VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1.2). Если тело, занимающее кубируемую замкнутую область Я С Ж с объемом У, имеет плотность р = ~(х, у, х), то его массу можно вычислить по формуле тп = 5(х,у,х) ИК 9 (2.15) Предполагая, что плотность р = У(х,у,г) является непрерывной в Я функцией, заключаем, что масса т тела равна массе однородного тела того же объема У с постоянной плотностью, равной значению рв = Дхо, уо, ло) плотности неоднородного тела в некоторой точке (хо, уо, хо) замкнутой области Я. 2,4. Вычисление тройного интеграла Как и в случае двойных интеералов, основной прием при вычислении тпробных интпезралов заключается в их сведении к повгиорному интпегралу, т.е.
в переходе от интегрирования по пространственной замкнутой области к последовательному интегрированию по каждому переменному. Рассмотрим замкнутую область Я с Кз, которая снизу и сверху ограничена поверхностями х = ~р(х,у) и х = ф(х,у), где у(х, у) < ф(х, у), (х; у) Е В, и боковой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог. Здесь 11 С 1~~— замкнутая область, являющаяся проекцией Я на плоскость хОу (рис.
2.1). Обобщая определение 1.2 на пространственньй случай, всякую замкнутую область описанного вида назовем х-цилиндрической областью или правильной обласгпъю в направлении оси Оя. Любая вертикальная прямая, проходящая через внутреннюю точку такой области, пересекает ее границу в двух точках. 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 106 Ряс.
л.1 Справедлива следующая теорема, аналогичная теореме 1.11 для двойного интеграла. Теорема 2.6. Если существует тройной интеграл от функции Дх, у, х) по замкнутой области Я = ((х;у;х) Ей: (х;у) Е В, <р(х,у) ~ (х(Ф(х,у)), Ф(х,и) (2.16) ю(ял) то существует повторный интеграл Ф(х я) с(хф Дх,у,х)с(х, п,р(ял) (2.17) причем имеет место равенство Ф(*,ю) ,((х,у,х)йхйуйх= йхйу Дх,у,х)~Ь. Ф (2.18) ю(* я) а для каждой фиксированной точки (х; у) Е В существует опре- деленный интеграл 107 2.4. Вычвсиеиие тровиого иитеграее Если для двойного интеграла в (2.17) выполнены условия теоремы 1.11, то его также можно представить в виде повторного, например взятого сначала по переменному 9, а затем по переменному х. Тогда равенство (2.18) перейдет в равенство Ь Ыи) Ф(е В) | 7'(х,у,я) о)' = дх Ир ~(х, у,г) дх. (2.19) Я а Ю (в) в(е,в) В случае, если область интегрирования Я является правильной в направлении оси Оу или Ох, то, поменяв в (2.18) местами переменные х, р, х, можно свести тройной интеграл к повторному с иным порядком интегрирования.
Замечание 2.1. Если пространственная область интегрирования Я не является правильной в направлении ни одной из координатных осей, то эту область следует разбить на части, которые являлись бы областями, правильными в направлении хотя бы одной из осей. Тогда к каждой из таких областей можно применить теорему 2.5, а затем в силу аддпшиеностип тпройного интеграла просуммировать полученные результаты. Конкретизируем этот подход, ограничившись случаем, когда в повторных интегралах внутренний интегргл берется по переменному ю В алгоритме сведения тройного интеграла к повторному можно выделить следующие этапы.
1. Пространственную область интегрирования разобьем на такие части, чтобы каждая из них была правильной в направлении оси Оэ. Для каждой из частей разбиения выполняем следующий шаг, предполагая, что эта часть обозначена через (~', а ее проекция на плоскость хОу — через Р*. 2. Зафиксируем точку (х; у) Е Р* и проведем через эту точку вертикальную прямую, параллельную оси Ох. Пусть ~р(х, у) и ф(х,у) — аппликаты точек пересечения этой прямой с поверхностями, ограничивающими соответственно снизу и сверху рассматриваемую замкнутую область Я*, аналогично замк- 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 108 нутой области Я, изображенной на рис. 2.1.
Тогда значения у(х,р) и 1Ь(х,у) будут соответственно нижним и верхним пределами интегрирования во внутреннем определенном интеграле повторного интеграла по переменному х. 3. После интегрирования по х получаем функцию двух переменных х и у.
Двойной интеграл от этой функции по плоской замкнутой области В* заменяем повторным (см. 1.7). Преобразование тройного интеграла в повторныи вида (2.19) или аналогичный ему с другим порядком переменных называют расстпаиовиой иределое ингиеерироеанил в тройном интеграле. Пример 2.1. Расставим пределы интегрирования в троином интеграле по замкнутой области Я = ((х; у; х) Е й: х Е [а, Ь), у Е [с, д), х Е [0,6Ц . В вином случае Я вЂ” прямоугольный параллелепипед с реданн брами, параллельными координатным осям (р .. ). нс. 2.2). Этот параллелепипед является замкнутой областью, правильной в на; правлении любой из координатных осей.
Вертикальные прямые пересекают его нижнюю и верхнюю грани при значениях х~ = 0 и хз = Ь. Поэтому в соответствии с (2.18) имеем л 0 ~(х,у,х)ЙУ = дхду Дх,р,х)дх, и о где В = 1(х; д) Е Ж~: х Е [а, Ь), р Е [с, д] 1 — прямоугольник в плос- кости хОу. Используя теорему 1.10, получаем | ~(х,у,х)<М= дх ду ~(х,р,х)дх. Я а х О 109 2А. Вычисление тройного интеграла Рис. 2.3 Рис. 2.2 Пример 2.2. Расставим пределы интегрирования в тройном интеграле по паепхраадру' Я=((х;у;х) ЕК:х)0, у)0, х)0, х+у+х(1) (рис. 2.3).
Замкнутая область Я ивляется правильной в направлении любой координатной оси. Вертикальная прямая, проходящая через точку (х; у) плоскости хОу, пересекают границу замкнутой области Я в точке (х;у;0) и точке (х;у;х) пересечения с плоскостью х+ у+ х = 1, т.е. при х = 1 — х — у. Проекция Я на плоскость хОу есть треугольник Р = ](ху) ЕЙ: х Е (0,1], х+у(1), а прямые, параллельные оси Оу, пересекают его стороны при у = 0 и у = 1 — х. Следовательно, учитывая (2.19) и теорему 1.11, тройной интеграл можно представить в виде 1 1-х 1-х-П Ях,у,х)1%= Их Ыу у(х,у,х)гаях. о о о 'Под тетраэдром часто понимают произвольную треугольную пирамиду, не облэательно правильную.
2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ По Пример 2.3. В условиях примера 2.1 в качестве области интегрирования Я возьмем шар радиуса а с центром в начале координат (рис. 2.4). Область интегрирования Я можно задать неравенс- Я твом хз+ уз+ гз ( аз. Она является правильной в направлении любой ко- О -в а у ординатной оси. Вертикальные пряа мые пересекают ее в точках нижнеи х хфр ц *=-~з:Р в точках верхней полусферы при л = =ч' '- '-~', ствни с (2.18) для тройного интеграла имеем где  — круг хз+уз (аз.
Учитывая (2.19) и теорему 1.11, получаем | ~(х,у,х)оу = ох оу у(х,у,х)<Ь. 9 /'Ъ Ъ:~В Пример 2.4. В условиях примера 2.1 в качестве области интегрирования рассмотрим полый полушар Я=((хурл)ЕК:х +у +х )~1, х +9 +г <4, х>0) (рнс. 2.5). Область интегрирования Я является правильнои только в направлении оси Оя, причем проекцией Я на плоскость хОу является круг В, ограниченный окружностью, заданной уравнением хз + уз = 4. Вертикальная прямая, параллельная оси 2.
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 112 вить, например, в виде ~/1:х 4ЬНу = 1Ь ф. Ю~ -Л-хх2 Замкнутая область Р2 (рис. 2.6) не является правильной. Поэтому разобьем ее прямыми х = — 1 и х = = 1 на четыре части и, учитывая замечание 1.10, запишем Рис. 2.6 — ~/1-хх2 йх/1у = йх йу+ 4Ь /1у+ П2 — ~/4-х2 1 -~/4-хг 1 ~/4-х2 2,/4-х2 + <Ь 11у+ 4Ь ду. -1 ~/1 х2 1 ~/4-хл /1 ~Е /4-~4-У~ Уа/= ах Иу УИя+ Я 1 Я у~ ф ~~ ~2 1,/4 — х7,/4 — х2 я~ 1 /Г 7 1/4-х2 — У2 + ох 11у /4Ь+ ох пу у 4Ь+ 2 / 2 О -~/4 хл о -2 — 4 — х 4 хз ях 1 ~/4-х2 1/4 хх 29 2 ~/4-х7 И 4-хх-Л + ~Ь 1у У<Ь+ Нх Иу 1а». — /4 — х2 Окончательно, опуская для упрощения записи аргументы функ- 2.5.
Замена неременных в тройном ннтеграле 2.5. Замена переменных в тройном интеграле Криволинейные координаты в пространстве. Пусть функции х = х(~,т~,~), у = у((,ц,('), « = «((,0,~) (2.20) осуществляют отображение области Й" Сиз на область ь)* С Жз. Предположим, что эти функции удовлетворяют условиям: 1) отображение, заданное функциями (2.20), является биекаиеб (т.е. взаимно однозначно); 2) функции (2.20) непрерывно дифференцируемы и в каждой точке ((; ц;~) Е Й' лкобиан отображения (2.20) дх дх дх дс дн д~ ду ду ду дс дн д~ дх дх дх д~ д~ д~ Р(х,у,«) Р(6Ч,0 ~ = Дх,у,«), о = о(х,у,«), ~ = Дх,у,«), (2.21) ~(с,е,0 заданными в области Ц*. Якобиан ' ~' этого отображения в точке (х;у;«) связан с якобианом ' ' отображения (2.20) РТ,ч,О в точке (Дх,у,«);ц(х,у,«);Дх,у,«)) соотношением Р(60 0 Р(х у «) Р(х,у,«) РЯ,тЯ а значит, отличен от нуля и сохраняет знак всюду в Я".
отличен от нуля. В силу непрерывности частных производных якобиан отображения (2.20) является непрерывной функцией переменных с, о, ~, а потому в области Й' сохраняет знак. По теореме об обратной функции отображение, обратное к отображению (2.20), осуществляется непрерывно дифференцируемыми функциями г, тройнык инткгрллы 114 Как и в плоском случае, можно показать, что отображение (2.20), удовлетворяющее условиям 1 и 2, устанавливает взаимно однозначное соответствие между кубируемыми замкнутыми областями в Й* и Я', причем, если замкнутой области Й С Й* соответствует замкнутая область Я С 1,)*, то внутренние точки Й переходят во внутренние точки Я, а граничные точки — в граничные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
