VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Можно показать, что при достаточной гладкости подынтегральной функции формула (4.8) имеет также второй порядок точности. Применение же формулы парабол для вычисления двойного интеграла по прямоугольнику Р дает приближенную формулу четвертого порядка точности. 4.1. Использование одномерных каадратуриых формул 213 Использование ивадратпурной форлвулы Гаусса позволяет сохранить порядок точности приближенной формулы, но уменьшить число узлов и тем самым общее количество вычисляемых значений функции. Пример 4.1.
Для вычисления двойного интеграла* г 4 1= дх зш(х+у)ду о о применим формулу парабол. Обозначая внутренний интеграл через Р(х) и разбивая отрезок (О, я/2) на гп = 4 частичных х и отрезков равной длины Ь, = — = —, в соответствии с формулои гвп 8' парабол запишем 1 = Р(х) Нх — (Ро+ 4Р1 + юг + аз+ Р4), (4.9) 3 о где 4 Е; = Р(хе) = ош(хе+ у) ду, хс = 46~ = в-, в = О, 4. о Интегралы Р; вычислим, разбивая отрезок [О,я/2) на гв = 2 частичных отрезков и применяя форлвулу Симпсона** Х; = —" ~ош(х; + уо) + 4 ош(х; + у1 ) + ош(х, + уг)), Ьр л. 3 где Ьр — — — — — —, уу — — 2'Ь„= 1' —, г' = О, 1, 2. Для проведения 4и 8' вычислений нужны значения вшО = О, яш- = 0,3827, ош 8 4 ' ' 8 8 = ош ~ -0 7071 ош ~ =вш — =0,9239 и ош- =1.
Используя 2 'Смс Квпченвва Н.В., Марок Н.А. '*Т. Симпсон (1710 — 1781) — английский математик. 214 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ их, получаем 4 Ро = яш(0+ у) г(у - — Г зш0+ 4вш — + яш — 1 - — 2,2379, 24 ~ 8 4/ 24 о 4 кя ~ я'г. я . я' . Зя~ я Рг = зш~ — +у) ггу- — ~вш — +4вш — +яш — ) = — 4,1350, ~8 ) 24~ 8 4 8) 24 о 4 Гя ~ я 7. 1г . Зя . я~ я Рз = зш~ — +у) г(у — ~вш — +4зш — +яш-) — 5,4027, ~4 ) 24~ 4 8 2) 24 о 4 73я ~ яг.
Згг . я . 5я~ я Рз = вш~ — +у) г(у — ~вш — +4вш — +вш — ) — 5,8478, ~8 ) 24~ 8 2 8) 24 о 4 гя ~ я г. я . 5я, Зя~ я г4 = в1п~ — +у) гну — ~згп-+4з1п — +вш — ) — 5,4027. ~2 ) 24~ 2 8 4) 24 о Найденные значения г'; позвоапот получить с помощью формулы (4.9) приближенное значение интеграла: Ем ( — ) (2,2379+ 5,4027+ 2. 5,4027+ 4(4,1350+ 5,8478)) = 0,0171347 58,3772 ж 1,00028.
Длв оценки погрешности полученного приближенного знз ченил можно использовать точное значение двойного интеграла 2 1= г(х вш(х+у)ггу= — соя(х+у)~ гЬ= ~о о о о г =)("---("'-))"=(- --'("-)) о 4.к испольаонанне одномерных ннадратурных формул 215 Сравнивая точное и приближенное значения, заключаем, что относительная погрешность не превышает 0,03%. Теперь изменим приближенную формулу, ограничиваясь разбиением отрезка (О, и/2] на два частичных отрезка длиной Ь' = — и используя для внешнего интеграла формулу Симпсона.
х 4 В этом случае вместо (4.9) получим Ь' 1 = / Р(х) Ня — (Ро + 4Рз + Р4) . 3 о С учетом уже найденных значений Ре, Рз, Р4 находим 1 — (2,2379+ 4 5,4027+ 5,4027) — 1,00243. 12 24 Модификация приближенной формулы привела к возрастанию относительной погрешности вычислений до 0,243%. Тройной интеграл по прямоугольному параллелешшеду Й = = 1(ндсл) ЕЖ~: х Е [аЬ), У Е (сд), н Е (рдЦ (рис. 42) можно вычислить по приближенной формуле, полученной путем трехкратного применения формулы средних: ель 1 = д(х,у,л)сЬоусЬ ~ р с а из с -ЬхЬуЬс~~1, ',1,Яд(Х1ьУ1чйа), (4.10) 1м1 1=1 а=1 о — а С-с д-р —, / 11с где Ь = — Ь~ = —, Ьх хх — и я1 = ~$21Ь* У1 = /у 11ь йь = (Ь вЂ” ~1Ьх. Можно показать, что в случае дважды непрерывно дифференцируемой в Й функции д(х,у,н) эта приближеннан формула имеет второй порядок точности.
Использование других квадратурных формул для вычисления тройного интеграла аналогично. 216 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Рис. 4.2 Описанный подход к вычислению кратных интегралов можно использовать и в случае, когда область интегрирования не является н-мерным промежутком, но сводится к г1-мерному промежутку заменой переменных. Например, рассмотрим тройной интеграл по половине полого шара, которую в сферических координатах г, В, ~р можно записать в виде й, = ((г, В, гр): г Н [Но,В], В Е [О,гг/2], срЕ [0,2я)).
Переходя к полярным координатам, получим повторный интеграл гг г л 1, = д(х,у,х)йУ = йр ИВ ~[г,В,р)г ошВйг. й, о о л, Применение формулы средних к вычислению этого повторного интеграла приводит к приближенной формуле оь о 1, = Ь„ЬоЬрЯ~~~ ~~(г;,Ц,рь)г~ошВ1, (4.11) 1=1,1=1 ЬЮ1 где Ь,= —, Ьо= —, Ир — — — и г;= ~1 — -)Ь„ду — — ~у — -)Ьо, р„= (Ь-ЦЬ„. 4.л. Иенолаэованне одномерных нвадратурных формул 217 Вычисление кратного интеграла путем последовательного вычисления определенных интегралов с помощью квадратурных формул возможно в любом случае, когда кратный интеграл можно представить как повторный. В качестве примера рассмотрим двойной интеграл 1я = 1(х,у) Мха = Р(у) йу, (4.12) где Ф(в) Р(у) = У(х,у)е(х, о(в) а Х)* является враводьиой обдавшею в направлении оси Оу и описывается неравенствами а ( у ( Д <р(у) ( (х ( у)(у) (рис.
4.3). Разобъем область интегрирования Ю, на слои прямыми у = у., у = О, и, параллельными оси Ох, и вдоль каждой из них определим приближенное значение интеграла Р(у), которое обозначим Р(у.). При вычислении значений Р(у3) количество и расположение узлов на каждой прямой у = у можно выбирать независимо (на рис. 4.3 узлы на каждой прямой расположены равномерно, хотя количество узлов и шаг между ними на разных прямых различны). Затем, располагая значениями Р(уу), можно вычислить приближенное значение Х интеграла Хя. При Уо Рис. 4.3 218 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ этом узлами квадратурной формулы будут значения д.. Если ориентироватьсл на квадратурную формулу с равноотстоящими узлами, то параллельные прямые у = ду следует располагать с постоянным шагом. Отметим, что для области интегрирования, изображенной на рис.
4.3, крайним прямым д = уе = а и д = д,1 = )3 соответствуют нулевые значения г'(уе) = г'(а) и Р(у„) = г'(,д). Если грз ница дР* области интегрирования в окрестности точек А и В является гладкой, то значения производных г'(а) и г'()7) могут быть неограниченными. Это может привести к понижению порядка точности используемой квадратурной формулы.
В этом случае для обеспечения нужной точности при небольшом числе па аллельных хорд целесообразно использовать квадратурную пар формулу Гаусса, расположив соответствующим образом прямые д = у . Аналогично длл вычисления тройного интеграла 6 х(~) Ф(ул) Е~ = д(х,у,х))ИT= ~Ь с(д д(х,у,х)йх и' 7 о)(л) у(ил) простр п остранственнуюобластьинтегрирования Й'необходимо разбить на слои плоскостями х = хь, й = 0,1 (рис.
4.4). Пересечение каждой из этих плоскостей с Й' даст плоскую замкнутую область Рь, длл которой описанным вьппе способом можно найти приближенное значение Сь двойного интеграла х(в) Ф(в *) ('(х) = ад д(х>ц,2) Их. '(х) а(ю ) Затем по известным значениям Сь с помощью какой-либо квадратурной формулы можно найти приближенное значение интеграла 1у. Если граница области интегрирования Й* в окрестности точек с аппликатами у и 6, а также точек с ординатами 219 4.2. Кубвтурные формулы Рис. 4.4 ш(яь) и К(яь), Й = 1, 1 — 1, является гладкой, то, как и в рассмотренной вьппе ситуации для плоской области интегрирования .О', порядок точности используемых квадратурных формул может быть ниже возможного нз-за того, что в зтих точках производные подынтегрзльных функций не ограничены.
4.2. Кубатурные формулы Остановимся подробнее на задаче вычисления двобвого ивщеграла. Для таких интегралов применение квздратурных формул (см. 4.1) приводит к приближенной формуле (например, (4.3) ), представляющей собой сумму значений функции двух переменных в некоторых точках области интегрирования, причем зти точки расположены специальным образом: они выбираются на совокупности прямых, параллельных одной из координатных осей. Однако приближенные формулы можно строить и при других расположениях узловых точек. В этом случае сведение двойного интеграла к повторному не нс- 220 4.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ пользуется. Формулы приближения двойных интегралов называют нубагаурными 1рормулами. Сначала рассмотрим самую простую ситуацию. Пусть необходимо вычислить двойной интеграл от функции 1(х,у) по прямоугольнику Рис. 4.5 Р = ((х;у): х Е (а,Ь), уЕ (с,а]1 (рис.
4.5). Если функция 1(х, у) непрерывна в прямоугольнике Р, то, согласно шеореме о среднем значении длл двойного иншеграла, будем иметь 1=,|(х,у) дЯ =78 =7(Ь вЂ” а)(д — с), В где У вЂ” среднее значение функции в Р, совпадающее со значением Дх, у) в некоторой точке М(х; у) Е Р, а Я=(Ь вЂ” а) (д — с)— площадь прямоугольника Р. Можно считать, что точка М расположена недалеко от центра прямоугольника и что 7 приближенно равно 1(х,у), где а+Ь с+4 И = — и у = —. Это позволяет получить простеишую куба- 2 2 турную формулу (4.13) с погрешностью 1~ = 1 — |'(х,у)Я, в которой используется всего лишь одно значение функции Дх, у) в точке (х; у), являющейся узлом нубагаурной формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
