VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Задача о вычислении массы тела Пусть дано некоторое материальное тело, занимающее в пространстве замкнутую область Я и имеющее неоднородное распределение массы по своему объему. Это распределение в прямоугольной декартовой системе координат Охуз характеризуетсл функцией плотности р(х,р,х) трех переменных. Двя нахождения массы т материального тела разобьем замкнутую область Я произвольным образом на и частичных областей Я;, 9' = 1,о, объем каждой из которых обозначим ЬЪ!.
Выберем в каждой частичной области Я! произвольную точку ®;!баб!"„) Е ф, 1 = 1,п,и приближенно примем,что в пределах ц! плотность тела постоянна и равна р(5,ц;,!,4). Тогда масса частичной области.Щ будет Ьт! - р®,щ,4,!)ЬЦ, а для массы всего тела получим приближенное равенство (2.1) 4 — 9!00 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ясно, что формула (2.1) тем точнее, чем меньше размеры каждой из частичных областей Щ.
За точное значение массы рассматриваемого тела можно принять предел, к которому стремится правая часть формулы (2.1) при стремлении к нулю наибольшего диаметра а' из диаметров 4 частичных областей ©, 1 = 1, и, т.е. (2.2) Итак, задача вычисления массы материального тела привела к конструкции, очень похожей на двойной интеграл. Отличие лишь в том, что рассматривается замкнутая область не на плоскости, а в пространстве, а плотность зависит не от двух переменных, а от трех. 2.2. Определение тройного интеграла Напомним вначале, что тело называют кубвруемььи, если точная верхняя грань У* множества объемов всех включенных в это тело многогранников равна точной нижней грани К множества объемов всех многогранников, включающих в себя данное тело, причем число К = Ъ'* = У„и называют объемом шела.
Для кубируемости тела 1е С Кз необходимо и достаточно, чтобы для любого е ) 0 нашлись такие два многогранника Я1 и Яз с объемами 71 и $'1 соответственно, что 1Е1 С 1Е С Яз и Ъг — $~~ ( е [У1]. Далее под теслом будем понимать ограниченную замкнутую область в пространстве, а кубируемое тело будем также называть иубаруемоб замкнутой областью. Будем говорить, что некоторое множество в Кз, в частности кривая или поверхность, является мможесгавом объема нуль, если его можно заключить внутрь многогранника сколь угодно малого объема. Используя зто понятие, приведенный выше критерий кубируемости тела можно сформулировать 99 2.2.
Определевве тройвого ввтегрелв Я(Т) ='~ ,'И;,т,,~дЬУт (2.3) функции у(х,у,л). Таким образом, интегральная сумма определяется разбиением Т и набором точек ф;ц;; т,;) в частичных областях разбиения. Функцию у(х,у,я) называют интеерируемой утунниией в кубируемой замкнутой области Я Е Кз, если существует конечный предел 1 ее интегральных сумм Б(Т), т.е. если для любого числа е > О существует такое число б = 6(е) > О, что для любого разбиения Т = Ят, ..., Щд) замкнутой области Я иначе: для кубируемости ограниченной замкнутой области необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела объем нуль. Важным классом кубируемых замкнутых областей являются те, которые ограничены конечным числом гладких поверхностей. Множество точек, принадлежащих таким поверхностям, имеет объем нуль.
Напомним, что поверхность называют гладкой, если в каждой ее точке определен единичный вектор нормали к поверхности, непрерывно меняющийся от точки к точке. Далее будем рассматривать только гладкие и кусочно гладкие поверхности. Отметим, что для объема пространственной замкнутой области (как и для площади плоской замкнутой области) справедливы свойства неотрииательности, монотонности, аддитивностпи и инвариантпности (см. 1.2). Пусть в некоторой кубируемой замкнутой области Я в пространстве с прямоугольной системой координат Охуя определена ограниченная функция у (х, ут я).
Рассмотрим разбиение Т = Ят, ..., ф,) замкнутой области Я на частичные областпи Щ, т' = 1, н, каждвл нз которых имеет объем ЬУ; > О и диаметр Ы;. Наибольший из диаметров 4, как и в плоском случае, назовем диаметром разбиения Т и обозначим д(Т). В каждой частичной области Щ выберем произвольную точку (6'тамб~'). Значение фУнкции У ®, О; т т,;) Умножим на объем таУт и составим интегральную сумму 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ОО с диаметром Ы(Т) < д(е) и любого выбора точек ф;тр;;~;) е Ч; для соответствующей интегральной суммы Б(Т) выполняется неравенство ф(Т) — 1~ < е. При этом конечный предел 1 интегральных сумм называют тройным интегралом от функции 1(х,у,я) по замкнутой области Я и обозначают 1= 1(х,у,х)Йхйуйх= Дх,у,х)НК Я Итак, резюмируя, можно записать | | У(*,у, )И ЮРЫ = 1 ~У(й,ч,(;)ЬГ.
(2.4) 6(т) — ьо 1 0 Как и в плоском случае, замкнутую область Я будем называть областью интеерироеания. Задача вычисления массы тела (см. 2.1) показывает, что при 1(х,у,х) > О, (х;у;х) Е Я, тройной интеграл можно интерпретировать как массу неоднородного тела с плотностью Конечный предел интегральных сумм вида (2.3) может существовать только для ограниченных функции. Но, как и в случае функций одного и двух действительных переменных, не всякая ограниченная в замкнутой пространственной области функция интегрируема в ней.
Чтобы сформулировать условия интегрируемости функций (условия существования тройного интеграла), как и в случае двойного интеграла, для функции Дх, у, х) при заданном разбиении Т кубируемой замкнутой области Я введем нижнюю и верхнюю суммы Дарбу н В Б(Т) = Етв У4, Б(Т) ='Емъть, в=1 М1 и М вЂ” точная нижняя и точная верхняя грани этои где т; и ; — т ф частичной области ф, й = 1, п. Свойства сумм Дарфункциив частично" бу, сформулированные для функции двух переменных (см. 1.3), 1О1 2.2.
Определевие тройвого ивтеграае можно дословно перенести на случай трех переменных. Эти свойства приводят к следующему нрнтперню сдтцестпвованнл тпрот1нозо интпеертьли Теорема 2.1. Для того чтобы ограниченная в кубируемой замкнутой области Я С Кз функция у(х,у,в) была интегрируемой в Я, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлось такое разбиение Т = Ям ..., Я„) замкнутой области ф что соответствующие этому разбиению суммы Дарбу будут удовлетворять условию Б(Т) — Б(Т) ( с. С помощью этого критерия можно установить некоторые классы интегрируемых функций.
Теорема 2.2. Всякая непрерывная в кубируемой замкнутой области Я С К функция У(я, у, л) интегрируема в ней. Теорема 2.3. Если функция ~(я,д,в) ограничена в кубируемой замкнутой области Ч С Из и непрерывна в Я всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек объема нуль, то эта функция интегрируема в Я.
Теорема 2,4. Если ограниченные в кубируемой замкнутой области Я~Кз функции1(яд,в) ид(яд,в) отличаются друг от друга только на множестве объема нуль, то интегрируемость в Я одной из них равносильна интегрируемости другой, причем | У(я,д,я)тЬНдеЬ = д(х,д,в)Йхйуйх. 9 Я Функции трех переменных (как и функции одного и двух переменных), интегрируемые в замкнутои области О С К, обладают следующими свойствами.
1. Произведение интегрируемых в Я функций Дх,дтл) и д(х,д,в) является интегрируемым в Я. 2. Если функция д(х, д, л) интегрируема в Я и удовлетворяет условию (д(и,д,з)~ > с > О, (х;д;в) е ф то функция 1/д(х,д,я) также интегрируема в Я. 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.3. Свойства тройного интеграла 102 Поскольку свойства тройных пювегралов аналогичны свойствам двобиых и~тегриаов (см. 1.5), ограничимся лишь их перечислением. 1'.
Если 9 С Йз — кубируемзя замкнутая область объема У,то (2.5) 2'. Если функции Дх,у,я) и д(х,у,я) интегрируемы в Я, то их линейная комбинация ау (х, у, х) + ~Зд(х, у, я) с произвольными константами а и ~3 также интегрируема в Я, причем (аДх,у,х)+ ~3д(х,у,х)) дУ = = о Дх,у,я) дУ+,8 д(х,у,я) ИУ. (2.6) Это свойство называют ли~ейносгпью гпройного импзеграла. Отметим, что равенство (2.6) можно распространить на любое конечное число интегрируемых функций.
у(х,у,х)дУ = у(х,у,х)дУ+ Дх,у,х)ИУ. (2.7) 3'. Если функция Дх, у, х) интегрируема в Я, то для любой кубируемой замкнутой подобласти Я' С Я функция у(х,у,я) интегрируема как в Я', так и в Я ~ (7. 4'. Если функция у(х,у, г) интегрируема в замкнутых областях Я1 и Яг, то она интегрируема и в их объединении Я = Я1 О Яз, причем если замкнутые области Я1 и Яз не имеют обших внутренних точек, то г.З.Св - тр Ъ р Свойство 4' называют аддигпиеносгпью тпройиого интеграла. Это свойство, как и соответствующее свойство двойного интеграла, можно распространить на любое конечное число замкнутых областей.
5'. Если функция Дх,д,з) интегрируема в Я и Дх,д,з) > О, (х;дха) Е ф то | у(х,д,з)дУ > О. (2.8) Я 6'. Если функции Дх,д,я) и д(х,у,х) интегрируемы в Я и 7(х,д,з) < д(х,д,х), (х;д;з) б Я, то | Дх,у,х)~Л~ < д(х,д,з)ИУ. (2.9) О Я 7'. Если функция Дх,д,я) интегрируема в Я, то функция ~Дх,д,з)~ также интегрируема в Я, причем Свойство 7' часто называют овеоремоб об оиеиие шройного иипьегрола по моду~ио. 8'. Если функции Дх,д, з) и д(х,д,х) интегрируемы в ч и удовлет овлетворяют в Я неравенствам т < Дх,у,х) < М и д(х,д,л) > >О, то тп д(х,д,з)сЛ1 < ~(х,д,з)д(х,у,х)Ж1 < Я <М д(х,д,з)ИУ. (2.11) Отметим, что если в сформулированном утверждении условие неотрицательности функции д(х,у,л) заменить условием ее неположительности, то неравенства (2.11) модифицируются 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 104 следующим образом: М д(х,у>я)а'««' < Дх,у>я)д(х,у>я)«Ь'<т д(х,у>я)аК Свойство 8' в частном случае, когда д(х,у>я) = 1 в Я, приводит к неравенствам тУ < Дх,у,я) «Л1 < МК (2.12) где У вЂ” объем замкнутой области Я.
В таком виде свойство 8' иногда называют теоремой об оценне тройноео инте- грала. 9'. Если функция |(х,у>я) непрерывна в кубируемой замкнутой области Я, являющейся линейно связным множеством, а функция д(х, у, я) интегрируема и знакопостоянна в Я, то существует такая точка (хо|уо, яо) Е Я, что | Цх,у>я)д(х,у,я)<П = ~(хо>уо>яо) д(х,у>я)ИК (2.13) «2 «2 Свойство 9' является аналогом соответствующего свойства двойного интеграла (см. теорему 1.9). 10'. Если функция |(х,у>я) непрерывна в кубируемой замкнутой области Я, являющейся линейно связным множеством, то | 1(х> у>я) «Л~ =,«(хе> уе>хе) К «'« (2.14) где (хе,уе, .ле) — некоторая точка области Я.
Свойство 10', аналогичное соответствующему свойству для двойного интеграла (см. теорему 1.8), называют теоремой о среднем значеннн длл тройноео ннпзеерала, а значение 105 2Л. Вычисление тройлого илгвгрвла У(хо,уо,хо) в правой части равенства (2.14) — средиплв знпчениелв функции ~(х,у,х) в Я. Равенству (2.14) можно придать физическое толкование, связав его с задачей о вычислении массы неоднородного тела (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
