойства интегрируемых функций. Доказательства этих свойств можно получить, незначительно модифицирован доказательства соответствующих свойств определенного интеграла.
1'. Если функции Дх) и д(х) интегрируемы на измеримом множестве Р с Ж", то и функция ~(х)д(х) интегрируема на множестве Р. 2 . Если функция Дх) интеерируема на измеримом множестиве Р с н" и удовлетворяет неравенству ~~(х) ~ > с, х е Р, где с > 0 — некоторая константа, то функция 1/Дх) интегрируема на множестве Р. 180 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3'. Если функции У(х) и д(х) интегрируемы на измеримом множестве Р С Й" и, кроме того, функция 1/д(х) ограничена на Р, то и функция /(х)/д(х) интегрируема на множестве Р. 4'. Если функция /(х) интегрируема на измеримом множестве Р С Ж", то она интегрируема и на любом его измеримом подмножестве Р' С Р. 5'. Если функция /(х) интегрируема на каждом нз измеримых множеств Р', Ра С Й", то она интегрнруема и на их объединении Р = Р'0 Р". 1'. Для произвольного измеримого множестпва Р С Е" т1х = р(Р) В (3.25) (см.
пример 3.3). 2*. Если функции /(х) и д(х) интегрируемы на измеримом множестве Р С Й", то для любых действительных чисел ет и,б функция ету(х) +/тд(х) также интегрируема на Р, причем /( Л )+да( Иь= /Лй~<-д/Н )~ . (тут) Свойство 2' называют линебностттью тератнного интнегра.аа. 3*. Пусть Т = (Рт, ..., Рет) — разбиение измеримого множества Р С Ж".
Для того чтобы определенная на Р функция /(х) была интегрируемой на Р, необходимо и достаточно, чтобы она была интегрируема на каждом из частичных множеств К числу основных свойств кратного интаеграла можно отнести следующие его простейшие свойства. Эти свойства мы также не доказываем. 8.4. Свойства вятегрврувмых функций и кратвого ввтеграва 181 Р . При этом верно равенство (3.27) Свойство 3" называют аддитпиепостпъю ирптпноео иитпеграла. 4'. Если функция Ь(х) интегрируема на измеримом множестве Р С Ж" и неотрицательна на этом множестве, то у(х)дх > О.
В 5*. Если интегрируемые на измеримом множестве Р С Ка функции у(х) и д(х) удовлетворяют условию Дх) < д(х), х Е .Р, то у'(х) сЬ < д(х) сЬ. (3.28) Свойство 5* называют ааоиотпоппостью пратппоео иптпегра аа. т д(х) сЬ < Дх)д(х) Их < М д(х) Их. (3.29) 7*. Если функция Дх) интегрируема на измеримом множестве Р С И" и т < у (х) < М, х Е Р, то гп,и(Р) < у(х) Их < Мр(Р). В (3.30) 6*. Если функции Дх) и д(х) интегрируемы на измеримом множестве Р С К", причем тп < у(х) < М, д(х) > О, х Е Р, то 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 182 Это свойство часто называют тиеоремой об оцеиие ирапюмого интеграла. 8'.
Если функция Дх) интегрируема на измеримом множестве Р С К", то и функция ~Дх)~ интегрируема на Р, причем у(х)бх < )Дх)~сЬ. В В (3.31) у (х) бх = д(х) сЬ. (3.32) 11'. Пусть измеримое множество .Р С К" является линейно связным компактом, функция у (х) непрерывна на Р, а функция д(х) интегрируема и знакопостоянна на Р. Тогда существует такая точка С Е Р, что | у(х)д(х)<Ь = у(с) д(х) бх.
в В (3.33) Это свойство является аналогом соответствующего своиства определенного интеграла, и его доказательство проводится по той же схеме, но с единственным отличием: вместо теоремы о промежуточном значении для функции действительного Это свойство называют пзеоремоб об оцеюсе нратпиого интпегрпаа по моду аю. 9*.
Если функция у(х) ограничена на измеримом множестве Р С К" и принимает на нем ненулевые значения лишь на множестве С С Р меры нуль, то зта функция интегрируема на Р, а кратный интеграл от Дх) на Р равен нулю. 10*. Пусть ограниченные на измеримом множестве Р С К" функции Дх) и д(х) совпадают всюду в Р, за исключением множеспьва меры идаь. Если функция у(х) интегрируема на Р, то и функция д(х) интегрируема на Р, причем З.о. Сведение краткого пптеграаа к повторному 183 переменного нужно использовать свойства функций многих пе- ременных, непрерывных на компактах [Ч].
12'. Если функция Дх) непрерывна на измеримом множестве Р С К", являющемся линейно связным компактом, то существует такая точка с Е Р, что Дх) Нх = у(г,)р(Р). В (3.34) Это свойство называют твеоремоб о среднем значении для краптного интнеграла, а число у(() в равенстве (3.34)— средним значением утунниии на множестве Р. 3.5. Сведение кратного интеграла к повторному Пусть функции ~р(х) и тр(х) непрерывны на замкнутом измеримом множестве Р С К" и удовлетворяют неравенству ~р(х) ( тр(х), х Е Р.
Тогда множество т ' Е Ка+~ вида С = ((х; у) Е Иа+: х Е Р, ут(х) ( у ( 4~(х)) (3.35) Г(~р) = ] (х, у) Е К" +: х Е Р, у = ~р(х) ), Цф) = ((х) у) Е К"+: х Е Р, у = тд(х) ) ) назовем правильным мнозтсестпвом относительно (и+1)-й координаты в И"+т. Аналогично вводится множество в Ио+т, правильное относительно какой-либо другой координаты. Лемма 3.6.
Правильное множество в Ко+~ является измеримым. м Пусть множество 0 С И"+т является правильным относительно (и+1)-й координаты. Согласно теореме 3.1, достаточно доказать, что граница дт ' зтого множества имеет меру нуль. Множество дта представляет собой объединение графиков функций ~р(х) и ф(х), т.е. множеств 184 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а также множества С точек (х, у), для которых х е дР и 1о(х) < у ~ ('р(х). Как следует из примера 3.1, множества Г(~р) и Г(ф) имеют меру нуль.
Покажем, что множество С также имеет меру нуль. Тогда, согласно лемме 3.1, множество дС, как объединение трех множеств меры нуль, является множеством меры нуль. Множество Р С К" является измеримым. Следовательно, оно ограничено, а будучи по условию леммы замкнутым, является компактом. Поэтому непрерывные на Р функции ~р(х) и ф(х) ограничены. Выберем число М так, что [<р(х)[ < М и [ф(х)[ < М. Из иэмеримости множества Р также следует, что его граница д0 имеет меру нуль (см.
теорему 3.1). Это значит, что для любого е ) 0 существует элементарное множество Е С К", которое включает в себя дР и имеет меру 2М Элементарное множество Ес = ((х; у) ЕКи~' х ЕЕ) ]у[ ~ (М)) включает в себя множество С, так как при (х, у) Е С имеем х Е дР С .0 и -М < ~р(х) < у <ф(х) < М, или [у[ < М. Пусть множество Е С К" состоит из промежутков Р1, Рз, ..., Рь. Тогда множества Р; = Р; х [ — М,М], ю' = 1, й, являются промежутками в К"+1, а объединение этих множеств совпадает с Ес. Предполагая, что промежутки Р; не имеют общих внутренних точек, заключаем, что промежутки Р, также не имеют общих внутренних точек и р(Ес) = ~,и(Р,) = ) 2МР(Р;) = 2МР(Е).
Следовательно, р(Ес) = 2Мр(Е) < 2М вЂ” = е. 2М 3.5. Сведение кратного интеграла к повторному 185 Итак, для любого е ) О мы имеем такое элементарное миожество Ес, что Ес ~ С и,и(Ес) < с. Согласно определению меры, множество С имеет меру нуль.
~ Теорема 3.8. Пусть множество С с Ки ы является правильным относительно (п+1)-й координаты и имеет вид (3.35), где функции ~р(х) и Ф(х) непрерывны иа Р, а (6уикппа у(х,у) (х Е К", у Е К) интпегрируема иа множестве С. Если для каждой фиксированной точки х Е Р функция у(х,у) действительного переменного у иитегрируема иа отрезке (~р(х), у)(х)], то функция Ф(х) г'(х) = у(х,у) е(у х(х) интегрируема на множестве Р и имеет место равенство Ф(х) Х(х,у) Мха = Р(х) с(х = г(х ~(х,у) е(у. (3.36) й д(х) ~ Покажем, что утверждение теоремы можно свести к более простому частному случаю, когда функции у(х) и ф(х) постояииы, т.е. когда множество С точек (х, у) определяется соотношениями х Е Р, а < у < Ь.
Обозначим через а точную иижиюю граиь функции у(х) иа множестве Р, через Ь точную верхнюю грань функции ф(х) иа Р и рассмотрим множество С = Р х (а, Ь] = 1(х; у) Е К%~1: х Е Р, а < у < Ь) . Очевидно, что множество С включает в себя множество С. Кроме того, множество С как правильное множество, согласно лемме 3.6, измеримо. Следовательно, измеримо и множество С ~ С.
Определим иа множестве С функцию ) .('(х,у), (х, у) ЕС; У(х,у) = ~ О, (х, у) е С 1 С. 186 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В силу свойства аддитивности кратного интеерела функция ((х,у) интегрируема на множестве С, так как она иптегрируема на множествах С (по условию) и С 1С (на этом множестве функция тождественно равна нулю). При этом | ~(х,у)йха = 1(х,у) Йхду+ ((х,у) йха = 1(х,у)йха. С С 01С С По условию теоремы при фиксированном х Е Р функция Дх, у) интегрируема на отрезке [~р(х), 4(х)).
Значит, при фиксированном х функция Цх,у) интегрируема на отрезке [а, Ь), причем Ф(*) а ю(*) Таким образом, доказав утверждение теоремы для множества С, мы тем самым докажем это утверждение и для множества С. Условие иптегрируемости функции,~(х,у) на множестве С позволяет ограничиться разбиениями этого мыожества, имеюп(ими специальный вид. Выберем произвольное разбиение Т' = (Р1, ..., РН1 множества Р и разбиение Т" отрезка [а, 6) некоторым набором точек уе, у1,..., у,„, где уе = а и у,„= Ь. Эти два разбиения определяют разбиение Т = Т' х Т" множества С = Р х [а, 6] па частичные множества Сдь=Р х[уь мул)=~(х, у)ЕЖ"~~:хЕР1, уЕ[уь муь)), ) =1,Ф, 6=1,т. Отметим, что все множества С ь измеримые, так как являются правильными множествами.
При этом р(С ь) = р(Р )Ьуь, где Ьуь = уь — уь м а диаметр д(Т) разбиения Т равен д(Т) = =,я7т7~4г~9, д а(2") ь|т1 — д р р б Т' и Т". 187 З.о. Саедеиие иратиого иитеграаа и поаториому Нам необходимо доказать, что функция Р(х), которую можно представить в виде Р(х) = ~(х,у)Ну, является интегрируемой на множестве Р С Й", а ее интеграл удовлетворяет равенству Для этого оценим верхнюю Яр(Т') и нижнюю Яр(Т') суммы Дарбу функции Р(х), соответствующие разбиению Т', через верхнюю Я(Т) и нижнюю Я(Т) суммы Дарбу функции Дх,у), соответствующие разбиению Т. Пусть пь и М вЂ” точная Р Г нижняя и точная верхняя грани функции Р(х) на частичном множестве Р, а пь.ь и М.ь — точная нижняя и точная верхняя грани функции [(х,у) на частичном множестве С ь. Тогда для произвольного х Е Ру в силу аддитивности определенного интеграла имеем ь ха ге~ = | и., й а = К | л х)еа а ь 1уь Согласно теореме об оценке для определенного интеграла, и ьЬуь = шГ 7(х,у)Ьрь < ш[ Дх,р)Ьуь < хеРу уЕ[уь-и уь] уЕ[уь-ь уа] < у(х,у)др < впр у(х,у)йуь < уЕ[уь-и уд] уь-1 < впр Дх,у)Ьуь = М ьЬрь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
