VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В соответствии с (2.32) для моментов инерции относительно этих плоскостей имеем ,ус= (х — хс) р(х,у,л)иу;,71 = (х — х1) р(х,у,х)мп с) Я Разность этих моментов инерции равна А — ~с = ~ И вЂ” * ) ' — ( — И') Й а а *) о' = о = (хг — хгс) р(х,у,к)дР— 2(х1 — хс) хр(х,у,л)йУ = о = (х1 — хс)гн — 2(х1 хс)К где К вЂ” проекция статического момента тела на ось Ох. Учитывая связь (2.35) проекций статического момента с координатами центра масс, находим, что ,У1 — Хо = (х21 — х~с)гн — 2(х1 — хс)от = (х1 — хс) т ) О. 2 Иэ приведенных выкладок можно сделать следующий вывод.
Если для тела массой т момент инерции относительно некоторой прямой 1„, проходящей через его центр масс, равен Х„ то относительно параллельной ей прямой 1*, удаленной от центра масс на расстояние с(, момент инерции равен Х' = .7, + тс(2. Этот результат составляет содержание теоремы Гюйгенса— Штейнера'. Х. Гюйгенс (1629-1695) — голландский механик, физик и математик.
Я. Штейнер (1796-1663) — швейцарский математик. 2.7. Привожевив двойных и тройвых ивтегрвлов 1ЗЗ Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося с фиксированной угловой скоростью ы вокруг любой из параллельных осей, минимальна при вращении вокруг оси, проходящей через его центр масс. Любую ось, проходяшую через центр масс тела, называют центральной осью этого тпела. Пример 2.12. Вычислим центробежную силу, действуюшую на вращающееся тело (см. пример 2.11).
Как и раньше, разобьем тело Я произвольным образом на и частей Щ, г = 1, и, и выберем в каждой из этих частей произвольную точку М;(х,",д;;г;). Приближенно будем считать, что масса каждой частичной области Я1 сосредоточена в точке М; и равна р(х;,р;,в1)Ь~, где Ь1~ — объем частичной области Щ. При вращении тела вокруг оси Оз с угловой скоростью ш на материальную точку М, действует направленная перпендикулярно оси вращения элементарная центробежная сила, абсолютная величина которой равна ЬР; = р(х;,р;,я;)Ь~(оРг;). Проекции этой силы на оси Ох и Оу равны ЬР; = р(я;,у;,я;)Ь1г;(ы~х1) и ЬР = р(х;,д,,я;) МЯю~у;), а проекция на ось Оз равна нулю (рис.
2.14). Поэтому для проекций равнодействующей элементарных центробежных сил, действующей на все тело, получаем Рие. 2.14 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 134 В правых частях этих приближенных равенств стоят инте- гральные суммы для интегралов из (2.34). Принимая за точные значения проекций центробежной силы пределы этих правых частей при и'-+ О, с учетом (2.34) и (2.35) получаем Рх — — ОР хр(х,у,е)йЧ =Ю2К =шхсш2, Я Р~ —— ы 1 ур(х, у, 2) 11У' = ы Кя — - тпуСь1 . 2 2 Я (2.37) Отсюда видно, что на вращающееся тело действует такая же центробежная сила, как если бы вся его масса находилась в центре масс этого тела.
Элементарная центробежная сила создает относительно начала кооРДинат момент с пРоекциЯми ЬРил1 и ЬР, 21 на оси Ох и Оу, а проекция этого момента на ось 02 вращения тела равна нулю. Поэтому проекции результирующего момента центробежной силы на осн Ох и Оу имеют вид Мх=ы Я Уьячр(хиуоль)~~~ъ-, Мя= 1 Я х121Р(хьуо21)~1у1 Переходя в правых частях этих соотношений к пределу при о* -+ О, получаем М = ы2 узр(х,у,х) сЛ1, Мя — — ы2 ххр(х, у,л) йУ. (2.33) Я Из (2.37) видно, что если ось вращения тела проходит через его центр масс, то результирующая центробежная сила равна нулю.
Однако при этом проекции результирующего момента в общем случае будут отличны от нуля, т.е. вращающееся тело будет воздействовать на подшипники или иные виды опор, в которых закреплена его ось вращения. Чтобы такое 2.7. При»ожеиии диойвых и тройиых иитогра»ои 135 воздействие отсутствовало, необходимо и достаточно, чтобы ось вращения проходила через центр масс тела и равнялись нулю центпробежпые момептпы инерции ,Ув, —— у»р(х,у,») сй~', .Уо» = х»р(х,у,») НК (2.39) Ю В соответствии с (2.38) проекции результирующего момента пропорциональны центробежным моментам инерции.
На этом основан принцип балансировки вращающихся тел. Пример 2.13. Найдем кинетическую энергию И~~ тела с плотностью р(х,у,»), которое занимает кубируемую замкнутую область Я и вращается с угловой скоростью ю вокруг оси 1. Ось | проходит через начало координат и составляет с координатными осями углы а, ф, у (рис.
2.15). Рис. 2.15 Через произвольную точку М(х;у;») Е Я проведем плоскость перпендикулярно оси 1. Расстояние от этой плоскости до начала координат равно р = хсова+ усов,д+»сов у [ПЦ. Поэтому для квадрата расстояния от точки М до оси 1 получаем г Ы~=х +уз+» — р =хг+у +» — (хсова+усовд+»сов"~) = хг(1 — совг а) + уг (1 — сов»3) +»г(1 — сов» 7)— — 2хусова совф — 2х»сова сов7-2у»совД сов у. 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 130 Используя тождество соева+ сов«~9+ савв у = 1, связывающее направляющие косинусы, находим д = (х +у )сов '7+(у +«' )сов а+(«+х )сов ~9— — 2хусова совф — 2у«сов17 сов7 — 2«хсов7 сова. Так же, как и в примере 2.10, с учетом (2.33) и (2.39) найдем юз 7 2 %~ = — ~ йр(х,у,«)дЧ =,7~ —, Я (2.40) где ,7~ = совр(х, у, «) дУ =,7О, сов~ 7+,7о„сов«а+,7о„сов« ф— — 2,7 сова сов~3 — 27«,сов7дсов 7 — 2,7„сов усова. ф 7(х,в) т=ро сй~=ро оБ о«=ро 7(х,у)сБ, Я В о и где В Е И вЂ” основание «-цилиндрического тела, расположенное в плоскости хОу (см.
рис. 1.1). Аналогично вместо (2.32) В случае однородного тела, имеющего постоянную плотность р = ро, соотношения (2.32) — (2.34) принимают более простой вид. Если при этом тело является еще, например, «-Нилпкдрпческим, ограниченным сверху поверхностью « = 7(х,у), то в формулах (2.32) — (2.34) можно перейти от тройных интегралов к двойным. Действительно, в этом случае для массы тела находим 2.7.
Приложении двойных и тройных иитегранов 137 имеем 7 он = ро х7 (х, у) г1$, В ухов = ре д~Пх,д) оЯ, В Х„О7 — — — .7 (х,д)оо, ,( В (2.41) а вместо (2.33)— Кн = ре хУ(х,д) ~И, В Кр=р И(х,д) Б, и К, = — 1 7~(х,д)сБ. 2,( В (2.42) Если однородное х-цилиндрическое тело ограничено сверху и снизу поверхностями х =,7(х,д) и х = д(х,д), причем д(х,д) < < 7"(х,д), (х;д) Е Р,то его масса равна Дх,у) Ю Фни) Для моментов инерции и статических моментов такого тела несложно выписать соответствующие выражения, аналогичные (2.41) и (2.42).
Отметим, что в специаяьном случае неоднородного х-цилиндрического тела, плотность р = р(х,д) которого зависит лишь от координат х и д, его массу, моменты инерции и статические моменты можно также выразить при помощи г. тройнык интт Рллы 138 двоиных интегр алов по плоской замкнутой области Р. Напри- мер, для массы тп такого тела получим а для момента инерции и статического момента относительно плоскости хОу— соответственно.
Цилиндрическое тело, высота которого мала по сравнению с размерами его основания Р в технических приложениях принято называть пл пластпнной, причем вместо высоты тела говорят о тполщнне пластпины. ы. Масса пластины с основанием Р в плоскости хОу в соответствии с (1.4) равна тп* = рл(х,у) сБ, (2.43) где ря(х, у) — функция, определяющая распределение массы в плоской замкнутои о асти бл Р и называемая нов ерхностпной плотпностпъто. о щем . В б случае для пластины переменной толщины п(х,у) из не д и(, ) о породного материала плотностью р(х,у) поверхностная плотность равна рл(х,у) = р(х,у) Ь(х,у).
Из третьего равенства (2.41) следует, что для пластины поЬ постоянной поверхностной плотности стояннои толщины е и 2.7. Приложевяв двойных я тройвых ввтегрвлов 139 с основанием Р в плоскости хОу момент инерции,у„о, относительно этой плоскости пропорционален Ьзе. При малой толщине пластины по сравнению с диаметром замкнутой области Р этот момент инерции оказывается существенно меньше моментов инерции,7~о, и д„о, относительно двух других плоскостей. Последние два момента инерции мазо отличаются от моментов инерции пластины относительно осей Оу и Ох соответственно.
Поэтому для пластины с поверхностной плотностью рв(х, у) принимают ,Уо — — х рз(х, у) НБ, Х~„— — урра(х, у) 6Б. (2.44) Р и Сумму этих моментов инерции Хо = (Х+ у')ря(х,у)4Б Р (2.45) хс = — хря(х, у) йБ, ус — — — „~ уро(х, у) йБ. (2.46) Р Р называют полярным моменпзом инерции пластины. Моменты инерции при р8(х, у) ив а 1, (х; у) 6 Р, называют ееометрическимп моменшамп анерппп плоскои замкнутой области частности, они характеризуют сопротивление изгибу упругого стержня, поперечное сечение которого совпадает с замкнутой областью Р. Аналогично из (2.42) следует, что при малой толщине Ье пластины по сравнению с диаметром замкнутой области Р статический момент пластины относительно плоскости хОу, пропорциональный Ьзо, существенно меньше статических моментов относительно двух других плоскостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
