XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Эти значения представлены в табл. 2.6. Табмща 2.6 Д.2.2. Представление ММ в безразмерной форме 81 При помощи этой таблицы запишем выражения для безразмерных комбинаций: Т П0 Тойе 1= ) 2 Те ~ивор Ь~ р' Таас П4 = —, г Ю, П ~5 Ю, 1д Пе = —. 6, 2 Для некоторых из полученных выражений используют традиционные обозначения. Так, отношение П1 — — Т/Т0 = О в данном случае служит критерием подобия полей температуры и зависимостей коэффициентов теплопроводности и сдвиговой вязкости от температуры в подобных процессах, 1/Пг = Ь р/э)0 = Пе является критерием Ребнояьдса, а Пб = 1д/и~ = Гг называют критерием (числом) Фруда*1, характеризующим соотношение сил тяжести и инерционных сил в рассматриваемом процессе. Остальные три степенных одночлена Пз, П4 и Пб обычно преобразовывают с привлечением Пг в три независимые безразмерные комбинации П4+Пб эс+ск Пб с1 — 7~ П4 + Па '74)0с~ П2 =Рг, Пз йе Пб/П4 Юоо П4 + Пб эЯлсТ0 "'У.
Фруд (1810 — 1879) — английский ученый. ' Э. Мах (1838-1918) — австрийский физик. Первая из них носит название показателя адиабатического процесса и имеет постоянное значение для конкретного газа. Для воздуха, состоящего в основном из двухатомных газов, 7 = - 1,40 (см. Д.3.1). Вторая безразмерная комбинация является кРитерием Прандтяя для данного газа, а третью называют крипаерием (числом) Маха*2. Критерий Маха равен отношению и„к скорости а0 = ЯЙТ0 звука в невозмущенном потоке 82 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ =/(О,Не, у,Рг,М,Рг). (2.21) Р реп~~19/2 Влияние критерия Фруда обычно существенно в случае, когда вес среды, вытесненной объемом твердого тела, сопоставим с весом тела (например, при движении воздушного шара или дирижабля).
В остальных случаях влиянием этого критерия в (2.21) можно пренебречь. Известно, что при адиабатическом торможении газового потока его температура и плотность принимают значения*з р* = РО(1+ 7 М2) т тз(1+ М ), Отсюда следует, что влияние сжимаемости газа становится существенным при М > 0,5, а при М ( 0,5 в (2.21) можно пренебречь влиянием критерия Маха и считать газовый поток несжимаемым. При О = 1 в (2.21) можно опустить аргумент О. Наконец, если допустимо пренебречь влиянием вязкости газа, то критерий Не, характеризующий соотношение инерционных сил и сил вязкого трения, также не будет аргументом 'Смо Седов Л.И.
(1970 г.). * Смв Лояцвнекия ЛЛ1 газа и характеризует влияние сжимаемости газа на его взаимодействие с твердым телом. В силу принятых допущений о постоянстве сг и зависимости и и А от температуры для конкретного газа имеем Рг = 717с1 /Л = сопя1. Для совершен- 4 ного газа можно принять'1 Рг = (отсюда для воздуха 9 — 5/7 Рг = 0,737, что несколько выше значений, получаемых экспериментально). Перечисленные критерии подобия могут служить аргументами функций, определяющих значения безразмерных комбинаций, в которые входят такие интегральные характеристики процесса, как подъемная сила, сила лобового сопротивления, тепловой поток от газа к твердому телу.
Например, для подьемной силы Р при обтекании тела воздушным потоком можно записать Д.2.2. Представление ММ в беэраомерной форме 83 др дЖ) — + — =О, дНо дх; (2.22) — деб деб Р +де' дНо 2 дх; 1 др 2 д ~ деУ~ 2 дЩО) = Р; — — — — — — ~П вЂ” ~) + — и, (2.23) 7М2 дх; ЗНе дх; ~ дх б Ке дх / дт ре; дт у — 1 дев;'1 д г — дТл Нерг~р — + — — + — р — ~ = — ~Л вЂ” )+ 1, дНо г дх; 7 дх;/ дх; ~ дх;) бб Мб(ббб;; — -( — ') ), б,б'=1,2,3, (22б) где Ргд = Ргз = 0 и Ргз = Рг = д1/и, Ц = — '(О, Но = о~1/1— ~Об критерий динамической гомохронности, характеризующий соотношение между переносным (конвективным) и локальным Ускорением газового потока. В уравнение (2.24) обычно вводят функции / в (2.21) и при фиксированных для конкретного газа значениях У и Рг эта функция примет некоторое постоянное значение, определяемое положением обтекаемого твердого тела относительно направления скорости е .
В этом случае бо = сопяФ, что согласуется с результатом, полученным ,еог Р/2 в примере 2.2. Уравнения (2.18) — (2.20) вместе с равенствами р = рЯТ и Л/Ле = и/по = ~/Т/Те описывают поля давления, плотности, скорости и температуры газового потока и при неустановившемся процессе обтекания неподвижного твердого тела. Для анализа соответствующей ММ приведем эти уравнения к безразмерному виду, введя безразмерные координаты х; = хф и проекции о; = ся/е,, г = 1, 2, 3, скорости, плотность р = р/ре, давление р = —, температуру Т = Т/Те, коэффициенты теплопроводр реЯТе ' ности Л = Л/Ле и сдвиговой вязкости й = и/це: 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Но Лес критерий Фурье Ро = — =, которыи в данном случае НеРт Рр ус~ не является независимой безразмерной комбинацией.
Отметим, что в силу принятой зависимости коэффициентов теплопроводности и сдвиговой вязкости от температуры Л = Г1 = оГТ. Если безразмерные уравнения (2.22) — (2.24) имеют решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям, то это решение в случае конкретного газа с известными значениями у и Рг можно представить в виде р = р(Но, х;, О, Не, М, Рг), р = р(Но,з;,О,Не,М,Рг), це = е1(Но,У;,О,Не,М,Р1), г =1, 2, 3, Т = Т(Но, х„О, Не, М, Рг). *Г. Галилей (1564-1642) — итальянский ученый. Движение газа у поверхности твердого тела может быть вызвано лишь объемными силами.
В этом случае обычно не удается выбрать в качестве характерной скорости с, какое-либо определенное значение. Тогда вместо критериев Рейнольдса и Фруда используют критерий (число) Галилея* Са = Нелгг = = д1~/рео, где ие = 116/ре — кинематичесний коэффициент вязкости газа. Этот критерий не содержит скорость и является мерой соотношения сил тяжести и вязкого трения. При движении газа, вызванном объемными силами, его скорость сравнительно мала, так что влиянием критерия Маха можно пренебречь. В этом случае поля безразмерных плотности, давления, скорости и температуры оказываются функциями критериев Но, Оа, О и безразмерных координат х;, г = 1, 2, 3.
Объемные силы могут возникнуть за счет неоднородности поля плотности газа. Тогда критерий Галилея домножают на отношение Ьр/ре, где олр — разность плотности газа в двух характерных точках области, и получают критерий (число) Архимеда Аг = — = —, —. Если разность плотности газа Саглр р1 Ьр Ро ио Ро 85 Вопросы и задачи адана с неоднородностью поля температуры, то вместо криерия Архимеда обычно используют критерий (число) Рэлея 1зрьт ца = АгРг =, где Д вЂ” коэффициент объемного расшипо зсе рения газа (для совершенного газа Р = 1(Т), ЬТ вЂ” разность температур газа в двух характерных точках области, зсо = — — — коэффициент температуропроводности газа. Ла рчси При смешанном характере движения газа у поверхности твердого тела также можно опустить критерий Маха, представив поля безразмерных плотности, давления, скорости и температуры в виде функций критериев О, Но, Не, Са и безразмерных координат т;, г = 1, 2, 3.
Такое представление обычно используют при построении полуэмпирических ММ процессов теплообмена*. Вопросы и задачи 2.1. Для условий каждого из примеров 2.1 — 2.3 составьте матрицу размерностей, найдите ее ранг и сравните с числом Й единиц измерения, используемых для представления размерностей основных параметров. 2.2. При построении полуэмпирической ММ установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости по трубопроводу проводят измерения перепада Ьр давления вдоль трубопровода длиной 1 с круглым поперечным сечением радиуса т, при различных значениях Ч объемного расхода жидкости плотностью р с кинематическим коэффициентом вязкости и.
Сколько независимых безразмерных комбинаций можно составить из указанных размерных параметров? В каком виде следует обработать результаты измерений, чтобы получить зависимость между этими безразмерными комбинациями, справедливую для трубопровода с иными размерами и для другой вязкой несжимаемой жидкости? *См.: Теория тепяомассооомеиа.
86 г. мАткми тичкскАя модкль 2.3. В каком виде следует обработать результаты измерений в предыдущей задаче, если движение жидкости в трубопроводе очень медленное и соответствует весьма малому значению числа Рейнольдса? 2.4. Какие размерные параметры определяют сопротивление твердого тела в потоке совершенного сжимаемого идеального (невязкого) газа и каковы их размерности? Сколько независимых безразмерных комбинаций и какие именно можно составить из этих параметров? 2.5.
Какие размерные параметры определяют сопротивление движению с постоянной скоростью надводного корабля при условии, что вода вязкая и несжимаемая? Сколько независимых безразмерных комбинаций и какие именно можно составить из этих параметров? 2.6. В чем различие между одинаковыми по виду критериями Нуссельта и Био (см. примеры 2.3 и 2.6)? 2.7. Убедитесь, что (2.18) — (2.20) можно привести к безразмерному виду (2.22) — (2.24). 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТЕЙШИХ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ При всем разнообразии технических обьектов, в которых протекают процессы различной физической природы, обычно удается выделить отдельные блоки, агрегаты или узлы, каждый из которых в зависимости от переносимой и преобразуемой физической субстанции можно рассматривать как электрическую, механическую поступательную или вращательную, тепловую, гидравлическую или пневматическую систему'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
