VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Оказывается, что если отображение (1А5) удовлетворяет условиям 1 и 2, то образ любой квадрируемой замккутой области также является квадрируемой замкнутой областью (см. 3.6). Непрерывно дифференцируемое отображение также устанавливает взаимно однозначное соответствие между гладкими (кусочно гладкими) кривыми в С* и гладкими (кусочно гладкими) кривыми в Р*.
Действительно, пусть кривая Г в области С* задана параметрическими уравнениями =~($), =~(Ф), 16[~,ф Тогда ее образ в области Р' при отображении (1.45) будет описываться параметрическими уравнениями х = х(и($),в($)), у = у(к(Ф),е($)), $ Е [а, ~3]. Е ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 64 Если кривая Г гладкая, то функции и(1) и в(Ф) являются непрерывно дифференцируемыми. В силу непрерывной дифференцируемости отображения (1.45) и венного правила заключаем, что сложные функции х(и($),е($)) и у = у(и(1),с(г)) непрерывно дифференцируемы, а их производные можно записать в виде Нх дх сЬ дх й~ др ду йю ду й~ + ~ + (1.48) Ж ди(й двй' Ж диЖ двМ вв ~Ь Для гладкой кривои Г производные — и — одновременно не Ф й обращаются в нуль.
Из этого следует, что и производные —,— вх Ыу ~й' <й одновременно не обращаются в нуль. Действительно, равенства (1.48) можно рассматривать как систему линейных уравнений Ыи Ив <~ относительно —, — с правыми частями —, —. Определяй' сй ~й ~й тель этой системы есть якобиан отображения (1.45) и не равен нулю. Следовательно, она имеет единственное решение при любых правых частях. Значит, нулевые значения —, — могут лд сй' ~й Лв вв соответствовать только нулевым значениям †, †.
Иначе го- ЫФ' ~й вх воря если — — в некоторои точке одновременно обращаются ~й' Ю Ии Ж в нуль то и — — в некоторой точке кривой Г одновременно ~й' <й обращаются в нуль. Кусочно гладкую кривую можно представить как объединение конечного числа гладких кривых. Ясно, что образом кусочно гладкой кривой в С* при отображении (1.45) является кусочно гладкая кривая в Р*. Поскольку отображение (1.46), обратное к отображению (1.45), также непрерывно дифференцируемо, любой гладкой (кусочно гладкой) кривой в Р' соответствует гладкая (кусочно гладкая) кривая в С'. Прямой и = ив в области С* соответствует гладкая кривая Ь в области Р* (рис.
1.17), задаваемая параметрическими 1.9. Звиева веремеввмх в Лвойвом явтегрвее 65 Рис. 1.17 уравнениями *=х(ио,е), у=у(ио,е), (ио,е) ЕС. (1.49) А прямой е = ео отвечает в области Р* кривая 1, определяемая уравнениями х = х(и,ео), у = у(и,ео), (и;ео) Е С. (1.50) Из взаимной однозначности отображения (1.45) следует, что через каждую точку (х;у) Е Р* проходят единственная линия вида (1.49) и единственная линия вида (1.50), отвечающие некоторым значениям и =но и о = ео.
Следовательно, значения и и е можно рассматривать кзк координаты точки (х; у) области Р*. Так как линии (1.49), (1.50), отвечающие этим координатам, в общем случае являются кривыми, то значения и и о называют криволинейными координаепами в плоской обласпьи Р. 1.9. Замена переменных в двойном интеграле Пусть 6' и Р' — области в Кз и отображение (1.45), переводящее область С* в область Р', удовлетворяет условиям, оговоренным в 1.8. Рассмотрим кеадрируемую замннутпую областпь Р С Р* и двойной интеграл от функции у(х,у) с областью интеерироеанил Р*.
Задача о замене переменных в двойном интеграле состоит в том, чтобы преобразовать двойной интеграл от функции Дх,у) по области Р в двойной интеграл по з — ноо 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ области С, переходя в подынтегральном выражении от пере- менных х, у к переменным и, е.
Теорема 1.12. Пусть отображение х = х(и,е), у = у(и,е), (и;е) Е С', (1.51) взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает область С' С 14~ на область Р' С Ж~, причем якобиан .7(и,е) этого отображения в 0' отличен от нуля. Тогда площадь Я квадрируемой замкнутой области Р С .Р* может быть выражена двойным интегралом по ее прообразу С С С*: Я = 41х41у = ~.7(ц,е)~йьсЬ. (1.52) Ж4(и;е), Жз(и;е+Ье)) Жз(и+Ли;е+Ье), 1У4(и+Ли;е), у+А у+а у+А Рис. 1.18 ~ Дадим доказательство этой теоремы не вполне строгое, но зато прозрачное с геометрической точки зрения.
Рассмотрим в координатной плоскости цОу прямоугольник Л'1ЛзЛзЖ4 с малыми сторонами Ьи и Ье> параллельными ко ординатным осям Оп и Оч (рис. 1.18). Этот прямоугольник, имеющий площадь Ьсг = ЬцЬе, при отображении (1.51) переходит в криволинейный четырехугольник М4МзМзМ4 в Р*. Вершины прямоугольника М4ЖзЖ~Ж4, которые можно записать в виде 4.9. Замена переменных в двойном интеграле при отображении (1.52) преобразуются в точки М1(х;у), М(х+Ьх;;у+Ьуз), 4=2,3,4. (153) Пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка по сравнению с Ьи и Ье, приближенно получаем Ьх~дх = — Ьи+ — Ьо, Ьу-Ир= — Ьа+ — Ья, (1.54) дх дх ду ду ди де ' ди де где все производные вычислены в точке (и; е) Е С*. Точки Мз и М4 лежат на линиях и = сопзз и е = сопзФ соответственно, и поэтому для точки Мз имеем 4зи = О, а для точки М4 — Ье = О.
Учитывая (1.54), записываем дх ~хз = — ~е де дх дх 4зхз — Ьи+ — 4зо, ди де дх Ьх4 - — Ьи д (дх др мА.=|~~ар,~ 1 — лв — л,), (дх др мм,'=~а*,-л„;лв-лд) 1 — л; — л ), где все производные вычислены в точке (и;е). Отсюда следует, что векторы ММ4 и МзМз коллинеарны и равны по длине. Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению с Ьп и 4зе можно четырехугольник М1МзМзМ4 приближенно считать параллелограммом, а его площадь считать равной длине векторного произведения и Используя (1.53), заключаем, что гауз - — Ье; дд ~Уз = — Ьи+ — ~е; дд дд дп дп ~94 дд дп 1.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ векторов М4А~4 и М4лК (ПЦ. Учитывая значения координат векторов в системе координат Оху, находим г1е4 Йище = ~,7(и,е) ) ЬиЬе. (1.55) Рассматривая разбиение замкнутой области О прямыми, параллельными координатным осям Оп и Ох, на прямоугольники с малыми сторонами и пренебрегая „неправильными" элементами у ее границы дО, в результате отображения (1.51) получаем разбиение области Р С Ю' на криволинейные четырехугольники рассмотренного вида. Суммируя полученные выражения для площадей этих четырехугольников, приходим к (1.52).
~ Замечание 1.12. Выражение ГлЯ = ~.7(и,е) ~ Лиане, (1.56) Замечание 1.13. В теореме 1.12 предполагалось, что отображение (1.45) области 6* на область П* является взаимно однозначным. Однако выражение (1.52) для площади в криволинейных координатах остается в силе и в том случае, если это условие нарушено в отдельных точках или вдоль отдельных входящее в (1.55), обычно называют элененто и гьяои4ади е криволинег1ных координатах.
Если произведение ЬиЬе рассматривать как элемент Ьо площади в координатах и и е, то (1.56) можно переписать в виде ЬЯ = ~,У(и,е)~Ьсг, откуда ~,У(и,е)~ = ЬЯ/Ь<г, т.е. абсолютная величина якобиана отображения играет роль коэффициента растяжения элемента площади в окрестности точки (и; о) при заданном отображении (1.51).
69 1.9. Замена веремеммых в двоюеом митегрвле линий. Рассмотрим в качестве примера отображение прямоугольника С = ((г; ~р) Е К~: г Е [О, а), 1о Е [О, 2я]1 на круг при помощи отображения я = гсов~р, у = гв1пд, (1.57) которое соответствует введению на плоскости хОу полярных координат. Это отображение не удовлетворяет условиям теоремы 1.12, так как в любой области, содержащей С, отображение (1.57) не является взаимно однозначным.
Тем не менее в данном случае формула (1.52) верна. Покажем зто. Пусть область С* С Ез задана неравенствами О < г < а+ 5, О < у < 2н, а замкнутая область С' — неравенствами б < г < а, Б < р < 2к — 5. Тогда С' С С", при отображении (1.57) область С* переходит в область В", представляющую собой круг радиуса а с разрезом по радиусу, а замкнутая область С' — в замкнутую область 1У, получающуюся из замкнутого круга радиуса а с центром в начале координат выбрасыванием круга радиуса б < а с тем же центром и сектора с центральным углом 2Б (рис. 1.19). На основании теоремы 1.12 для площади Яю замкнутой области Р' можно записать формулу (1.52).
Переходя к пределу при 5-+ О, заключаем, что формула (1.52) остается верной и для прямоугольника С. Рис. з.те 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 70 Пример 1.12. Вычислим якобиан отображения х = «сов р, у = «яшар, соответствующего полярным координатам на плоскости: дх дв д«ду дв дв д«ду сов <р — «вш~р =«. вшф «сов ф Якобиан этого отображения отличен от нуля всюду, кроме полюса полярной системы координат (« = 0), совпадающего с началом прямоугольной системы координат (х = р = О). Следовательно, в соответствии с (1.56), элемент площади в полярных координатах равен ЬЯ = «Ь«Ь~р.
4~ Перейдем теперь к выводу общей формулы замены переменных в двойном интеграле, а именно докажем следующее утверждение. ~ Рассмотрим разбиение замкнутой области С на и часшичимх обласшеб 0; с площадями Ьа;, в = 1, и. Образы Р; частичных областей бь 1 = 1, и, при отображении (1.51) образуют разбиение замкнутой области Р. В каждой частичной области Р;, площадь которой обозначим через ЬЯ,, выберем произвольную Теорема 1.13. Пусть отображение (1.51) взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает область С' С 1кх на область Р* С 1кх, причем якобиаи .7(и, и) этого отображения в С* отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
