VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Замена нереаенаык а кратном ннтеграле Напомним, что формула замены переменного интегрирования в определенном интеграле имеет вид [ЧЦ (3.44) Ф(а) а Эта формула верна, если функция Ф(д) одного переменного на отрезке [а,,9] имеет непрерывную производную. Существенным моментом в ней является то, что нижний предел интегрирования Ф(а) в левой части может быть больше верхнего / предела.
При а < ~3 это возможно лишь в том случае, когда Ф (д) может принимать отрицательные значения. Предположим, что производная Ф'(д) на отрезке [а, Д знакопостоянна (это предположение верно, если функция Ф(о) осуществляет биективное отображение [а,,в] на отрезок с концами Ф(а) и Ф(,8) ). Тогда при Ф'(д) > О имеем Ф(а) < Ф()3), а при Ф'(д) < Π— Ф(а) ) Фф). В последнем случае в формуле (3.44) поменяем местами пределы интегрирования, чтобы нижний предел интегрирования не превосходил верхнего. Тогда интеграл в левой части равенства изменит знак.
Изменив знак и в правой части, с учетом равенства -Ф'(д) = ]Ф'(д)] приходим к формуле Ь д ~Л м =(~(еЯФ(яй, (3.45) где а и Ь вЂ” левый и правый концы отрезка, являющегося образом отрезка [ст,,В] при отображении Ф. Очевидно, что формула (3.45) верна и в том случае, когда Ф'(о) Ъ О на [а, Щ Модификация (3.45) формулы замены переменного в определенном интеграле может быть обобщена на многомерный случай, но при этом в интеграле справа модуль производнои функции Ф одного переменного нужно заменить на модуль якобиана функции многих переменных Ф(д). 196 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Замннутпую об»тастпь С С й" назовем простпоб если для каждой из координат х; точки х Е ж" существует разбиение этой области на замкнутые частпичные множестпеа, которые являются замкнутыми областями и правильными множествами относительно координаты х;.
Напомним, что, согласно лемме 3.6, множество, правильное относительно какой-либо координаты, измеримо. Поэтому простая область, как конечное объединение измеримых множеств, является измеримым множеством, что позволяет рассматривать такую область в качестве области интегрирования кратного интеграла. 1а ~»*=/л»й))1»»»'(»»»» С» от (3.46) ~ Функция г'(д) = У(Ф(д)) ~йейФ'(д)! непрерывна в замкнутой измеримой области Се, а значит, согласно теореме 3.6, интегрируема в ней. Равенство (3.46) докажем методом математической индукции по числу преобразуемых переменных интегрирования.
Преобразуем сначала одно переменное, например х„. 'Тогда в координатной записи отображение Ф примет вид х;=щ, т=1,п-1, х„=Ф„(д). По условию область Ст является простой. Используя свойство аддитивности кратного интеграла, интеграл по области Ст можно представить в виде суммы интегралов по частичным областям, каждая из которых является правильным множеством в направлении любой из координатных осей. Очевидно, Теорема 3.9. Пусть задана замена переменных Ф: Рт -+ -+ Р, где Рт и Р— области в й". Если функция Дх) непрерывна в замкнутой области С С Р, причем ее прообраз Ст — — Ф т(С») является простой областью, то фунниил у(Ф(д)) ~бе1Ф'(д)~ интпегрируема на множестве Ст и имеет место равенство З.б. Замена переменных в кратном ннтетраае 197 достаточно рассмотреть одно иэ таких слагаемых.
Поэтому, не теряя общности изложения, можно считать, что Сд имеет вид Сд = ((Ч, Чв) Е Вд: Ч Е Сд~ 'РЯ ~ ~до ~ ~Ф(3) Для отображения Ф специального вида образ С области Сд будет множеством точек х = (х, х„), где х Е Ж" 1, х„е И, которые подчиняются условиям х Е С, Ф„(х,~р(х)) < х„< Ф„(х,ф(ж)). Используя теорему 3.8 и формулу (3.45) для определенного интеграла, получаем Е»(к,е(е)) й Е„(е, р(к)) е (д,е(д)) =) л / у(ае.~е)~ е""'~а.= е (д,~р(д)) — у(Ф(9)) ) пей Ф'(9)!йу. Таким образом, равенство (3.46) верно при преобразовании одного переменного интегрирования.
Предположим, что равенство (3.46) верно при преобразовании й переменных. Если й + 1 < и, то повторным использованием теоремы 3.8 можно а-кратный интеграл свести к (й + 1)-кратному. Поэтому беэ ограничения общности можно считать, что й + 1 = и. Поскольку отображение Ф непрерывно дифференпнруемо и беФФ'(д) ~ О, д е Сд, то в окрестности любой точки иэ Сд хотя бы один элемент каждого столбца матрицы Ф'(9) отличен от нуля. Рассмотрим разбиение области 198 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С на области, правильные относительно о-й координаты, в Ч каждой из которых выделенный элемент и-го столбца матрицы Ф'(д) отличен от нуля.
При этом, не ограничивая общности, можем считать что — ф О, д Е Св. Тогда, согласно щео- дФ (в) реме о неявной функции, уравнение ха = Ф„(д,д„) однозначно разрешимо относительно д„, т.е. д„= ц(д, х„), причем функция 9(9, х„) непрерывно дифференцируема. Отображение Ф общего вида можно представить как композицию Ф = 6 о й отображения й: Св С Щ -+ Сл С В„", имеющего координатную форму 91 = Ъ) 1= %,: 1, Ьь = Фа(й,",Чп), и отображения 6: Сл с Щ -+ Св с Щ, в координатной записи имеющего вид х; = Ф;(у,9(у,у„)), 1=1, и — 1, х„=у„, где у = (рм..., 9„1). Нетрудно убедиться, что беФФ'(9) =Йе1Й'(д) йе$6'(Й(д)), д Е Св.
Согласно предположению, теорема верна при преобразовании й переменных, т.е. она верна для отображения 6. Поэтому ) у( И = ~ДвЫ) )1 ~вЪМв = С~ Ср е (Р,Ф(у)) — / у(а[в)~аыа'[Р)~ац„= е»(9, (9)) РЯ) л/ у(Ф(в)э ~виФ ~вхмВ>аа= а м(в) = ~у(а~в) ка~еще. 3.6. Замена переменных н кратном ннтегране 199 Замечание 3.2. Формула 13.46) замены переменных в кратном интеграле остается в силе, если условие взаимной однозначности замены переменных Ф нарушается на множестве меры нуль. Пример 3.6.
Найдем меру п-мерного шара В = 11хм ..., х„) Е К": х~1+ хз~+... + х~ < В~1. Для этого введем и-мерные сферические координаты г, у1, ..., у„1 по формулам х1 — — г Ц яшар;, е=1 13.47) хь = г сое1оь 1 Ц ашу;, й = 2, и — 1, х„= г сое р„м <1е~Ф'= г" 1 Цеш~ 1еоь а=я 13.48) Нетрудно убедиться, что прообразом шара В при отображении Ф является п-мерный промежуток Ве, который описывается неравенствами 0<г<В, 0<у1<2я, 0<да<я, й=2,п-1. Отображение Ф являетсл взаимно однозначным в Ве всюду, за исключением некоторого множества меры нуль. Применяя где г > 0; 0 ~( ~р1 < 2я; 0 < ~рь ( н, й = 2, и-1.
Якобиан соответ- ствующего отображения Ф, которое определяется формулами (3.47), имеет вид 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ формулу замены переменных (3.46) и учитывая вид якобиана (3.48) отображения Ф, находим )1(В) = 1Ь = !оесФ'~дд = в в и 2я ! я д 116я П ~~ ' жь = Ь-1 о „,1 л г П / в)п™у~бр, "'=1 о где д = (г, О11, ", (О 1). Используя рекуррентное соотноше- (~(Ц | вш'"х1(х = — — совх вш х+ вш -г л„ 3 Щ 7П вычисляем определенные интегралы т=2Й, Й~и; (2Й)!! о (2Й вЂ” 1)8 ' где 011=1, (2Й)!1=2 4 ...
(2Й), И(=Х, (2Й-ЦИ=Х.3.... (2Й-Ц. Заметим, что Х21, 1Хзь = я/й, й Е Ы. Используя зти интегралы, в итоге получаем значение объема и-мерного шара: 11=2Й, ЙЕИ; й! 2"+'я В'"+' о (2Й+1)8 -г )1(в) = 2н — П Х ив=1 З.Т. Кратвые несобствевные интегралы 2О1 З.Т. Кратные несобственные интегралы До сих пор мы рассматривали и-кратный интеграл от ограниченной подынтегральной функции по измеримому, а значит ограниченному, множеству в й". Понятие кратного интеграла можно обобщить и на некоторые случаи, когда либо область интегрирования не является ограниченной (несобственный интеграл первого рода), либо подынтегральная функция является неограниченной (несобственный интеграл второго рода).
Указанное обобщение может быть построено по той же схеме, что и двойной несобственный интеграл. Оттределение 3.3. Монотпонным исчерпыванием области Р в ж" называют последовательность (Рь) измеримых областей, для которых выполнятотся условия: 1) Р,СР,+„й~М; 2) О Рл=Р. /с=1 Пример З.Т. Для области Р = и" в качестве монотонного исчерпывания можно взять последовательность (Вь) и-мерных шаров, радиусы которых неограниченно возрастают: В„=((х„...,х„)ЕК":х',+х',+...+х,',<й'), ЙЕ1Ч. Монотонным исчерпыванием Р также является последователь- ность и-мерных промежутков Хь = ((хм ..., х„) Е Ж": )х~! < й, т = 1, и), я Е И. Лемма 3.9.
Пусть (Рь) и (РД вЂ” монотонные исчерпыва ния области Р С ж". Тогда для любого й Е М найдется такой номер Фь, что Х)у, С Вд . < Выберем произвольный номер я. Множество Рь, будучи замкнутым и ограниченным, является компактом. Так как 202 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рь С Рь» 1 С Р, то последовательность ~Р'~ является открытым покрытием Рь.
В силу компактности Рь из этого по/ / крытия можно выделить конечное подпокрытие Р,,, ..., Р. множества Рь. Предполагая, что ~1 < ... < з„„заключаем, что Р;, С ... С Р; . Следовательно, Рь~ЦР Номер ~„, и есть искомый номер Мь. ~ Определение 3.4. Пусть функция 1(х) интегрируема в любой измеримой подобласти области Р С й". Если для любого монотонного исчерпывания (Рь) области .0 существует предел 1 = йш 1(х) дх, причем этот предел не зависит от выбора монотонного исчерпывания, то число 1 называют несобственным и-нратным ннтеералом функции 1(х) по области .О. Если область .0 неограниченная, то число 1 называют несобственным интеералом первоео рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
