VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Учитывая, что 1* — точная нижняя грань множества верхних сумм Дарбу и поэтому 1' < Я(Т) для любого разбиения Т множества .Р, достаточно доказать, что для любого числа е > 0 найдетсл такое е(е) > О, что для произвольного разбиения Т множества Р с диаметром И < Б(е) выполняется неравенство Б(Т) — 1* < е. Так как функция 1(х) ограничена на множестве Р, то для некоторого числа М > 0 верно неравенство ~1(х) ~ < М. Выберем проювольное число е > О.
Поскольку число 1* есть точная нижняя грань верхних сумм Дарбу, найдется такое разбиение Т' = (Р', ..., РЯ, что Я(Т') < 1*+ —. 2 (3.20) Пусть Г' — объединение границ частичных множеств Р', у' = = 1, И. 1'раница любого множества является замкнутым множеством. Следовательно, множество Г', как конечное объединение замкнутых множеств, является замкнутым множеством. Так как все частичные множества Р' юмеримы, граница каждого из них в силу теоремы 3.1 является множеством меры куль. Поэтому, согласно лемме 3.1, и объединение Г' их границ будет также множеством меры нуль. В соответствии с определением меры существует элемеитарнае множество Е, которое включает в себя Г' и имеет меру,и(Е) < —. Увеличивая немно- 4М го, если необходимо, составляющие Е промежутки, мы можем считать, что Г' целиком содержится во внутренности шФ Е множества Е и при этом неравенство р(Е) < е остается в силе.
4М В силу выбора элементарного множества .Е его граница дЕ не пересекается с множеством Г'. Таким образом, все точки множества Г' являются внутренними точками элементарного множества Е Е Е, т.е. множество Г' и граница дŠ— замкнутые множества, не имеющие общих точек (Г'П дЕ = И). Отметим, что каждое из этих множеств ограничено, а потому компактно. Следовательно, согласно лемме 3.5, имеем б = р(Г', дЕ) > О.
174 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рассмотрим произвольное разбиение Т = 1Р1, ..., Рд ) множества Р с диаметром с~ < 6/2. Пусть Т" — объединение разбиений Т и Т'. Есин частичное множество Р разбиения Т целиком содержится в одном из частичных множеств Р~ разбиения Т', то оно без изменений перейдет в разбиение Т". Пусть множество .О. пересекается, например, с частичными множествами Р„' и .0' разбиения Т'. Выберем пару точек х Е .0 - П Р~ и у Е Р О Р,'. На отрезке [х, р[ в Й", соединяющем точки х и у, т.е. на множестве есть точки как принадлежащие множеству Р~„так и не принадлежащие ему. Значит, на этом отрезке есть точка х„, принадлежащая границе дЦ множества Р~ц и потому принадлежащая Г'.
При этом, учитывая, что х Е Р и у Е Р, а диаметр И множества Ру меньше 6/2, получаем Б [х, -х[= 1,[у-х! < [у-х[ < —, где й, Е [О, 1) — значение параметра 8 на отрезке [х, р] в Ж", соответствующее точке х,. Отсюда следует, что для произвольной точки з Н .0 выполняются неравенства Ю б (х — х„) < )х — х[+ )х, — х) < -+ — = Б, означающие, что множество Р целиком попадает в элементарное множество Е.
Итак, если частичное множество .0 разбиения Т пересекается с несколькими частичными множествами разбиения Т', то Р С Е. Совокупность таких элементов разбиения Т обозначим через Т1. Совокупность остальных элементов разбиения Т, которые являются и элементами разбиения Т", обозначим через Тз. В силу доказанного Ц РусЕ, Р~ ЕТ1 3.3. Суммы дерсу и критерии иитетрируемоети функции 175 а в силу монотнонностпи меры 4М Р ЕТъ (3.21) Пусть Р1'1, ..., Р,"д.
— элементы разбиения Т~~, в совокупности составлятощие частичное множество Р3 Е Т1, М"1, ..., М",~ — точные верхние грани функции у(х) на этих множествах; М вЂ” точная верхняя грань Дх) на Р .. Тогда с учетом свойства аддитивности меры получаем Дй ЕМурйр(Руй) =У,Мур(Пй)+У (Мурй М1ЫРуй) > й=1 й=1 й=1 Фй Дй > МД р(Р"й) — 2М ~ р(Р"й) = Му(Ру) — 2Мр(Р ). Суммирование по всем элементам Р Е Т1 приводит к неравен- ству Дй М'~й1(0й) > ~~1 М р(Р3) — 2М ~~1 р(Р ) > Рй ЕТъ й=1 Рй ЕТ~ Рй ЕТъ > ~ Мур(Р3)-2Мр(Е) > ,"1' Мзр(Ру)--'.
Рй ЕТь Рз ЕТ~ Я(То) > $(Т) — —. 2 (3.22) Разбиение Ти является измельчением разбиения Т'. Следовательно, согласно лемме 3.3, имеем Б(Ти) < Я(Т') < 1*+ —. Наконец, принимая во внимание, что элементы разбиений Т и Т", не учтенные в этих неравенствах (совокупность множеств из семейства Тз), одни и те же, получаем оценку 176 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В результате, учитывая неравенство (3.22), заключаем, что $(Т) < Я(Т ) + — < Х + е.
2 Напомним, что Т вЂ” произвольное разбиение, имеющее диаметр 4 < Б/2. Итак, доказано, что для любого е > О можно указать такое б» = 6/2, что Б(Т) < 1*+ е для любого разбиения Т, имеющего диаметр»Х < б». ~ Теорема 3.4 (критерий Дарбу). Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве Р С И" функция /(х) была ии»пегуирдел»а на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы совпадали нижний и верхний интегралы Дарбу, т.е. 1, = Х*. < Доказательство опирается на лемму Дарбу и является пов- торением доказательства критерия Дарбу для определенного интеграла.
в Ф 1пп ~~» шХр(РХ) = О, »дт'г-»0 (3.23) где е» вЂ” колебание функции /(х) на частичном множестве Р. разбиения Т = (Рп ..., Рк ) множества Р. ~ Согласно лемме Дарбу и равенствам а»Х = М. — АХ, у' = 1, Ф, имеем »»» à — 1, = 1пп Яоу~(РХ). ,дт1-~е Х=~ Поэтому утверждение следствия эквивалентно критерию Дар- бу.
> Следствие 3.1. Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве Р С Й»» функция /(х) была интегрируема на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы З.З. Суммы Дербу и критерии интегриоуемоети функции 177 Теорема 3.5 (еерпепернб Рплеана).
Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве Р с й" функция ~(х) была интегрируемой на Р, необходимо и достаточно, чтобы для любого а > О нашлось такое разбиение Т множества Р, что Б(Т) -Б(Т) <е. (3.24) < Доказательство этого утверждения является повторением доказательства критерия Римана для определенного интеграла. ~ Критерий Римана, как и в случае определенного интеграла, часто называют еериеверием сумфеспьвовамил жратпмоао ннпзеерааа. Критерию Римана можно придать другую формулировку, а именно: ограниченная на измеримом множестве Р С К" функция Дх) интегрируема на Р тогда и только тогда, когда М 1пГ ~~> омзр(РЗ) = О, ТЕГ где Т = (Р1, ..., Рм), а и — колебание функции Дх) на множестве Р .
Теорема 3.6. Функция Дх), непрерывная на измеримом компакте Р С К", интегрируема на этом компакте. < Так как функция Дх) непрерывна на компакте Р, то она равномерно непрерывна на этом компакте [1-5.9). Поэтому для произвольно выбранного числа с > О можно указать такое число б > О, что для любых точек х1 и хз из Р, для которых (х1 — хз~ < Ю, верно неравенство ~~(х1) — У(хз)~ < е . Выберем иФ) произвольное разбиение Т = (Р1, ..., Рм) множества .Р, для которого диаметр разбиения е1(Т) меньше 6. Тогда диаметр каждого частичного множества Р также будет меньше 6, а колебание ш функции на Р будет меньше —. Для этого е у л(1~) ' 178 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ разбиения получаем Согласно критерию Римана, функция Дх) интегрируема на Р.
в. Теорема З.Т. Если заданная на измеримом множестве Р С Й" функция у(х) ограничена в Р и непрерывна всюду в Р, за исключением, возможно, множества меры нуль, то она интегрируема на Р. ~ Ограниченность функции у(х) на множестве Р означает выполнение неравенства ~У(х) ~ < М для некоторого числа М > О. Доопределим функцию У(х) в тех точках границы дР множества Р, в которых она не определена, взяв в качестве значения число нуль. Такое расширение области определения породит дополнительные точки разрыва функции, но множество точек разрыва останется множеством меры нуль, так как оно расширяется за счет части границы множества Р, а в силу измеримости Р граница Р и любая ее часть являются множествами меры нуль. Множество .Р, будучи замкнутым и ограниченным (в силу измеримости Р), является компактом.
Итак, мы можем считать, что функция у(х) задана на измеримом компакте Р, ограничена на нем, т.е. Щх) ~ < М, х Е Р, и непрерывна в Р всюду, кроме некоторого множества 0 С Р меры нуль. Поскольку р(С) = О, для произвольно выбранного числа е > О найдется такое элементарное множество Е, включающее в себя О, для которого р(Е) < Я .
Немного увеличивая, если необходимо, множество .Е, мы можем считать, что С целиком попадает во внутренность ш1Е множества Е. Тогда множество Р' = Р '1 шФЕ является ограниченным и замкнутым, т.е. компактом, а функция ~(х) непрерывна на .Р'. Согласно теореме 3.6, функция у(х) интегрируема на Р', а в силу критерия а4. Свойства интегрируемых фунювей и кратного интеграла 179 Римана существует разбиениеТ= (Рм ..., Рм) множества Р', для которого Ф мур(Р ) < —. Добавив к разбиению Т множество Рм+1 — — Е ПР, получим разбиение множества Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
