VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вагчисление днойного интеграла прямоугольников 11;у — — 1(х; Р) Е И: х Е (хе м хе]1, у Е ]у1 1, уД, 1=1>п, 1=1,7п, имеющих площади Ьо11 = ЬхеЬу1, где Ьхе = х; — х; 1 и Ьу. = — — у — у 1 (рис. 1.5). Рис. 1.5 Пусть т; и М;. — точные нижняя и верхняя грани функции 1(х,у) в прямоугольнике Пл3, так что тпе < Дх,у) < М11, (х; у) Е Р;, е' = 1, и, 1' = 1, тп. Выберем на каждом нз отрезков (х; 1, х;] произвольную точку ~1 и проинтегрируем функцию ~ф,у) одного переменного по у от у 1 до у . Поскольку тпрр ~ (1 (х, у) < М3, то в силу свойств определенного интеграла имеем Уе тп;Фуу < 1(6>у)~1у(М111ар1> е'=1,п, 1=1,т.
(1.34) 91-л Интеграл в (1.34) существует, так как при любом х Е (а, Ц существует интеграл (1.31). Суммируя неравенства (1.34) по 7' от 1 до тп, получаем ФВ га К цел <не)=~уй,л)ел <КМФлз 1=1 с 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 42 Умножив все части каждого из этих неравенств на е1х1 и просуммировав по 1 от 1 до н, запишем ~> Ьх1~тН11уу < ~~1 1ф)1лх1 < ~ Ьх1~~1 М; Ьу . В средней части этого неравенства стоит интегральная сумма для функции 1(х), х й [а, Ь), соответствующая разбиению отрезка [а, Ь), а слева и справа — нижнлл и еерхнлл суммы Дарбу для функции у (х, у), соответствующие разбиению Т прямоугольника Ю.
Действительно, е1х1~ т1у1лу = ~ ~тб11х;бу =~~ ~ т; ЬБИ=Б(Т), 1=1 1=1 1=1 1=13=1 Я ти и ти и 3и У Ьх,~ М,~уу=» ~М,,~х,ьу1='~~ У М„ЬБ„=Б(Т). 1=11=1 1=11=1 Таким образом, имеем Б(Т) ~ ~~1 1®)е х1 < Б(Т). 1=1 (1.35) Так как существует двойной интеграл функции 1(х,у) по области интегрирования О, то при 1.'1х1 -+ О и 11у -+ О (следовательно, диаметр МТ) разбиения Т также стремится к нулю) обе суммы Дарбу Б(Т) и Б(Т) стремятся к общему пределу, равному значению двойного интеграла (см.
теорему 1.3). При этом в силу двойного неравенства (1.35) к тому же пределу при а(Т) -+ О стремится и интегральная сумма ~, 1Я) Ьх1 функции 1=1 1(х), соответствующая интегралу от этой функции по отрезку [а, Ь[. Это доказывает, что повторный интеграл в (1.32) слева существует и выполняется равенство (1.33). 1ь 43 1.7. Вычисление двойного ннтеграса Замечание 1.4.
Меняя роли переменных х и у и предполагая при произвольном фиксированном у существование определенного интеграла приходим к формуле я ь | |' (х, у) с)х с1у = с~у ~(х,у) с1х. (1.36) и с а Если, наконец, наряду с двойным интегралом существуют оба интеграла 1(х) и 1~(у), то справедливо равенство ь я и ь | сЬ Ях, у) йу = с1у ~(х, у) йх. (1.37) а с с а Таким образом, вычисление двойного интеграла сведено к двум последовательным вычислениям определенных интегралов сначала по одному из переменных интегрирования, а затем по другому. Пример 1.2. Вычислим двойной интеграл от функции Дх,у) = 1/(х+у) по замкнутой области В = 1(х; у) Е Й: х Е [2, 3], д Е [1, 2Ц . На основании (1.33) представим двойной интеграл как повтор- ный: з г +)з х ( +)з' 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 44 Сначала вычисляем внутренний интеграл: г ду 1/2 1 1 1 Затем следует вычисление внешнего интеграла.
В результате з Пример 1.3, Для вычисления двойного интеграла от функции У(т, у) = т/(1+ т~ + у~)~/~ по области интегрирования Р = ( (ю; у) Е 1~к: ю б (О, 2], у е (1, 2Ц целесообразно применить формулу (1.36): | тсЬНу (' / т0т (1+ г+рг)з/г / / (1+тг+рг)з/г В о г г г |~/Г~++у ~ /(~я~ р /5+~) у+;/1+Рг 2+ Я 1+ ~/2 „+,/б~„г 5 1+ /6 (2+ Л)(1+ ~/6) 5(1+ ~/2) Замечание 1.5. Рассмотрим двойной интеграл от функции /(т,у) по прямоугольнику 11 (1.30). Предположим, что у 45 1.7. Вычисление двойного интеграла подынтегральной функции переменные разделяются, т.е. она имеет вид 1 (х,у) = Ь(х)д(у), (х;у) Е.О.
Тогда при сведении двойного интеграла к повторному мы фактически приходим к произведению двух определенных интегралов: Ь а | Ь(х) д(у) Йхйу = Их 1ь(х) д(у) Йу = В а с Ь Ь а Цх) д(у)с1у сКх = й(х) йх д(у) Йу а с а с Этот зффект вызван тем обстоятельством, что в повторном интеграле внутренний определенный интеграл не зависит от переменного интегрирования из внешнего интеграла и, как числовой множитель, может бьггь вынесен за пределы внешнего интеграла.
Пример 1.4. Для двойного интеграла от функции Дх, у) = по прямоугольнику 71 а .О = ((х; у) Е 1~К: х е (1, 3), у Е [О, ъГ2/2) ~ имеем 3 2 О;,"=р"=1'"~ Л= ЬГ2 хз . ~ г 26 х 13 1о 34 6 — . агсзшу = — — = — н.;К 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Перейдем теперь к более сложному случаю сведения двойного интеграла к повторному, когда граница области интегрирования вся или частично является криволинейной. Определение 1.2. Область июпеерирования Р называют правильной в направлении координатной оси Оу, если ее можно задать в виде Р = 1(х;у) Е 11и: х Е [а, Ь], у1(х) < р < рз(х)), (1.38) где функции у1(х) и рз(х) непрерывны на отрезке [а, Ь] и удовлетворяют неравенству у1(х) < рз(х), х Е [а, Ь].
Аналогично вводится понятие области, правильной в направлении координатной оси Ох. Область интегрирования Р может быть правильной в направлении одной координатной оси и не быть правильной в направлении другой координатной оси. Например, замкнутая область на рис. 1.6, а правильная в направлении любой из координатных осей, в то время как замкнутая область на рис. 1.6, б является правильной лишь в направлении оси Оу.
Рис. 1.6 Представление (1.38) носит скорее геометрический, чем алгебраический характер, поскольку функции у1(х) и уз(х), участвующие в этом представлении, следует рассматривать с 47 1.7. Вычисление двойного илтеграла самой общей точки зрения, т.е. как отображение, а не как выражение, содержащее переменное х. Например, область Р на рис. 1.6, а является, как уже сказано, правильной в направлении оси Ох, но функции х~(у) и хз(у), с помощью которых область можно задать в виде Р = ((х; у) Е К: у Е [с, д], х1(у) ( х ( хг(у) ), скорее всего являются составными и на разных участках отрезка [с, д] задаются разными выражениями. Способ задания функции вообще не является определяющим: одну и ту же ф нкцию можно задавать разными способами (сравните функфункц ции у = х и у = аш(агсзшх) на отрезке [О, 1]).
Отметим, что область интегрирования Р, правильная, например, в направлении координатной оси Оу, является квадрируемо, мой поскольку ее граница есть миозхестео площади нуль (см. теорему 1.1). Теорема 1.11. Если существует двойной интеграл от функции |'(х, у) по области интегрирования Р вида (1.38) и при каждом фиксированном х Е [а, Ь] существует интеграл ю(*) 1(х) = 7(х,у) ду, ю(*) то существует повторный интеграл ь о2(з) Ь дх 7(х,у) ду = 1(х) дх, ю(*) причем верно равенство 48 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~ Заключим область интегрирования В в прямоугольник Р = 1(х; у) Е )к: х Е [а, Ь], у Е [с, «]), где с — наименьшее значение функции у1(х) на отрезке а, а « — наибольшее значение функции уг(х) на этом отрез- ке (см.
рис. 1.6, а). Рассмотрим в прямоугольнике Р функцию ( 1'(х,у), х Е В; 0 хЕР(В. так как совпадает в В с Эта амуниция интегрируена в В, так интегрируемой функцией У(х,у), причем | Р(х,у)«*«у У(х,у)«х у. В В Кроме того, функция Р(х, у) интегрируема и в замкнутой обла- В' — РР'( В так как эта замкнутая область квадрируема, а стиВ = 1,так Р(х, у) = 0 в Р (В. В частности, Р(х,у) «х«у = О. В' Поэтому, согласно замечанию 1.2, функция (, Р(х, у) интегриру- Р ичем в силу аддитивности ема во всем прямоугольнике, пр двойного интеграла | Р(х,у)«х«у = ~(х,у)«х«у.
(1.40) В ом фиксированном значении х Е [, ] ущ [а Ь, с ествуПри каждом и нтегрзл функции Р(х,у) по отрезку „с, причем ю(х) ю(х) | Р(х, у) «у = Р(х, у) «у+ Р(х, у) «у+ Р(х, у) «у. с с ю(х) ох(х) 1.7. Вычнеленне двойного ннтегрнне Действительно, на отрезках [с, у1 (х)) и [уя(х), е() функция Р(х, у) (при заданном фиксированном у) тождественно равна нулю и, значит, интегрируема, а интеграл щ( ) Не(х) н~(х) н1(х) существует по условию теоремы.
В силу аддитивности оире- ~)еленноео интеграла заключаем, что функция Р(х,у) интегри- руема на [с, д). Кроме того, нх( ') | Р(х,у) Ну = у(х,у) е(у. е н1(х) (1.41) ь и Р(х,у) е(хду = е(х Р(х,у) ду. Отсюда, используя (1.40) и (1.41), получаем (1.39). > Замечание 1.6. Пусть замкнутая область П является правильной в направлении оси Ох и задана неравенствами с < у < е(, х1(у) < х < хя(у), где функции х1(у) и хя(у) непрерывны на отрезке [с, е(). Предположим, что существует двойной интеграл от функции 1(х,у) с областью интегрирования Р, а при каждом фиксированном у е [с, д) существует определенный интеграл хе(н) Из сказанного следует, что функция Р(х, у) в прямоугольнике Р удовлетворяет условиям теоремы 1.10.
Поэтому двойной интеграл от этой функции по прямоугольнику Р равен повторному: 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 50 Тогда л х2(я) | ~(х, у) дх ду = ду,|'(х, у) дх. (1.42) с х1(я) Это утверждение сводится к утверждению теоремы 1.11 про- стым переобозначением переменных. Дадим теперь геометрическую трактовку формул, сводящих двойной интеграл к повторному. Напомним, что объем У кубируемого щела, ограниченного в прямоугольной декартовой системе координат Охуя плоскостями х = а и х = Ь (а < Ь), можно найти по формуле [Ч1] Ь У = Я(х) дх, а (1.43) где Я(х) — площадь сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку с абсциссой х Е [а, Ь]. Применим (1.43) для вычисления объема «-цилиндрического тела Я, имеющего основанием замкнутую область Р, лежащую в плоскости хОу, а сверху ограниченного поверхностью, заданной уравнением я = 7'(х,у), где 7" (х,у)— неотрицательная функция, непрерывная в Р.
Пусть Р ограничена линиями, заданными уравнениями у = у~(х) и у = уз(х) (у1(х) < уг(х)), х Е [а, Ь] (рис. 1.7). Сечение тела Я плоскостью х = хе Е [а, Ь] представляет собой криволинейную трапецию АВСЕ. Ке ортогональной проекцией на плоскость уОг будет трапеция А'В'С'Е', площадь которой равна площади Я(хс) трапеции АВСЕ. Трапеция А'В'С'Е' ограничена отрезками прямых у = у1(хе) и у = уз(хе), осью Оу и линией, заданной уравнением л = Дхе,у), у Е [у1(хс), уз(хе)].
Поэтому в соответствии с геометрическим смыслом определен- 1.7. Вычисление двойного ввтегрееа Рис. 1.7 ного интеграла [УЦ уз(аа) Йио) = У(яо,у) Ф ю(аа) Это равенство справедливо для произвольной точки я Е [а, Ь). Поэтому после его подстановки в (1.43) получим Ь оа(а) (1.44) а я (е) Сравнивая правые части (1.39) и (1.44), приходим к выводу, что геометрический смысл сведения при помощи (1.39) двойного интеграла к повторному состоит в том, что объем кубируемого тела, выражаемого двойным интегралом, можно представить определенным интегралом от функции, отражающей зависимость площади сечения тела от той иэ координат, которая определяет положение секущей плоскости. В свою очередь, эту площадь в повторном интеграле представляет внутренний определенный интеграл.
Аналогично можно дать геометрическую интерпретацию сведения двойного интеграла к повторному при использовании (1.42). 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 52 Пример 1.5. Вычислим двойной интеграл от функции 1(л,у) = я~у~ по области интегриро- вания Р = [(л; д) Е Жз: л Е [О, 1], лз < д < 1~ . Область интегрирования Р является правильной в направлении оси Оу, причему1(х) =х и уз(х) гя1(рис.
1.8). Используя формулу (1.39), находим Рис. 1.8 1 1 1 х у ЙхсЬу= 11х л у 11у= -л у 1Ь= В о,з о о о Замечание 1.7. Для того чтобы при вычислении двойных интегралов применять теорему 1.11, необходимо область интегрирования Р двойного интеграла представлять в виде (1.38). Проще всего зто делать, исходя из геометрических соображений. Предположим, что замкнутая область Р является правильной в направлении оси Оу. Тогда значения а и Ь в (1.39) предстаиипот собой левый и правый концы отрезка, получающегося проектированием Р на ось Ох. Так как замкнутал область .0 правильная в направлении оси Оу, для произвольного значения хо Е [а, Ь] сечение Р вертикальной прлмой х = хе есть отрезок, причем нижний у1(ле) и верхний уз(ле) концы этого отрезка (также называемые точкой входа и точкой выхода) зависят от выбранного значения ле Е [а, Ь] и тем самым задают на [а, Ь] две функции 91(х) (функция входа) и уз(х) (функция выхода). Определенные описанным способом значения а, Ь и функции 91(л), уз(л) приводят к представлению замкнутой области .0 в виде (1.38).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
