XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В соответствии с (2.11) подводимый от окружающей среды к телу тепловой нотон равен 2.6. Особенности функннонелънык моделей решение которого при «е = сопя$ имеет вид Т=Т, — (Т, — Тд)е и ~~ ' (2.14) где Тс — температура тела в момент времени 1 = О, принимаемый за начальный. При вполне определенном значении ее такую ММ следует считать детерминированной. Но реальный процесс теплообмена является довольно сложным, а его интенсивность зависит от большого числа факторов. Некоторые из этих факторов носят случайный характер (неоднородность окружающей среды, турбулентные пульсации при ее движении, шероховатости на поверхности тела и т.п.).
Поэтому коэффициент теплоотдачи, вообще говоря, нельзя считать достоверно известным и постоянным во времени. Его следует рассматривать как случайную функцию а = у (е, ш) времени 1 и переменного ы, которое имеет смысл, как это принято в теории вероятностей, элементарного исхода случайного события. Если эту функцию ввести в ОДУ (2.13), то вместо детерминированной придем к стохастической ММ. Но воспользоваться такой ММ можно будет лишь в том случае, если располагать всеми необходимыми характеристиками случайной функции у(1,ш), а это условие обычно не выполнимо. Однако часто удается установить границы возможного изменения этой функции в виде двойного неравенства ' т й), о1 < Д1,ш) < еез в котором амао = " т1() = сопз1.
Тогда можно дважды использовать детерминированную ММ в виде то ОДУ (2.13), получив, согласно (2.14), О с гарантированную оценку для заштрихованной на рис. 2.4 области возможного изменения во времени температуры тела ТЯ в соответствии с неравенствами Т1(~) =Т вЂ” (Т вЂ” Те)е ' '~ <Т(е) <Тз(~) = Т ) — о,бе~С. 58 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЪ Из этой оценки, например, следует, что, несмотря на случайный характер процесса теплообмена, Т(1) -+ Т, при 1 -+ со, т.е. система „тело — окружающая среда" стремится к состоя- нию термодинамического равновесия. Существенным признаком классификации ММ является их возможность описывать изменение параметров ТО во времени.
Рассмотренная в примере 2.4 ММ теплообмена тела с окружающей средой учитывает такое изменение, и ее относят к не- стационарным (или эволюционным) математическим моделям. Если при этом в ММ отражено влияние инерционных свойств ТО, то ее обычно называют динамической. В противоположность этому ММ, которая не учитывает изменение во времени параметров ТО, называют статической. Рассмотренные в примерах 2.2 и 2.3 ММ являются статическими. Несмотря на движение воздушного потока и жидкости, обтекающих профиль крыла и нагреваемое тело соответственно, все параметры, характеризующие эти процессы остаются постоянными во времени.
Если изменение параметров ТО происходит столь медленно, что в рассматриваемый фиксированный момент времени этим изменением можно пренебречь, то говорят о квазистатической математической модели. Например, в медленно протекающих механических процессах можно пренебречь инерционными силами, при малой скорости изменения температуры — тепловой инерцией тела, а при медленно изменяющейся силе тока в электрической цепи — индуктивностью элементов этой цепи. Стационарные математические модели описывают ТО, в которых протекают так называемые установившиесл процессы, т.е.
процессы, в которых интересующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания. Например, ММ матема- 2.б. Особенности фуикциоиельиых моделей 59 тического маятника (см. пример 2.1) является стационарной по отношению к не зависящим от времени периоду и полуразмаху колебаний, хотя материальная точка перемещается во времени относительно положения равновесия. Если интересующие нас выходные параметры ТО изменяются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени таким изменением можно пренебречь, то говорят о квазистационарной матпематической модели. При описании некоторых процессов нестационарная ММ может быть преобразована в квазистационарную соответствующим выбором системы координат.
Например, при дуговой электросварке температурное поле в свариваемых стальных листах в окрестности движущегося с постоянной скоростью электрода в неподвижной системе координат описывает нестационарная ММ, а в подвижной системе координат, связанной с электродом,— квазистационарная ММ. Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММ является ее линейность.
В линейной математической модели ТО его параметры связаны линейными соотношениями. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра ТО линейная ММ предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров — сложение их влияний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции (от латинского слова зпрегрозЖо — наложение).
Если ММ не обладает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной. Для количественного анализа линейных ММ разработано большое число математических методов, тогда как возможности анализа нелинейных ММ связаны в основном с методами вычислительной математики. Чтобы для исследования нелинейной ММ ТО можно было использовать аналитические методы) ее обычно линеаризуют, т.е. нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и "олучают так называемую линеаризованную матпематическую модель рассматриваемого ТО. Так как линеаризация 60 2.
МА ТЕМА ТИ ЧЕСКАЯ МОДЕЛЪ связана с внесением дополнительных погрешностей, то к результатам анализа линеаризованной модели следует относиться с определенной осторожностью. Дело в том, что линеаризация ММ может привести к утрате или существенному искажению реальных свойств ТО. Учет в ММ нелинейных эффектов особенно важен, например, при описании смены форм движения или положений равновесия ТО, когда малые изменения внешних параметров могут вызвать качественные изменения в его состоянии. Каждый параметр ТО может быть двух типов — непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения. Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой— только дискретные.
В связи с этим выделяют непрерывные, дискретные и смеиханные математические модели. В процессе анализа ММ этих типов могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности ММ рассматриваемому ТО. 2.7.
Иерархия математических моделей и формы их представления При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта (ТО) описать его поведение одной математической моделью (ММ), как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким ТО обычно применяют иринина декомиозииии. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга.
В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня 2 Х Иерархия математических моделей и формы их представления 61 достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой блоков и элементов. Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ, Например, среди структурпььх математических моделей ТО к более высокому уровню иерархии относят топологические математические модели, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией ТО, — геометрические матемапьические модели. Среди уьункь4иональнььх математпических моделей иерархические уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в ТО, его блоках или элементах.
С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро-, макро- и метауровень. Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами (в контпинуальных системах), а математические модели макроуровня — в системах с сосредоточенными параметрами (в дискретпных систпемах). В первых из них фазовьье переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во вторых — только от времени. Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок 104 — 10в, то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов.
Кроме того, при столь большом числе фазовых переменных трудно выделить существенные характеристики ТО и особенности его поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложного ТО стремятся уменьшить число фазовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметров элементов, ограничиваясь лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами.
Такой подход характерен для математических моделей метпауровня. ММ метауровня обычно относят к высшему уровню иерархии, ММ макроуровня — к среднему, а ММ микроуровня — к низшему. 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Наиболее распространенной формой представления динамической (эволюиионной). математической модели микроуровня является формулировка краевой задачи для дифференциальных уравнений математической физики [ХП].
Такая формулировка включает дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия. В свою очередь, краевые условия содержат начальные условия — распределения искомых фазовых переменных в некоторый момент времени, принимаемый за начальный, в пространственной области, конфигурация которой соответствует рассматриваемому ТО или его элементу, — и граничные условия на границах этой области. При представлении ММ целесообразно использовать безразмерные переменные (независимые и искомые) и коэффициенты уравнений, сократив число параметров, характеризующих рассматриваемый ТО (см. Д.2.2).
ММ микроуровня называют одномерной, двумерной или трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в мноеомерные математические модели минроуровнл. Одномерная ММ микроуровня, фазовые переменные в которой не зависят от времени, имеет представление в виде системы ОДУ с заданными граничными условиями (в простейшем случае одного фазового переменного такая ММ включает лишь одно ОДУ и граничные условия).
Поскольку краевой задаче, содержащей дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия, можно поставить в соответствие интегральную формулировку ]ХП1], то и ММ микроуровня также может быть представлена в интегральной форме. При определенных условиях интегральную форму краевой задачи удается привести к вариационной формулировке в виде функционала (ХЧ], который допустимо рассматривать на некотором множестве функций, содержащем искомую функцию.
В этом случае говорят о вариационной форме модели микроуровня. Искомая функция обращает в у,7. Иерархия математических моделей и формы их представления б3 нуль вариацию функционала, т.е. является его стационарной точной. Построение функционала и соответствующей ему вариационной формы модели микроуровня обычно основано на некотором содержательном с физической точки зрения вариационвом принципе механики или электродинамики сплошной среды (например, на принципе минимума потенциальной энергии континуальной системы в положении равновесия или на принципе минимума времени прохождения светового луча между двумя точками оптически неоднородной среды). В этом случае стационарная точка функционала соответствует его экстремальному (в частности, минимальному) значению на допустимом множестве функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
