VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Можно попьггаться заменить произвольную замкнутую область П" с криволинейной границей объединением таких типовых фигур, но такое приближение весьма грубое. Более гибкой фигурой в этом отношении являются треугольники различных размеров и формы. Чтобы заменить замкнутую область с криволинейной границей объединением некоторого набора треугольников, сначала необходимо аппроксимировать границу замкнутой области ломаной, заменяя тем самым замкнутую область некоторым многоугольником, а затем выполнить трианауалпюо этого мнозоугольника, разбивая его на 'Смо Коююеюоею В.В., Мюром ХХ.А. 228 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ некоторое множество треугольников.
Приближенную замену плоской замкнутой области Р' конечным набором треугольников будем называть трианеуллцией залткнутпот2 областпи Р. Триангуляцию замкнутой области широко используют в различных приближенных методах, в том числе в методе конечных элементпов.
В этом методе треугольники являются одним из типов конечных элементов. В пределах каждого отдельно взятого треугольного элемента строят многочлен двух переменных, принимающий в узлах, расположенных определенным образом, заданные или искомые значения функции. Степень многочлена зависит от числа выбранных узлов. Рассмотрим сначала простейший случай треугольного элемента Рд с узлами Мь(хь, уь) Е Рд, к = 1, 2, 3, в его вершинах и заданными в этих узлах значениями ~ь = У(хмуь) функции Дх,у) (их называют уэловыми эначенил.ни).
По заданным трем значениям функции можно построить многочлен первой степени Р1 = аоо + а|ох + ао1у, т.е. провести линеиную аппроксимацию функции У(х,у). Коэффициенты аоо, аш, ао1 этого многочлена нетрудно найти из решения СЛАУ (4.17). Затем можно записать 7"(х,у)дхду Р1(х,у)дхду = Рд пд — (аоо + а1ох + ао1у) ах ау. (4.20) Рд Итоговый вид кубатурной формулы для треугольника Рд можно получить после вычисления интеграла в правои части этого приближенного равенства. Напомним, что этот интеграл можно выразить через координаты центра тяжести треугольника Рд.
Предложенный путь приводит к довольно громоздким формулам вычислений. Чтобы упростить формулы, введем в треугольнике Рд барицентарические координатпы тпочки. 229 4.2. Куоатурные формулы Пусть треугольник Рд с вершинами М», й = 1, 2, 3, имеет площадь Яд. Произвольная точка М Е .0д разделяет треугольник на три треугольника .01, Р2, Рз, треугольник Р» определяется своей вершиной М и стороной треугольника Рд, противоположной вершине М» (рис. 4.6). Барицентрическими координа тами точки М называют три числа ~р»(М) = —, и = 1, 2, 3, где Я» Яь — площадь треугольника Рь. х 24 Рис.
4.6 Рис. 4.т Отметим, что барицентрические координаты изменяются в пределах от нуля до единицы, причем щ(М») = 1 и щ~(М ) = 0 при 2' ~~ к. Одинаковое значение ~рь(М) имеют точки, находящиеся на прямой, параллельной стороне треугольника Рд, которая противоположна вершине М». Функциям у»(М) можно дать простую геометрическую интерпретацию. График функции ф»(М) представляет собой треугольник в пространстве, одной вершиной которого является точка (хь;уь;1), а две другие совпадают с двумя вершинами треугольника Рд, отличными от М» (на рис.
4.7 изображен случай и = 2). Соответствующее цилиндрическое тело, ограниченное сверху указанным треугольником, представляет собой треугольную пирамиду (теп»раэдр) с единичной высотой. Объем пирамиды равен Яд/3, что можно записать в следующем виде: (4.21) 230 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ При помощи функций <рь(М), называемых фуннниямн формы треугольного конечного элемента, несложно записать линейную аппроксимацию функции ~(М) = у (я, р) в пределах треугольника Рд: 1(М) у1<Р1(М) + ЬФг(М) + УгЧ)з(М) = ~~) Ь<рз(М). (4.22) Действительно, функции ~рь(М) есть линейные функции координат точки, поэтому правая часть записанной формулы является линейной функцией. Кроме того, легко проверить, что в вершинах треугольника эта линейны функция совпадает с У(я,у).
Учитывая линейную аппроксимацию функций формы ~рь (М) и значения (4.21) интегралов от этих функций по треугольнику Рд, получаем для треугольника Рд следующую кубатурную формулу: з ~я*,егн Яг ле (м~)м= Рд р з=1 з з =Яз/р ~муз= "г ь= ~ я . (4ае з=г р, й=1 Чтобы воспользоваться этой формулой, достаточно знать узловые значения функции в вершинах треугольника и его площадь Яд, которую можно найти по координатам вершин как половину абсолютной величины определителя (4.18). Двойной интеграл по всей замкнутой области Р* можно приближенно получить, суммируя значения интеграла по всем треугольным элементам, вычисленные с помощью формулы (4.23). Формула (4.23) будет точной, если функция Дя,у) линейка в пределах треугольника 11д.
В этом случае функция совпадает со своей линейной аппроксимацией и равенство (4.22) будет 43. Мвогомервые вубвтурвые формулы 231 не приближенным, а точным, так как линейнэл функция однозначно определяется своими значениями в трех точках, не лежащих на прямой. Отметим, что в треугольнике .Оа наряду с линейной аппроксимацией функции Дх,р) можно использовать аппроксимацию интерполяционным многочленом более высокой степени, что позволяет получить кубатурную формулу более высокого порядка точности.
Например, если известны значения функции не только в вершинах треугольника, но и в серединах его сторон (всего шесть значений), то можно построить полный интерполяционный многочлен второй степени, причем этот многочлен можно представить в барицентрических координатах квадратами и попарными произведениями функций формы треугольного конечного элемента [Х1П]. 4.3.
Многомерные кубатурные формулы Тройной интпеграл по пространственной замкнутой области от функции, не являющейся тождественной постоянной, уже нельзя рассматривать как объем некоторого тела. Тем не менее формулы для приближенного вычисления тройного интеграла и интегралов более высокой кратносши также называют кубашурмыми. Чтобы отличать такие формулы от кубатурных для вычисления двойного интеграла, назовем их многомерными кубатурными формулами. Построение многомерных кубатурных формул аналогично построению формул для двойного интеграла (см. 4.2). Упрощая изложение, ограничимся случаем тройных интегралов.
Рассмотрим тройной интеграл от функции 1(х, у, я) по прямоугольному параллелепипеду Й = ((х; ргл) Е Й: х Е [а, о], р Е [с, о], я е [р, д]), ребра которого параллельны координатным осям (см. рис. 4.2). Если функция Дх,р,л) непрерывна в Й, то, согласно шеореме 232 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ о среднем значении длл тпробного интпеграла, имеем л 6 где у' — среднее значение амуниции в Й, а У вЂ” объем прямоугольного параллелепипеда Й, равный У= (6 — а)(а-с)(у-р).
В качестве приближения среднего значения 7 возьмем значение функции Дх, у, г) в центре (х; у; г) прямоугольного парал- а+о е1л Р+о лелепипеДа Й~ 'гль,1,| (х~У,г) где х = —, У = з и И=в В результате получим простейшую многомерную кубатурную формулу (4.24) Если функция ~(х,у,г) дважды непрерывно дифференцируема в Й, то погрешность Вт этой кубатурной формулы можно оценить аналогично погрешности в (4.13). Многомерную кубатурную формулу (4.24) можно модифицировать, разбив прямоугольный параллелепипед Й на тпп1 частичных прямоугольных параллелепипедов с одинаковым объо — а 4 †о — р емом ЬУ = У/(тпп1) и ребрами Ь, =:, Ья — — —, Ь, =— (см.
рис. 4.2). Тогда вместо формулы (4.24) получим многомерную кубатурную формулу ~(х,у,г)дУ ЬхЬяЬт 1 ~ ~~т ~(хз,у >гь) (4.25) т=т 1=1 тт=т тт где х у, гь — координаты центров частичных прямоугольт) тч ных параллелепипедов. Погрешность В записанной кубатурнои формулы можно получить аналогично оценке (4.14).
Сравнивая (4.10) и (4.25), заключаем, что (4.25) также имеет второй порядок тпочностпи. 233 4.3. Многомерные яУсетУРяне 4»ОРМУлн у = — уЛ~ 1 х = — 4( х»1'»~, Построенная таким образом многомерная кубатурная формула будет точной, если функция |(х,у,г) будет линейной в Й*. В самом деле, пусть Дх р, я) = Ах+ Ву+ Ея+ С. Тогда с учетом (4.26) получим Дх,у,г) 1Л~ = А хЖ1+ В у»ПУ+ Е хсП'+ С»й~ = й' й* й' = (Ах+ Вр+ Ег+ С) Ъ' = УДх, у, «). Использова»ше многомерной кубатурнои формулы (4.24) возможно лишь в случае чае замкнутой области Й' достаточно простои формы, к " ф огда вычисление объема У и координат х, у, з не является трудоемким. К и при вычислении двойного интеграла, исходную заак и при ей мкнутую о асть м ж бл Й* о но разбить на Ж частнчных облас»пе Й с объемами ~у и применить кубатурную формулу к каждой из частичных областей.
В результате получим следующую многомерную кубатурную формулу: ~(х,У,з)йУ=~~» ~(х;,У4,Я4)Ъ~, 4=1 ои функции у(х,у,я) кубатурная формула (4.24) очная а если функция Дх у) линейна в каждом частичном угольный параллелепипед Й, то точной является многомерная кубатурная формула (4.25). Как и в двумерном случае, многомерную кубатурную формулу вида (4.24) можно построить для произвольной замкнутой области Й* с объемом»', взяв в качестве точки (х; у; я) центр тяжести Й*, координаты которого вычисляются по формулам 234 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ аз+ а хь + аяуь+ а,«ь = ~д, Й = 1, 4. Чтобы эта СЛАУ имела единственное решение, ее опреде- литель 1 Х1 У1 «1 1 хг уг «г 1 хз Уз «з 1 Х4 У4 «4 (4.28) должен быть отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
