VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если функция 1 (х, у) неотрицательна и интегрируема в Р, то (1.21) < Так как функция 1(х,у) неотрицательна в Р, то для любого разбиения Т = (Р1, ..., Р„) замкнутой области Р на частичные области Р; с площадями ЬЯ1 при любом выборе точек Ь5. Свойства двойного ннтегрвла 33 ЫОО0) Е Р, имеем ~» Пб,О0)ЬЯ,>О, (1.22) т.е. любая интегральная сумма рассматриваемой функции не- отрицательна.
Поэтому предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения, который существует в силу интегрируемости функции, неотрицателен. А это и означает, что двойной интеграл функции ~(х,у) по области интегрирования Р имеет неотрицательное значение, т.е. верно равенство (1.21). 2ь 5'. Если функции Дх,д) и д(х,д) интегрируемы в Р и ,Цх,д) > д(х,д), (х;д) Е Р, то (1.23) < В силу линейности двойного интеграла функция Дх,у)— -д(х,д) интегрируемавР.
Таккак~(х д) — д(ху)>О, (ху) ЕР, то, согласно свойству 4' двойного интеграла, (у(х,д) — д(х,д)) ИЯ > О. 22 Отсюда, используя свойство 2', получаем (1.23). > Замечание 1.3. Как и в случае определенного интеграла, свойства 4' и 5' можно уточнить следующим образом. Если функция у(х,д) интегрируема в Р, удовлетворяет неравенству Дх,д) > О, (х;у) Е Р, причем это неравенство строгое хотя бы в одной точке (хо,дс), в которой функция Дх,д) непрерывна, то | ~(х, у) сБ > О. 22 2 — М00 1.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Аналогично, если функции 1(х,д) и д(х,д) интегрируемы в Р и связаны неравенством 1(х,у) > д(х,д), (хрд) Е Р, причем это неравенство строгое хотя бы в одной точке (хе,де) Е Р, в которой функции 1(х,д) и д(х,д) непрерывны, то 6'. Если функция у(х,у) интегрируема в Р, то функция ~~(х,д)~ также интегрируема в Р, причем у(х,у)сБ < ~Дх,д)~ЫЯ.
В В (1.24) ~ Согласно следствию 1.2, для произвольного е > О существует такое разбиение Т = (Р1, ..., Р„) замкнутой области Р, что ш;ЬЯ;<е, 1=1 где ы; — колебание функции 1(х,д) в частичной области Р;, а 1лЯ; — площадь частичной области Р;. В силу неравенст- ва (1-1.3] ,'>, м,'ЬЯ1 < ~ ь1,ЬЯ; < е. Согласно следствию 1.2, это означает интегрируемость функции ~~(х,д)~ в Р. Так как — ~Дх, д) ~ < У(х, д) < Щх, д) ~, (хрд) Е Р, ~/1(х',д')~ — Щх",д')!/ < фх,у ) — 1(х,д')!, верного для любых точек (х', у') и (х"; д") в Р, для колебаний ь1,'. функции /~(х, д)! в частичных областях Р, верны неравенства ю; '< и;, а = 1, и. Поэтому 35 1.5.
Свойства двойного ннтеграва то,используя свойство 5',получаем У( у)]дБ< 1(х у)дБ< У(х,уйдБ, о о о что равносильно неравенству (1.24). ~ Отметим, что из интегрируемости функции ],т(х,у)] в Р не следует интегрируемость в Р функции Дх,у). Например, фунвщия х(х,у), рассмотренная в замечании 1.1, не является интегрируемой в квадрате Р, заданном условиями х Е (О, 1], у Е [О, 1]. То же относится и к функции 1(х,у) = от(х,у) — 1. Но )~(х,у)] вв 1 в Р, так что функция )Дх,у)) интегрируема в Р. Свойство 6' называют тпеоремоб об оценне двобного интпеграла по модулю. 7'.
Пусть функции Дх,у) и д(х,у) интегрируемы в Р и удовлетворяют в Р неравенствам тп < Дх,у) < М и д(х,у) ) О. Тогда тп д(х,у)дБ < 7(х,у)д(х,у)дБ < М д(х,у)дБ. (1.25) о о В ~ По условию тп < 7(х,у) < М, (х;у) Е Р. Умножив эти нера- венства на неотрицательное значение д(х, у), получим тп д(х, у) < ( (х, у) д(х, у) ( М д(х, у). В силу свойства 5' и линейности двойного интеграла приходим к неравенствам (1.25). > Свойство 7' иногда называют тпеоремот7 об оценне двойного ннтпеграла. Если в формулировке свойства 7' неравенство д(х,у) > 0 заменить противоположным неравенством д(х, у) ( О, то вместо 1.
дВОЙные интеГРАлы 36 неравенств (1.25) получаем М д(х,у)аИ < 1(х,у)д(х,у)а$ < тп д(х,у)ао. Если в свойстве T положить д(х,у) = 1, то двойное неравенство (1.25) примет вид тпрр < Ях, у) аВ < МЯ, В (1.26) где Я вЂ” площадь замкнутой области Р. 1.6. Теоремы о среднем значении дли двойного интеграла Теорема 1.8 (тпеорема о среднелт значении для двотЪ- ного интпеграла).
Если функция У(х,у) непрерывна в квадрируелтот1 галтннутпоб областпи Р, являющейся линейно связным множеством, то в Р существует такая точка (хе,.уе), что (1.27) где Я вЂ” площадь области интегрирования Р. ~ Так как функция У(х,у) непрерывна в замкнутой квадрируемой области Р, то, согласно теореме 1.3, она является интпегрируелтой дтуннииеб в Р. Поскольку Р— нолтпантп, то Как и свойства двойного интпеграла (см. 1.5), теоремы о среднем значении для него аналогичны соответствующим теоремам для определенного интеграла [ЧЦ. 1.6. Теоремы о среднем значении длн двойного ннтегрвла 37 непрерывная в Р функция Дх, д) достигает на этом множестве наименьшего пь и наибольшего М значений (Ч1.
Используя неравенства т < Дх,у) < М, (х;у) Е Р, и (1.26), получаем < — / Д*д)НЯ< М. 1 Г Обозначим среднюю часть этого неравенства через р. Так как р е (т, М1, то опять-таки в силу непрерывности Дх,у) на компакте Р, являющемся линейно связным, найдется хотя бы одна такая точка (хо;ро) Е Р, что ~(хо>уо) = р. А зто равносильно равенству (1.27).
~ Теореме 1.8 можно дать геометрическую интерпретацию, так же как и аналогичной теореме для определенного интеграла (Ч1]. Вьппе установлено (см. 1.2), что двойной интеграл от неотрицательной функции Дх,р) по области интегрирования Р равен объему х-циаиндрического тела, ограниченного снизу замкнутой областью Р в координатной плоскости хОу, боковой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог, и сверху поверхностью я = ~(х,у) (см.
рис. 1.1). Из равенства (1.27) следует, что этот объем равен объему прямого цилиндра с тем же основанием и высотой, совпадающей со значением Дхе, уо) функции 1(х,у), в точке (хо, уо) Е Р. Значение Дхо,ро), фигурирующее в (1.27), называют средним эначениеде этой функции в плоской замкнутой области Р. Пример 1.1. Найдем среднее значение функции Дх,у) = =/Я:~ у ру Р 1(х.у) ~ щ2.
х2+р2 < д2~ и точку (хо,уо) Е Р, в которой достигается это значение. Графиком Функции г = У(х, у) в Р является полусфера радиуса В с центром в начале прямоугольной декартовой системы 38 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рис. 1.4 координат Охуз (рис. 1.4). Поэтому двойной интеграл /(х, р) с1Я = Вз — хз — уз Ых Др равен объему К полушара радиуса В, т.е. Х = 2кВз/3, а площадь Я области интегрирования .Р равна площади круга того же радиуса, т.е. Я = кВз. Согласно равенству (1.27), среднее значение р подынтегральной функции в Р равно р = У/Я = 2В/3. [щ;р~, р фу ц л*,р)=~/л~:з:Р рнимает среднее значение р = 2В/3, находим, решая уравнение „'Р- '-„= —.
2В 3 Возведя уравнение в квадрат, получим х +у~ = 5В~/9. Отсюда заключаем, что множество точек (хе;уе) Е Р, в которых достигается среднее значение д функции /(я,р) в Р, представляет собой окружность в плоскости хОу радиуса В1 = — В с Я 3 центром в начале координат (см. рис. 1.4). Перейдем к обобщению теоремы 1.8. Теорема 1.9.
Если функция /(х,у) непрерывна в квадрируемой замкнутой области Р, являющейся линейно связным множеством, а функция д(х, у) интегрируема и знакопостоянна 1.6. Теоремы о среднем значения длл двойного ннтегрвла 39 в .Р, то найдется хотя бы одна точка (хе, уе) Е Р, для которой справедливо равенство < Предположим, что д(х,у) неотрицательна в Р. Так как функция 7'(х, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области Р, т.е. на компакте, она достигает в Р своих наименьшего гп и наиболыпего М значений.
При этом т < Дх,у) < М, (х;у) е Р. В силу свойства 7' двойного интеграла (см. 1.5) можно написать т д(х,у) ЙЯ < ~(х, у)д(х,у) сБ < М д(х,у) ИЯ. (1.29) В соответствии со свойством 4' (см. 1,5) двойной интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, т.е. 1 = д(х,у) сЖ > О. и Если 1 = О, то и средний интеграл в (1.29) равен нулю, так что (1.28) верно для любой точки (х;у) Е Р. Если же Х > О, то, разделив (1.29) на 1, получим у)д( у)ж<М.
1 Г 1„/ й Обозначим среднюю часть этого неравенства через р. Так как р Е (гп, М), в силу непрерывности функции Дх,у) на линейно связном компакте Р найдется хотя бы одна точка (хе, уе) Е Р, и которой 7'(хе,уе) = р (Ч], а это равносильно (1.28). Аналогичным образом равенство (1.28) доказывается в случае, когда д(х,у) < О, (х;у) Е Р. ~м ь дВОЙные интеГРАлы 1.Т. Вычисление двойного интеграла 40 Рассмотрим сначала простой случай, д ког а область интег ирования Р в координатной плоскости хОу является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям, т.е.
Х(х) = у(х,у)ду, х Е [а, Ь1 (1.31) то существует повторный интеерал ь ь | дх |'(х,у) ду = 1(х) дх, а с а (1.32) причем двойной интеграл равен повторному, т.е. ь в у(х,у) дхсХу = дх ('(х,у) ду. (1.33) В а с ~ Введем разбиения а=хо<х1«...х, ь<хь<...
... < х с = Уо < Уь « ". У1-1 < УУ " Ут = .«... =д отрезков [а, ) и [с, ьв~ [ Ц [ ьв~ соответственно. Они определяют разбибл Р состоящее из конечного числа ение Т замкнутои о асти Р = 1(х;у) Е Ж~: х Е [а, Ь), у б [с, а)1. (1.30) Ясно что Р— квадрируемав замкнутав область и ее площадь > равна 8 = (Ь вЂ” а)(а — с). Теорема 1.10. Если существует двойной интеграл от Р (1.30) и и каждом фиксированном значении х Е [а, Ь) существует определенный интеграл 41 1.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
