VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если точка расположена внутри шара («о < В), то сила притяжения точки шаром не зависит от радиуса В шара и по величине равна силе притяжения шаром радиуса «о, на поверхности которого точка находится. Это связано с тем, что полый однородный шар (т.е. тело, заключен- х. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 148 ное между двумя концентрическими сферами) не притягивает материальную точку, находящуюся внутри его или на его внутренней поверхности. Пример 2.19. Используем сферические координаты для вычисления силы, с которой материальная точка массой гпд притягивается однородным шаром Я, имеющим радиус Л и массу гп.
Как и в примере 2.18, прямоугольную систему координат Охуг выберем так, чтобы центр шара попал в начало координат, а точка Мд — на ось Ох с аппликатой хд ) О. Учитывая, Зпв что плотность шара постоянна и равна р = — „и переходя в третьем равенстве (2.47) при хд = уд = О к сферическим координатам, получаем тдгп Г Г Г (гсов — хд) г~ вшВйгВВсйр р, =за д~ 4яВО / / / (гх + хх — 2хдг сов В)ОГз Я шдт Г х Г (гсов — хд)вшВВВ ~Ггх йг ~~ 2ВО /,/ (гх+хх — 2хдгсовВ)ОГО О О Используем замену совВ = 4 (при этом — вшВВВ = сй) и проин- тегрируем внутренний интеграл по частям: х — 1 / (гсовд — хд) вшВМВ Г (г1 — хд) <й / (гх+ хдх — 2хдгсовВ)вlх .I (гх+ хдз — 2хдгФ)ЮО О 1 — 1 г4-хд / й + ~/ + з~-2 Ф3~ 3 .~-~ — 2 1 О 1 -1 — ~хгхЛ -ь2, ~ гхд!хд+ г~ хдФΠ— г! хдг ХО+ Г Хд — Г хдх!хд+ г! фхд — г! Воирооы и задачи Если точка Ме находится вне шара, т.е. хо > В > г, то 1(т) = 2 — После подстановки значения интеграла 1Я в (2.48) зо находим Я 0 что совпадает с результатом, полученным в примере 2.18.
Если же точка Ме расположена внутри шара (т.е. хе < В), то зо | г 1ЯЙг = г 1(г)Й" + г 1ЯЙг = 0 0 оо оа хо 0 2гз оо 2 в ~0 3 лез 0 3 и в соответствии с (2.48) Р, = -Споеовге/Вз, что совпадает с результатом примера 2.18. Вопросы и задачи 2.1. Проинтегрировать функции по тетраэдру, ограниченному координатными плоскостями и плоскостью х+у+х = 1 (см. рис. 2.3). 2.2. Найти координаты центра масс однородного тела, имеющего форму тетраэдра (см. задачу 2.1).
2.3. Вычислить тройной интеграл от функции Дх,у, х) = г по следующим областям интегрирования: а) замкнуты область, ограниченная эллипсоидом х~/а~+ + уз/Ь~ + я~/02 = 1 и плоскостью я = О (х > О); 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 и 2 б) замкнутая область, ограниченная конусом х2 = — (хз+дз) Ы и плоскостью г = Ь, Ь > О; в) замкнутая область, ограниченная координатными плоскостями и плоскостями д = Ь и х + я = а, Ь, а > 0 (призма). 2.4. Найти координаты центра масс однородных тел, занимающих замкнутые области, указанные в задаче 2.3. 2.5. Вычислить интеграл от функции 2 2 2 у(х,д,я) = — + — +— ог ь2 2 по области интегрирования Р, которая ограничена поверхностью у(х,д,л) = 1.
В области Р найти среднее значение функции д(,ю, )= РОТ а,*) 2 6. Найти среднее значение функции Дх д, г) = х2+ д2+ гз в замкнутой области ~(х,д,г) < х+д+ г. 2.7. Проинтегрировать функцию ~(х,д,л) = яв по замкнутой области, являющейся общей частью двух шаров х + д2+ +22 < Д2 и 2+д2+22 < 2рю 2.8. Вычислить интеграл от функции Дх, д, х) = (х+ д+ х)2 по замкнутой области, ограниченной поверхностями х + д2— — 2аг = 0 и х2+ д2+ г2 = Заз, а > О, и расположенной внутри параболоида.
Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего зту замкнутую область. 2.9. Вычислить интеграл от функции Дх, д, г) = х2+ д2+ г2 по замкнутой области, ограниченной поверхностями дз+ я~в — х2 = 0 и х + д2+ яв = В~ (рассмотреть ту кз областей внутри конуса, для которой х > 0). Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего зту замкнутую область. 2.10.
Проинтегрировать функцию ~(х, д, л) = ~ по замкну- ~/Б той области, расположенной в первом октанте и ограниченной Вопросы и задачи плоскостями х = О, д = О, я = с, с > О, и поверхностью я~/а~ + +у~/оэ †/с~ = О. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего эту замкнутую область. 2.11. Представить с помощью двойных интегралов моменты инерции и статические моменты я-цилиндрического тела, ограниченного поверхностями я = /(д,я) и х = д(д,я), где /(д,г) и д(д,я) — непрерывные в плоской замкнутой области Р функции, для которых д(д,л) < /(д,л), (дся) Е Р. 2.12. Найти массу квадратной пластины Р со стороной а, если поверхностная плотность ря(х,д) пластины в каждой точке (я;д) Е Р пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и равна ро в его центре.
2.13. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородного тела плотностью ро = сопвФ, ограниченного торовой поверхностью, полученной вращением относительно оси Оз окружности, заданной уравнением (д — В)~+я~ = а~, О < а < В. 2. 14. Двв шара имеют одинаковые радиус В и массу пч, причем плотность первого пропорциональна квадрату расстояния от центра шара, а плотность второго — кубу. Расстояние между центрами шаров составляет Ь > 2В. В каком положении должна находиться материальная точка, чтобы онв не притягивалвсь системой этих двух шаров? 2.15.
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями яз + д~ = а~, яз + «з = Ьз и яз = д~ + л~, О < 6 < а (рвссмотреть ту из областей внутри конуса, для которой х > О). 2,16. Используя обобщенные сферические координаты, вычислить объем тела, ограниченного поверхностью (я/а)~/з + „(д/б) з/3 „(,/с)зР 1 о б с > О 2.17. Используя обобщенные сферические координаты, найти координаты центра масс и моменты инерции относительно 2.
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 152 координатных плоскостей однородного тела плотностью ре = = сопеФ, занимающего замкнутую область в первом октанте и ограниченного поверхностью с 2 уз «2~2 хух — + — + — = —, а,Ь,с>0. аз Ь2 сз) аЬс' 2.18. Однородный цилиндрический брус Я имеет в основании плоскую фигуру Р, а сверху ограничен произвольной плоскостью Р. Доказать, что объем У этого бруса равен произведению площади Я его основания на длину Ь перпендикуляра к основанию, проходящего через центр масс бруса до пересечения с плоскостью Р.
2.19. Доказать, что если Р— плоская фигура, а Ох и О'х'— две параллельные оси в плоскости фигуры Р, первая из которых проходит через центр масс фигуры Р, а вторая находится от первой на расстоянии Ь, то моменты инерции Х и 1 ~ фигуры относительно этих осей связаны равенством 1 = 1 + та2, где т — масса фигуры Р. 2.20. Найти геометрический центр масс тела, ограниченного цилиндром х2 + у2 = а2 и плоскостями х = О, г = = уФ~а, где 0 < а < х/2 (рис. 2.19).
2.21. Найти геометрический момент инерции кругового цилиндра радиуса а и высоты 6 относительно произвольной плоскости, проходящей через его ось симметрии. Рис. 2.19 2.22. Найти геометрический момент инерции зллипсоида х2 22 х2 — + — + — = 1. а~ Ь~ с~ 2.23. Найти геометрический центр масс кругового сектора радиуса В, имеющего центральный угол 2а. 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Двойные и тройные интегралы очень похожи, и их можно объединить в одной теории, распространив ее на случай линейного арифметического пространства произвольной размерности. Такая теория не только подчеркивает близость двойных и тройных интегралов, но и в некоторых случаях полезна при решении прикладных задач.
3.1. Мера 2Кордана Пусть два набора чисел а; и Ь; удовлетворяют неравенствам а; < Ь;, 1=1, н. Множество Х = [аы Ь1] х ... х [а„, Ц = = ((хы ..., я„) Е 1х": к; Е [а;, Ь,), 1=1,н) р(Х) = Ц(Ь, — а;). (3.1) Заметим, что если промежуток Х является вырожденным, т.е. равенство а; = Ь; верно по крайней мере для одного индекса 1, то мера такого промежутка равна нулю. будем называть и-мернььм нромежу~тисом или просто нромежупиеом.
При и = 1 промежутком является отрезок числовой прямой, при н = 2 — прямоугольник на плоскости, а при п = 3 — прямоугольный параллелепипед в трехмерном пространстве. Обобщая понятие длины отрезка, площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда, меру о-мерного промеиеутпна Х = [аы Ь1] х ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
