VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1 (х) ее А. Тогда все интегральные суммы имеют одинаковое значение, не зависящее ни от разбиения множества .Р, ни от выбора точек в частичных множествах этого разбиения. Действительно, используя свойство аддитивности меры, для произвольного разбиения Т = (Рм ..., Ру~ и произвольного набора точек (,у б Р получаем Очевидно, что в данном случае существует предел интегральных сумм, равный Ар(Р). Это можно резюмировать следующим образом: функция, постоянная на измеримом множестве, интегрируема на этом множестве. Отметим, что такие функции позволяют выразить меру с помощью кратного интеграла: р(Р) — дх. В Пример 3.4. На множестве Р С и" меры нуль интегрируемой является любая функция, причем кратный интеграл от 3.2.
Ивтетрае по взмерямому множеству 167 функции по множеству Р равен нулю. Действительно, для любого разбиения Т = (Р1, ..., Рж) множества Р имеем р(РХ) = = О, так как все частичные множества являются подмножества ми меры нуль. Поэтому для функции Х(х), определенной на множестве Р, при любом выборе точек ~ Е Р имеем Теорема 3.2. Если действительная функция Х(х) интегрируема на измеримом множестве Р С К", являющемся замкнутой областью в Ж", то она ограничена на этом множестве.
~ Согласно определению интегрируемости функции, для любого е ) 0 существует такое 6 ) О, что для любого разбиения Т = 1Р1, ..., Рж) множества Р диаметра е)(Т) < б и для любого набора точек ~ Е РХ, у =1, М, имеем ф(Т) — 1~ <е, где 1в значение кратного интеграла от функции Х(х) по множеству Р. Разбиение Т можно выбрать так, что составляющие его частичные множества Р будут замкнутыми областями. Далее доказательство повторяет доказательство теоремы 1.2. ь Ограниченность функции в замкнутой области — лишь необходимое условие ее интегрируемости, но вовсе не достаточное. Это видно уже на примере двойных интегралов (см.
замечание 1.1). Отметим, что если измеримое множество Р не является замкнутой областью, то интегрируемая на Р функция может быть и неограниченной. Например, если Р С 1к~ представляет собой объединение круга х~1 + х~з < 1 и отрезка 1 < х1 < 2, хг = О, то функция Дхмхз) = (х1 — 2) ~ интегрируема на Р, так как она интегрируема на компактном множестве хз1 + хз < 1 в силу своей непрерывности на нем и интегрнруема на отрезке 1 < х1 < 2, хз = О, имеющем меру нуль. Однако эта функция не ограничена на .Р. 168 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3.3. Суммы Дарбу и критерии иитегрируемости функции Чтобы выяснить, является ли данная функция интегрируемой на данном множестве, нужны какие-либо критерии интегрируемости (или критерии существования кратного интеграла).
Для формулирования таких критериев мы построим теорию, аналогичную теории Дарбу для определенного интеграла, которая базируется на понятиях суммы Дарбу и интеграла Дарбу. Теория Дарбу для кратного интеграла мало отличается от ее аналога для определенного интеграла.
Поэтому мы ограничимся лишь кратким ее изложением. Будем предполагать, что рассматриваемые функции удовлетворяют необходимому условию интегрируемости, т.е. являются ограниченными на рассматриваемом множестве. Рассмотрим ограниченную скалярную функцию ~(х), определенную на измеримом множестве .Р С И". Обозначим через Т множество всех разбиений множества Р. Пусть Т = = (Р1, ..., Рн) — некоторое фиксированное разбиение множества Р. Обозначим через М и гп точные верхнюю и нижнюю грани функции ~(х) на часгпичном множестпве Р, т.е.
М = впр Дх), гп = 1п1 Дх), вепв веов Отметим, что разность о~1 = М вЂ” п~ представляет собой колебание функция на множестве Р1. Суммы Б(Т) = ~ Мзр(Р1) и Б(Т) = Я тавр(Р1) (3.14) называют соответственно верхней и нижней суммамн Дарбу функции у(х) на множестве Р, соответствующими разбиению Т. Очевидно, что для данного разбиения Т и любой интегральной сумам Б(Т), отвечающей этому разбиению, верны 3.3. Суммы Дербу и критерии иитегрируемости фуикиии 169 неравенства Я(Т) < Я(Т) < Я(Т). (3.15) Суммы Дарбу могут и не быть интегральными суммами, так как точные верхние грани М.
и точные нижние грани т функции на частичных множествах разбиения могут и не достигаться. Однако, как и в случае определенного интеграла„нижняя Я(Т) и верхняя Я(Т) суммы Дарбу являются соответственно точной нижней и точной верхней гранями множества интегральных сумм, отвечающих заданному разбиению Т. В самом деле, рассмотрим, например, верхнюю сумму Дарбу Я(Т), отвечающую разбиению Т = (Рм ..., Ри~. На каждом частичном множестве Р можно выбрать такую точку (~, что будет выполнятьсл неравенство Д(.) > М вЂ” —. Тогда для интегральной рР) суммы, соответствующей разбиению Т и выбранному набору точек 4т, имеем Я(Т) = ) 1К~)Р(РХ) ~ Я~~Х (р)) р(РХ) = Му(РХ) — ~~ р(РХ) = Я(Т) — и.
р(Р) Х, Полученное неравенство в сочетании с (3.15) и доказывает, что Я(Т) является точной верхней гранью множества всех интегральных сумм, отвечающих разбиению Т. Введем два понятия, относящиеся к разбиениям. Если два разбиения Т = (Х1м ..., Ру~ и Т' = Щ, ..., Рм) измеримого множества Р С И" таковы, что каждое частичное множество Р разбиения Т является либо элементом разбиения Т', либо объединением нескольких элементов Т', то разбиение Т' называют пзмельчеитеем разбиения Т. Для двухразбиений Т=(Р1, ..., Ры) и Т'=(Р'„, ..., Р„'~ измеримого множества Р С К" можно построить новое разбиение Т", частичными множествами которого являются всевозможные непустые пересечения вида Р П Р~ь.
Такое разбиение 170 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лемма 3.3. Если разбиение Т' измеримого множества Р С С К" является измельчением разбиения Т этого же множества, то 8(Т) < И(Т') < Я(Т') < Я(Т). (3.16) М Доказательство этого утверждения, по существу, не отлича- ется от доказательства аналогичного утверждения для опреде- ленного интеграла. 9 Лемма 3.4. Для любых двух разбиений Т' и Т" измеримого множества Р С Ж" верны неравенства Я(Т') < З(Т"), (3.17) т.е. любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любую верхнюю сумму Дарбу.
~ Пусть разбиение Т есть объединение разбиений Т' и Т". Поскольку Т является измельчением как разбиения Т', так и разбиения Т", то в силу леммы 3.3 получаем Я(Т') < Я(Т) < Я(Т) < Я(тл). Согласно лемме 3.4, для измеримого множества Р С ж" и ограниченной на Р функции Х'(х) множество нижних сумм Дарбу, соответствующих различным разбиениям множества Р, ограничено сверху и потому имеет точную верхнюю грань Х, = зпрЯ(Т).
ТЕТ Аналогично множество всех верхних сумм Дарбу, соответству- ющих всевозможным разбиениям множества Р, ограничено снизу и имеет точную нижнюю грань 1* = 1пХ Я(Т). тет (3.18) называют объединением разбиений Т и Т'. Отметим, что разбиение Т" является взмельчением и разбиения Т, и разбие- ния Т'. 3.3. Суммы Дарбу и критерии иитегрируемости фуикции 171 Числа 1, и Г" называют соответственно нижним и верхним онпьеаралами Дарбр от функции Дх) по множеству Р.
Эти числа связаны неравенством 1„< 1*, так как, согласно лемме 3.4, любая верхнял сумма Дарбу является верхней гранью множества нижних сумм Дарбу, а потому больше или равна точной верхней грани этого множества, т.е. числа 1,. Следовательно, число 1, является нижней гранью множества всех верхних сумм Дарбу и не превосходит точной нижней грани этого множества, т.е. числа 1*.
Оказывается, что, как и в случае определенного интеграла, верхний и нижний интегралы Дарбу являются пределами верхних и нижних сумм Дарбу при стремлении к нулю диаметра разбиения. Доказательство этого составляет важнейшую часть теории Дарбу, причем в многомерном случае оно заметно сложнее, чем в одномерном. Но прежде чем формулировать и доказывать подобное утверждение, докажем одно вспомогательное утверждение.
Напомним, что расспъо*ноем между множеспьвами Р и С в В" называют точную нижнюю грань множества расстояний между парами точек х Е Р и у Е О, т.е. р(Р,С) = шГ (х — р~. Расстояние между множествами Р и 0 может не достигаться. Например, расстояние между графиком функции у = е* и прямой у = 0 равно нулю, так как расстояние между точка ми (х; е*) и (х; О), расположенными соответственно на графике функции р = еи и на прямой р = О, стремится к нулю при х -+ -со. В то же время расстояние между точкой графика и точкой прямой не может быть равно нулю, так как два множества не пересекаются.
Тем не менее в отдельных случалх расстояние между множествами достигается на некоторой паре точек. В таких случаях отсутствие у двух множеств общих точек равносильно тому, что расстояние между этими множествами положительно. 172 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лемма 3.5. Если множество Р С й" замкнуто, а множество С с К" компактно, причем Р й С = ю, то р(Р, С) > О. ~ Выберем произвольную точку у Е С.
Эта точка не принадлежит множеству Р и не является предельной точкой Р. Поэтому сУществУет окРестность Уя —— (» Е 2": ~» — У~ < б(У)1 этой точки, которая не содержит точек множества Р. Совокупность открытых множеств Уя — — (» е С: ~» — у~ < 0(у)/2) образует покрытие компакта С. Согласно определению компакта, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие Ую, ..., У„ Положим и докажем, что р(Р,С) > д/2. Произвольная точка у Е С попадает в одно из множеств У„„.
Это значит, что ~у — уь~ < Б(дь)/2. Но тогда для любой точки х, для которой ~х — у~ < 8/2, заключаем, что т.е. точка х попадает в окрестность Уд„точки уь и, согласно выбору окрестности У„„не принадлежит множеству Р. Таким образом, для любой точки х Е Р выполняется неравенство ~х — у~ > б/2. Поскольку точка у Е С выбиралась произвольно, можем утверждать, что р(Р,С) > Б/2 > О.
> Теорема 3.3 (лемма Дарбр). Для произвольного измеримого множества Р С й" и любой ограниченной на Р функции 1(х) верны равенства 1* = 1пп Б(Т), л~~)-ье где й(Т) — диаметпр разбиения Т множества Р. ~ Доказательство проведем для верхнего интеграла Дарбу 1', доказательство утверждения для нижнего интеграла Дарбу 3.3. Суммы Дерсу и критерии иитегрируемоети функции 173 аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
