VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 7
Текст из файла (страница 7)
53 1.7. Вычисление лиойного интеграле Замечание 1.8. Отметим, что в примере 1.5 область интегрирования правильная в направлении обеих координатных осей (см. рис. 1.8). Поэтому для вычисления двойного интеграла в этом примере можно было использовать формулу (1.42). В частности, область интегрирования можно представить в виде Р = 1(х; у) Е ж 1 у Е [О, Ц, О < х < ч/у~ . Используя (1.42), находим ~/У 1 х у савау= ду х у Йх= — х у Йу= П о о о 9/2 л 11/2 1 Г 1 2 2~1 2 3/ 3 11 о 33 о Замечание 1.9. Если двойной интеграл может быть сведен к повторному как при помощи (1.39), так и при помощи (1.42), то при решении конкретных задач следует выбирать более удобный путь. Например, при вычислении двойного интеграла от функции /(х, у) = 2х+ Зу по области интегрирования Р, ограниченной осью Ох и линиями х2+ уз = 1 и х — у = = 1 (рис, 1.9), можно применить и (1.39), и (1.42), поскольку область интегрирования Р является правильной в направлении обеих координатных осей.
Но нижняя граница Р состоит из двух участков (четверти окружности и отрезка прямой), опи- Рис. 1.9 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 54 сываемых разными уравнениями. Поэтому при использовании (1.39) приходится вычислять два повторных интеграла: О О 1 О | (2х+Зу) йха = ох (2х+ Зр) од+ ох (2х+ 39) ду. В -Л:Р В то же время применение Формулы (1.42) позволяет ограни- читься вычислением лишь одного повторного интеграла: О 1+в О (1+ 29+ рг+ 39+ Зу 1+ у~+ Зу1/1уг) оу— -1 (5 5 5 О 5 5 11 5 з+ „г (1 г)з(г~~ 1+ Помимо особенностей области интегрирования Р при представлении двойного интеграла повторным следует учитывать и сложность вычисления возникающего при этом внутреннего определенного интеграла.
Так, в примере 1.3 даже в случае прямоугольной области интегрирования выбранный вариант представления двойного интеграла повторным позволил упростить вычисление внутреннего интеграла. Замечание 1.10. Если область интегрирования Р не является правильной ни в направлении оси Ох, ни в направлении оси О ( ис. 1.10), то для сведения двойного интеграла к повторному область интегрирования Р следует разбить на час и ч ти так чтобы каждая из них была правильной хотя бы в направлении 55 1.7. Виеисееяие деойеого ивтегреее Рис.
1.10 одной из осей и позволяла применить (1.39) или (1.42). Тогда в силу аддитивности двойного интеграла он будет равен сумме двойных интегралов по каждой из частей. На рис. 1.10 представлен один из вариантов разбиения области интегрирования на три области, правильные в направлении оси Оу. Отметим, что выбор порядка переменных при преобразовании двойного интеграла в повторный может существенно повлиять на сложность вычислений. Пример 1.6.
Представим двойной интеграл от интегрируемой в Р функции У(х,р) повторным, если Р ограничена осью Оу и полуокружностями, заданными уравнениями х = =рр р — р =р" р — р (р . 1.11, 'р д Рис. 1.11 57 1.7. Вычисление двойного интеграла Рис. 1.12 вильной в направлении оси Ох (рис. 1.12) и может быть записана в виде Р = ((х; у) е 1чз: у е [ — 1, Ц, у — 1 ~( х (~ у ). Применяя формулу (1.42) представления двойного интеграла повторным, получаем 1 уе | 1(х,у)йхс1у = Йу,|(х,у)дх. В и-1 Чтобы использовать формулу (1.39), можно разбить область интегрирования Р на три части (см. рис..
) . 1.12) Р1 = 1(х; у) Е Ж' х Е [ — 2, 0), -1 < у < х+ 11; = ((,; у) Е 11: х Е [О, Ц, — 1 < у < — /х); Рз = 1(х;у) Е Ж" х Е [О, Ц, ч/х < у < Ц. В этом случае двойной интеграл по области интегрирования б дет представлен суммой трас повторных: У О е+1 | 1(х,у) Йхйу = Нх Дх,у) ду+ О -г 1 + сЬ Дх,у)ду+ сЬ ~(х,у)ду. о,д о 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 58 Замечание 1.11.
В примере 1.7 области интегрирования Рг и .02 симметричны относительно оси Ох. В некоторых случэлх это уместно испольэовать. Например, при вычислении площади области Р нет необходимости вычислять и площадь области Рг, и площадь области .0э, так как они равны. Однако в общем случае двойной интеграл по области Рг не равен двойному интегралу по области Рэ, поскольку подынтегральная функция может иметь разное поведение в симметричных областях. Это значит, что нельзя заменить сумму двойных интегралов по областям интегрирования Рг и Рэ, например, удвоенным интегралом по области Рэ.
Отметим еще один подобный момент. При вычислении площадей иногда удобно представить область интегрирования как разность двух областей. Например, площадь кольца естественно вычислять как разность площадей двух кругов, а не „лобовым" вычислением двойного интеграла, так как расстановка пределов интегрирования по кольцу требует разбиения кольца на четыре области интегрирования сложной конфигурации. Но этот способ непригоден в общем случае, так как подынтегральнэя функция может быть не определена вне заданной области интегрирования. Пример 1.8.
Поменяем порядок интегрирования в повторном интеграле 4 12э дх У(х, у) ду. С Зяг Этому повторному интегралу соответствует двойной интеграл с областью интегрирования .0 = ((х; у) Е 11к: х Е [О, 4), Зхг ( у < 12х) . Замкнутая область Р ограничена прямой у = 12х и параболой, заданной уравнением р = Зх (рис. 1.13). Прямая и парабола пересекаются в начале координат и в точке А(4;48). Поэтому 1.7. Вычвслевве двоввого ввтетрелв переменное у изменяется в пределах отрезка [О;48], а замкну- тую область Р можно также представить в виде Р = ((х; у) е м~: у е [О, 48], у/12 < х < ~/у(3).
Таким' образом, 4 12х яз 16/3 йх /(х, у) йу = йу /(х, у) йх. О Зве О в/12 Рис. 1.14 Рис. 1.13 Пример 1.9. Чтобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 2 Зе йх /(х,у)йу, О 2в область интегрирования (рис. 1.14) Р = ((х; у) Е Зе~: х Е [О, 2], 2х < у < Зх) необходимо разбить прямой у = 4 на две части Р1 = ((х; у) Е ж~: у Е [О, 4], у/3 < х < у/2); Р2 = ((х; у) Е 3~%: у Е [4, 6], у/3 < х < 2) . 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 60 В результате получим 2 Зя 4 О!2 О 2 | у( у) у у У( у) у У(~у) о г* о лаз 4 я/3 Пример 1.10. Рассмотрим повторный интеграл ~/4-у~ ИУ /(х,У)4Ь. О 24У2 Этому повторному интегралу соответствует двоинои интеграл с областью интегрирования Р = ( (х; у) Е К: у Е [О, 1], уг/2 < х < ~/4 — уг), которая ограничена прямыми у = О, у = 1 и дугами параболы гг и окружности, заданными уравнениями х = у /2 и х = -/4 — уг (рис.
1.15). Для смены порядка интегрирования в повторном интеграле разобьем Ю прямыми х = 1/2 и х = ~ГЗ на три части Ю1 — — ((х; У) Е И~: х Е [О, 1/2], 0 < у < ~/2хх); Рг = ((х; У) Е 112: х Е [1/2, ~ГЗ], О < У < 1~; Пз — -((х;у) ЕК' х Е [~/З,2], 0< у(~ ~/4 — хг|.
Рис. 1.1б 61 1.7. Вычисление Лаойиого иитеграла В итоге приходим к трем повторным интегралам: Ч/4 Ох 1/2 Я хи Ф Лх,р) ~* = 1* Ях р) 19 + о 0272 о Л 2 ч'4 — х~ + 11х 1(х,Я Я+ 11х Ях,р) 19. 172 о чз о П 1,11. Вычислим двойной интеграл от функции ример 7(х~у) =х р ~ р ) — и 1 о 1 >1 д>1 по области интегрирования.0, заданной неравенствами х > О, р > 0 и х+ у < 1 (рис. 1.16).
Для сведения этого интеграла к повторному при помощи (1.39) область интегрирования представим в виде Р = 1(х; р) Е К: х Е [О, 1], 0 ( у ( 1 — х) и затем найдем Рис. 1.16 1 1-х Г 1уо 41 сну= хР 141х уо 1419= о о Д 1 — х" (1 — х)0~Ь = -В(р,о+1), Ч о где (р,д г В(р, + 1) — бе1ва-~6унжцил эйлера. используя формулу Эйлера В(а,В) =, а>О, ~3>О, Г(а+ф) ' 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ связывающую бета-функцию и гамма-функцию, и учитывая, что для гамма-функции Г(у+ 1) = дГ(д), приходим к формуле Дирихле* | Г(р)Г® Г(р+д+Ц' 1.8.
Криволинейные координаты на плоскости Пусть в области С' С И~ заданы функции х = х(и,о), у = у(и,и), (и;е) Е С, (1.45) осуществляющие отображение области С* на область .0' С й~. Предположим, что зто отображение удовлетворяет следующим условиям. 1. Отображение (1А5) является биенииеб (т.е. взаимно однозначно) и имеет обратпное отпображение и = и(х,у), и = е(х,у), (х;у) Е 11'. (1.46) 2. Функции х(и,и), у(и,и) непрерывно дифференцируемы в С', причем лнобиан отображения (1.45) дх дх дм дх ду ду дн дх В(х, у) В(и, е) (1.47) 'Н.Г.Л. Дирихле (1808-1889) — немецкий математик. отличен от нуля в каждой точке (и;и) Е С.
Второе условие означает, что якобиан отображения в силу непрерывности частных производных функций х(и,и) и у(и, е) в области 6* сохраняет в 6* знак. По теореме об обра1пноб функции обратное отображение (1.46) также непрерывно дифференцируемо и имеет ненулевой якобиан. 1.8. Криволинейные координаты на нлосности 63 Рассмотрим замкнутую область С с С' и ее образ Р С Р* при отображении (1.45). В силу непрерывности прямого (1.45) и обратного (1.46) отображений множество Р замкнуто.
Кроме того, между вкутреккостью 1пФС мкохсества С и внутренностью АР множества Р отображение (1.45) устанавливает взаимно однозначное соответствие. Множество АР, как непрерывный образ линейно связного множества 1пьС [Ч), ликейко связка, т.е. ш'1Р— область. Каждая точка множества Р является предельной точкой его внутренности 1шР. Действительно, пусть (хв,уе) Е Р. Выберем произвольную окрестность $~ С .Р* этой точки. Прообраз $' при отображении (1.45) — это окрестность ХХ с С* точки (кв, ив) Е С, являющейся прообразом точки (хо; уо) Е Р. Так как С вЂ” замкнутая область, в окрестности ХХ есть внутренние точки множества С.
Им соответствуют точки в У, внутренние для множества Р. Все сказанное означает, что множество Р— замкнутая область. Аналогично можно показать, что образ замкнутой области в Р* при отображении (1.46) есть замкнутая область в С'. Таким образом, отображение (1.45) устанавливает взаимно однозначное соответствие между замкнутыми областями в С' и замкнутыми областями в Р*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
