VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 19
Текст из файла (страница 19)
х [а„, Ь„) определим как действительное чисяо 154 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Любое объединение конечного числа промежутков назовем элемемтпарпььм мпожес1пеом. Очевидно, что пересечение любого конечного числа промежутков является промежутком. Учитывая это, можно показать, что любое элементарное мпоь жество Е С Ж" можно представить как объединение Е = 0 Х 1=1 конечного числа й промежутков Х, никакие два из которых пе имеют общих внутренних точек. Исходя из такого представления можно ввести для каждого элементарного множества его меру, суммируя меры составляющих его промежутков.
А ь именно если Е = 0 Х, где никакие два промежутка Х, и Х, 1=1 не имеют общих внутренних точек, то по определению р(Е) = ~ р(Х ). 1=1 (3.2) 1'. Неопьрпцапьельпостпь меры: р(Е) ) О, Е Е Е. 2'. Монотонностпь меры: если множества Е1, Еэ Е Е связаны включепием Е1 С Еэ,то 11(Е1) <,ы(Еэ). 3'. Для произвольных Е1,Еэ Е Е верно равенство (3.3) р(Е1 0 Еэ) = р(Е1) + р(Еэ) — р(Е1 й Еэ). Можно показать, что мера элементарного множества пе зависит от того, каким образом опо разбито па отдельные, пересекающиеся только по границе, промежутки.
Пустое множество о будем считать по определению элементарным множеством меры нуль, т.е. р(Я) = О. Совокупность всех элементарных множеств в К" обозначим Е. Легко видеть, что объединение и пересечение элементарных множеств является элементарным множеством. Это значит, что множество Е замкнуто относительно операций объединения и пересечения множеств [1-5.4]. Мера элементарных множеств обладает следующими очевидными свойствами.
3.1. Мера Жердина Иэ свойства 3' вытекает аддитпивностпь меры элементарных множеств: для любых элементарных множеств Я1 и Е2, не имеющих общих внутренних точек, р(ж1 и Я,) = р(Я1)+ р(ж,). р(Р) = р рФ) нее ЯР) = )пав р(Е), нее нсо Отметим, что множество М,(Р) не является пустым, так как ограниченное множество всегда можно заключить в промежуток достаточно больших размеров. Множество М1(Р) также не пусто, так как всегда содержит пустое множество. Поэтому множество М;(Р) не пусто и всегда содержит число О. Определение 3.1. Ограниченное множество Р С К" на эывают измеримым (по Жордану) множестпвом если внутренняя и внешняя меры этого множества совпадают.
При 'К. Жордан (1838-1922) — французский математик. Понятие меры элементарного множества распространим на более широкий класс множеств, которые в общем случае уже не являются элементарными. Для заданного ограниченного множества Р С К" рассмотрим совокупность мер М,(Р) всех элементарных множеств, включающих в себя множество Р, и совокупность М;(Р) всех элементарных множеств, включенных в Р. Отметим, что числовое множество М,(Р) ограничено снизу (например, числом 0), а числовое множество М1(Р) ограничено сверху (например, мерой любого элементарного множества, включающего в себя Р). Точную нижнюю грань ЯР) числового множества Ме(Р) называют внеизней мерой ограниченного множества Р, а точную верхнюю грань )з(Р) числового множества М;(Р)— внртпренней мерой множества Р.
Итак, 156 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ этом общее значение р(Р) = р(Р) = р(Р) внутренней и внешней мер называют мерой (Жордана) множества Р. Понятие измеримого множества и его меры при и = 2 соответствует понятиям квадрируемой плоской авгуры и площади плоской 4игурь| а при и = 3 — понятиям кубируемого тела и объема тела. Отметим, что плоскгл фигура, ограниченная осью абсцисс, прямыми я = а, г = б и графиком неотрицательной интегрируемой на [а, 6) функции Дк) (криволинейная трапеция), является квадрируемой, а потому является измеримым по Жордану множеством. При этом мера этого множества равна значению интеграла от функции ((к) по отрезку [а, Ь) Измеримым является и любое г-нилиндрическое тело Я, основание которого — плоская квадрируемая фигура Р и которое сверху ограничено графиком неотрицательной непрерывной функции ((г, р).
Мера такого тела выражается двойным интегралом от функции ((х, у) с областью интегрирования Р. Не всякое множество в И" измеримо. Например, неограниченные множества не являются измеримыми. Ниже мы приведем пример ограниченного неизмеримого множества. Особо отметим измеримые множества, у которых мера равна нулю (множестпва (жордановой) меры нуль).
Для ограниченного множества Р меры нуль множество М;(Р) состоит из единственного значения — нулевого. Следовательно, любое элементарное множество, включенное в Р, есть объединение вырожденных промежутков, а потому не имеет внутренних точек. Это означает, что и само множество Р не имеет внутренних точек. Очевидно, что верно и обратное утверждение: измеримое множество, не имеющее внутренних точек, является множеством меры нуль, так как в него нельзя включить элементарное множество положительной меры. Замечание 3.1.
Ограниченное множество Р С К" имеет меру нуль, если р(Р) = О. Учитывая это, множество меры нуль можно охарактеризовать следующим образом. Ограниченное множество Р есть множество меры нуль, если для любого е > О 3.1. Мерв Жордава 157 существует такое элементарное множество Е, включающее в себя Р, что,и(Е) < е. Обратим внимание на то, что все элементарные множества являются замкнутыми. Поэтому если Р С Е, где Š— элементарное множество, то и Р С Е. Иэ этого соображения делаем следующий вывод. Если множество Р имеет меру нуль, то и его замыкание Р имеет меру нуль. Пример 3.1.
График Г(/) скалярной функции многих переменных /: Р С К" -+ К, непрерывной на компакте Р, является множеством в К"+ меры нуль. Действительно, выберем в К" некоторый промежуток Р = [ — а, а] х [ — а, а] х ... х [ — а,а], включающий в себя компакт Р. Так как функция /(х) непрерывна на компакте Р, то она и равномерно непрерывна на нем [1-5.9]. Следовательно, для произвольно выбранного числа е > О можно выбрать такое число б > О, что для любых точек х~, хэ е Р, удовлетворяющих условию ]х~ — хэ[ < б, будет выполняться неравенство [/(х~) — /(хэ) [ < с/$", где Ъ" = 2(2а)". Отрезок [ — а, а] разобьем на й частичных отрезков длины, меньшей б/ /й.
Тогда промежуток Р будет разбит на й" частичных промежутков Р., диаметр которых меньше б. В каждом промежутке Р выберем точку хб и в К"+~ рассмотрим набор промежутков Ру — — Рб х ~~(ху) — —, /(ху) + — ], ) = 1, й". (3.4) Объединение промежутков Р содержит в себе множество Р. Поэтому любая точка х Е Р принадлежит хотя бы одному промежутку Р, т.е. х Е Р.
В силу малых размеров промежутков Р имеем [х — х~] < б. Значит, согласно выбору числа б, выполняется неравенство ]/(х) — /(х )] < е/~1, т.е. точка (х, /(х)) Е К"+~ попадает в промежуток Р . Таким образом, 158 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Остается вычислить суммарную меру промежутков Р. С учетом представления (3.4) имеем Итак, для произвольно выбранного числа е > 0 мы построили элементарное множество меры е, состоящее из промежутков Р и включающее в себя множество Г(/).
Согласно замечанию 3.1, множество Г(/) имеет меру нуль. Лемма 3.1. Объединение конечного числа множеств меры нуль является множеством меры нуль. < Утверждение леммы достаточно доказать для случал объединения двух множеств.
Пусть множества Х11 и Рэ в Ж" имеют меру нуль. Тогда для любого сколь угодно малого е > 0 существуют такие элементарные множества Е1 и Еэ, что Р1 С Е1, Вг С Ег и р(Е1) < е/2, р(Еэ) < е/2. Множество Е1 0 Еэ является элементарным и включает в себя множество Р1 0 Х1э. При этом в силу равенства (З.З) имеем р(Е1 0 Ег) (~ р(Е1 ) + д(Еэ ) < — + — = е. с 6 2 2 Таким образом, множество Р1 0 Вэ можно включить в элементарное множество сколь угодно малой меры.
Согласно замечанию 3.1, это множество имеет меру нуль. > Лемма 3.2. Подмножество множества меры нуль является множеством меры нуль. < Это утверждение вытекает иэ замечания 3.1, поскольку элементарное множество малой меры, включающее в себя множество Р С К", включает в себя и любое множество Х11 С .О. > Докажем важный критерий измеримости ограниченного и-мерного множества.
159 З.к мера Жорлаяа Теорема 3.1. Для того чтобы ограниченное множество Р С Ж" было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы его граница дР была множеством меры нуль. ~ Необходимость. Пусть множество Р измеримо, т.е. ЯР) =ЯР) = д(Р). Если д(Р) = О, то и замыкание Р множества Р имеет меру нуль. В самом деле, множество Р не имеет внутренних точек, так как иначе можно было бы внутри Р выбрать промежуток (элементарное множество) положительной меры, а это противоречит определению множества меры нуль. Значит, дР = Р и граница множества Р имеет меру нуль. Пусть р(Р) > О.
Согласно свойствам точных верхней и нижней граней множества, для любого е > О найдутсл такие элементарные множества Е~ и Ез, что Е~ С Р С Ез и р(Е~) > > д(Р) — е/2, р(Ез) < р(Р) + е/2. Множество Е~ состоит из конечного числа промежутков, и мы можем считать, что все эти промежутки являются не- вырожденными, так как вырожденные промежутки можно не учитывать. Уменьшая незначительно размеры промежутков, составляющих множество Е~, можно получить другое элементарное множество Е~, которое целиком содержится во внутренности Е~ и тем более во внутренности Р, а его мера отличается от меры Е~ настолько незначительно, что,и(Е~) >,ы(Р) — я/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
