VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[Ч1] 20. Опишите суть основного подхода к проблеме численного интегрирования. Что называют квадратурной формулой и погрешностью квадратурной формулы? [ЧЦ 21. Являетсн ли кусочно гладкая плоская замкнутая кривая спрямляемой? [1Ц 22. Запишите канонические уравнения эллипса с большой а и малой 6 полуосями, гиперболы с действительной а и мнимой 6 полуосями и параболы с фокальным параметром р, прямого кругового конуса, трехосного зллипсоида и гиперболического параболоида. [ПЦ 23. Какие геометрические векторы называют коллинеарными, компланарными, сонаправленными, противоположно направленными, ортогональными? Укажите какой-либо базис в ~э.
Какова ориентация этого базиса? [ПЦ 24. Сформулируйте основные свойства скалярного произведения, векторного произведения и смешанного произведения. Что произойдет с каждым из этих произведений, если поменять местами два сомножителя? Запишите формулы ?о ПРЕДИСЛОВИЕ вычисления скалярного, векторного и смешанного произведений в ортонормированном базисе. Как связаны площадь параллелограмма и объем параллелепипеда с векторным и смешанным произведениями векторов? [???] 25.
Как вычислить определитель третьего порядка с помощью правила Саррюса? Как вычислить смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе? [ПЦ 26. Перечислите основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. Как интегрируют эти уравнения? [ЧП?] 27. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения ОДУ первого порядка. Сравните ее с теоремой Коши существования и единственности решения ОДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной.
[ЧП1] <и ° Ф И вЂ” пустое множество 1-1.1 а Е А — а принадлежит множеству А 1-1.1 а ф А — а не принадлежит множеству А 1-1.1 (а, Ь, с) — множество, состоящее из элементов а, Ь, с 1-1.1 (х: Р) — множество, состоящее вз элементов х, обладающих свойством Р 1-1.1 А с В у: Х -+ У вЂ” отображение у множества Х в (на) множество У 1-2.1 УФ) А~В АОВ АпВ й Щй Ч Л ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ вЂ” начало и окончание доказательства — окончание примера, замечания, теоремы без доказа- тельства — знак приближенного равенства — знак тождественного равенства — множествоА является подмножеством множества В 1-1.2 — разность множеств А и В 1-1.4 — объединение множеств А и В 1-1.4 — пересечение множеств А и В 1-1.4 — множество действительных чисел 1-1.3 — п-мерное линейное арифметическое пространство ГЧ' — внутренность (множество внутренних точек) множества М С И" 1.2 — квантор всеобщности (Чх — для любого х) 1-1.5 — квантор существования (Зх — существует х) 1-1.5 — образ множества С при отображении у 1-2.1 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ ш и ~ш~ — геометрический вектор и его длина 1П оЬ, (а, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь П1 охЬ вЂ” векторное произведение векторов а и Ь 111 аЬс — смешанное произведение векторов а, Ь и с 1П (а;З) — матрица типа тп х п, составленная из элементов а; 1П Я 0 — единичная матрица порядка п 1П вЂ” нулевой вектор в Й" 1~ Ат — матрица, транспонированная к матрице А П1 А ~ — матрица, обратная к матрице А 111 йеСА, (А~ — определитель квадратной матрицы А П1 ВлА — ранг матрицы А П1 !)а)! — евклидова норма элемента а в евклидовом пространстве 1 Ч о(Ь) — величина более высокого порядка малости, чем Ь 1-10.1 — с-функция Дирака Х11 — число, комплексно сопряженное к числу а 1-4.3 — диаметр разбиения Т 1.2 6(х) й(Т) — знак неопределенного, определенного, криволинейного интегралов УХ, 5.1 у ~(У) — прообраз множества У при отображении у 1-2.1 Ж ~; аь — сумма слагаемьп~ ам аз, ..., он 1-2.6 я=1 Ф 1,,( аь — произведение М сомножителей ом аз, ..., ан 1-2.6 я=1 Й = 1, М вЂ” число Й принимает последовательно все значения из множества натуральных чисел от 1 до М включительно 1-2.6 13 | Дт,у) Итду — двойной интеграл от функции у(ж,у) с областью интегрирования Р 1.2 | Дя,у,я) сЬИу~Ь вЂ” тройной интеграл от функции у (х, у, я) и с областью интегрирования Р 2.2 Ъ Дг)оз — криволинейный интеграл по замкнутому контуру Ь 53 Г Дт,у,я) ИЯ вЂ” поверхностный интеграл по поверхности Я 8.1 Дт, р, «)сБ — поверхностный интеграл по замкнутой поверхности Я 6.1 8гас1и(М) — градиент скалярного поля и(М) в точке М 7.2 йча(М) — дивергенция векторного поля а(М) в точке М Т.4 гоФа(М) — ротор векторного поля а(М) в точке М Т.4 ~7 — оператор Гамильтона 8.1 — оператор Лапласа 8.3 14 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").
Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямб- 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1.1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла Задача о площади криволинейной тпрапеции привела нас к понятию определенного интеграла [Ч1]. Рассмотрим задачи, которые приводят к понятию двойного инщеграла.
Задача об объеме цилиндрического тела. Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Охух и рассмотрим тело Я, ограниченное снизу ограниченной замкнутой областью Р на координатной плоскости хОу, сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ох, и сверху поверхностью, заданной уравнением х = = Дх,у), причем функция у(х,у) неотрицательна при (х;у) Е Р (рис. 1.1). Тело 9 описанного вида обычно называют х-цилиндрическим. Объем У рассматриваемого тела Ч естественно искать следующим путем.
Разобьем основание Р произвольными кривыми на и частпичных областпей Р;, не имеющих общих внутрен- 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ них точек. Тогда все тело Я можно представить состоящим из и цилиндрических столбиков Я;, ю = 1, и, основаниями которых являются частичные области Р;. В каждой частичной области выберем некоторую точку ®;щ) Е .0;. Если приближенно принять каждый цилиндрический столбик за прямой цилиндр высотой, равной ~®,щ), то объем ЛГ отдельного столбика Щ будет приближенно равен произведению ~®, ц;)ЛЯ,, где ЛЯ;— площадь частичной области Р;. В таком случае объем тела Я приближенно можно представить в виде суммы: ~(6л )~~ Для повышения точности этого соотношения следует, очевидно, уменьшать размеры частичных областей Р;, увеличивая их количество. За точное значение объема Г целесообразно принять предел суммы в (1.1) при стремлении наибольшего диаметра И среди диаметров ииожесшв Р,, ю = 1, и, к нулю, т.е.
(1.2) Напомним, что диаметр множества — это точная верхняя грань расстояний между двумя произвольными точками этого МБ0~'8СТ~~. Задача о массе пластины. Пусть на ограниченной замкнутой области Р в координатной плоскости хОу распределена масса с поверхностной плотностью ря(х,у). Так можно представить, например, пластину из однородного материала с постоянной плотностью ро, но имеющую переменную толщину 6(ж,у). Тогда поверхностная плотность пластины будет Для вычисления массы ш пластины разобьем Р произвольным образом на и частичных областей .Р;, ~ = 1, и, и в каждой 2.2.
Определение двойного интеграла 17 из них выберем произвольную точку ®; тд,). Если приближенно принять, что масса по частичной области В; распределена равномерно с поверхностной плотностью р~®,ц;), то масса Лт; этой частичной области будет приближенно равна произведению р~®,ц;)ЬЯ;, где ЬЯ; — площадь В;. В таком случае масса всей пластины приближенно равна РяЫз~9з)~~в (1.3) За точное значение массы т пластины можно принять предел суммы в приближенном равенстве (1.3) при стремлении к нулю наибольшего диаметра И всех частичных областей П;, т.е.
В обеих рассмотренных задачах реализован один и тот же вычислительный процесс, который и приводит к понятию двойного интеграла. Оно является обобщением понятия определенного интеграла на случай действительных функций двух действительных переменных. Двойной интеграл играет важную роль при решении различных геометрических, физических и технических задач.
1.2. Определение двойного интеграла Для определения двойного интеграла нам понадобится понятие квадрируемой фигуры (квадрируемои заммиушой области). Напомним, что плоскую фигуру называют квадрируемой, если точная верхняя грань Я, множества площадей всех включенных в эту фигуру многоугольников равна точной нижней грани Я* множества площадей всех многоугольников, включающих в себя эту фигуру, причем число Я = Я* = Я, называют площадью данной плоской фигуры. 1.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 18 Для квадрируемости замкнутой области .Р необходимо и достаточно, чтобы для любого с ) 0 нашлись такие два многоугольника Р1 и Рз с площадями Я1 и Яз соответственно, что Р сРсР и8 — И <с1Ч1). Всякое множество на плоскости (в частности, кривую) будем называть мпожестиео.м площади пуль, если его можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Введенное понятие позволяет сформулировать следующий критерий квадрируемости замкнутой области [УЦ.
Теорема 1.1. Для того чтобы замкнутая область была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь нуль. Опираясь на эту теорему, опишем некоторый класс квадрируемых областей, достаточно широкий для того, чтобы ограничиться им при дальнейшем рассмотрении. Лемма 1.1. Всякая плоская спрлмллемал кривая имеет площадь нуль. ~ Пусть à — спрямляемая кривая с концевыми точками А и В (в случае замкнутой кривой эти точки совпадают), имеющая длину 1. Разобьем кривую Г при помощи точек Ме = А, М1, ..., М„= В на и частей так, чтобы длина каждой из частей была равна 1/и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
