XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Многослойные элементы конструкции тепловых систем могут иметь криволинейные поверхности (например, стенки трубопроводов и сосудов, покрытые сюями теплоизоляционного Многие элементы конструкции тепловых систем могут быть сведены к расчет- Т ной схеме (РС) плоской стенки толщиной ' т1 > Ь (рис. 3.12). Если на поверхностях стенки, материал которой имеет коэффициент Вт т теплопроводности Л, измеряемый в †,за- Я м К даны постоянные значения Т1 и Тз температур, то при Л = сопя1 установившееся рас- 0 и е пределение температуры по толщине стен- р 3 1з ки будет линейным: Т(х) = Т, — ЬТ(х/й), где ЬТ = Т, — Тз, а х — координата, отсчитываемая внутрь стенки от поверхности с температурой Т,.
В этом можно убедиться, решиводномерноеуравнениеЛапласа — =0 описы- оеТ(в) лег вающее стационарное температурное поле в плоской стенке. В соответствии с эмпирическим законом теплопроводности [ХП], установленным Ж.Б.Ж. Фурье, тепловой поток, проходящий через стенку, одна из поверхностей которой имеет площадь Я, равен Я = (Л(ЦБЬТ. Отсюда получаем зависимость 102 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ материала). Такие элементы при установившемся одномерном распределении Л Т(г) температуры можно свести к РС неоднородного многослойного тела с ко11Ео О ' эффициентом теплопроводности А(г) и нормальным к координатной оси Ог сев чением площадью Я(г). Начало отсче- О 1 та координаты г поместим на поверхности тела, имеющей температуру Т1 (рис. 3.13).
На противоположной поверхности тела при г = и задана температура Тг. Так как проходящий через тело тепловой поток Я одинаков для любого сечения, нормального к оси Ог, то в соответствии с законом теплопроводности имеем Я = — А(г) Я(г) — = сопаФ и после ин- йТ(х) Ых тегрирования получаем ~Ь ~/ л( )ы( )' о Отсюда следует (3.18), если для многослойного тела обозначить (3.19) Пусть тело состоит из Л слоев толщиной 6„, и = 1, Ф, / с коэффициентами теплопроводности Л„ = сопяФ, причем т„ и т„'' — главные радиусы кривизны поверхности идеального теплового контакта между слоями с номерами и — 1 и и. Тогда, отсчитывая от этой поверхности координату г„, для и-го слоя (т„+л )(т„+л ) р я можно написать Я„(г„) = Яо " ", „", где Яо и т„т,— площадь и главные радиусы кривизны поверхности тела, на которой задана температура Т1 (см.
рис. 3.13). В этом случае, 193 З.З. Некоторые элементы тепловых систем используя свойство аддитивности определенного интеграла, из (3.19) находим нв ояо г112 '~~ 1 1+ Ьо1 гон Ф Л = — ~~» — 1п(1+Ь(г„), (3.21) а для плоской (т'„-+ со, т'„' -+ оо) и сферической (г„'= т„" = г„) стенок предельным переходом найдем соответственно 2 т х— Ь„(т„ % ~-; Л„(.„Ь„) ' — 1 Ь„ ~0 Ло Сравним термические сопротивления однослойных цилиндрической и плоской стенок одинаковой толщины Ь с одинаковыми коэффициентами теплопроводности Л = сопэ1 при условии ЯО = Я, записав с учетом (3.21) ЛЯ- ЛЯ г1 г Ьа 1 у = — В = — — 1п(1+ — ) = — 1п(1+с), Ь Ь ля ~ г1) где ( = Ь(г1.
На рис. 3.14 показана зависимость у от С, которая характеризует погрешность, возникающую при представлении цилиндрической стенки более простой расчетной схемой плоской стенки. Один из распространенных в природе и технике видов теплового взаимодействия тела с окружающей средой состоит в теплообмене между ними У 1,5 1,0 0,5 -0,5 0 0,5 1,0 ф Рис. 3.14 Если один или оба радиуса кривизны поверхности отрицательны, то выражение для Я„(яо) и (3.20) имеют смысл лишь при условии Ьо(~г'„~ < 1 или Ь„/)г„"( < 1. В частном случае круглой цилиндрической стенки при г„'-+ оо и т„'' = т„из (3.19) получим 104 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ при движении среды относительно тела.
Такой вид взаимодей- ствия носит название конвективноео тенлообмена'. Для него считают справедливым зависимость Я = се(Тс — Т)Б, (3.22) где Т, — температура среды, Я вЂ” площадь поверхности тела, се — коэффициент тиеилоотвдачи (коэффициент конвективного Вт теплообмена), измеряемый в, .
Эту зависимость обычно ме, К называют законом Ньютона для теплоотдачи. Из (3.22) сле1е) 1 Т,— Т дует, что величину В, = — = ' можно рассматривать оЯ О как термическое сопротивление, которое преодолевает тепловой поток при переносе тепловой энергии от среды к телу (или от тела к среде при Т, < Т). т',т," 1+ Цт" ,1/(сеЯе) Л(т' — т~1')Яс 1+ Цт' (1+ Цт')(1+ Цт") В отличие от плоской поверхности, для которой с увеличением Ь линейно возрастает суммарное термическое сопротивление, в случае криволинейной поверхности зависимость те~ от Й может быть немонотонной. Для исследования этой зависимости вычислим производную (26+т1 +т1')т~1т~' т' т" 11 йй Ляс(6+ т1')(6+ т') сеяе(й+ т')2(й+ т1')з ' "Смс Теория тепломассоебмепа.
Пример 3.1. Пусть криволинейная поверхность с главными радиусами кривизны т', т," покрыта слоем теплоизоляционного материала толщиной 6 (см. рис. 3.13). Примем коэффициент Л теплопроводности теплоизоляционнного материала постоянным и, положив в (3.20) Х = 1, запишем суммарное термическое сопротивление между этой поверхностью площадью Яс и окружающей средой, с которой происходит конвективный теплообмен на внешней поверхности слоя теплоизоляции при г = 6: 3.3. Некоторые элементы тепловых систем 105 В соответствии с необходимым условием экстремума функции дп(Ь) приравняем эту производную нулю и получим равенство 1 1 — + (3.23) Л Ь+т' Ь+тн 1 1 Так как по смыслу Ь > 0 и св/Л > О, то равенство (3.23) можно удовлетворить лишь при условии 0 < се/Л < 1~т1 + 1~~'.
Тогда получим квадратное уравнение с неотрицательным решением Л т1 +гзн + се 2 Если — < —, + — „, то значение — при Ь = 0 отрицательно. Слеп 1 1 Нп т," ' он довательно, значение Ь„называемое критической толщиной слоя теплоизоляционного материала, соответствует минимуму суммарного термического сопротивления. При этом возникает парадоксальная ситуация: увеличение Ь в интервале (О, Ь,) не увеличивает, а,наоборот, снижает термическое сопротивление, что приводит к лишним затратам теплоизоляционного материала и увеличению массы всей конструкции.
Избежать такой ситуации можно, если выбрать теплоизоляционный материал с таким значением Л, чтобы было выполнено неравенство — > 1 1 > — + — Ф т' то 1 1 Отметим, что РС, представленную на рис. 3.13, можно использовать для построения одномерной нелинейной математической модели (ММ) процесса стационарной теплопроводности в однородном теле с криволинейной поверхностью, коэффициент теплопроводности Л(Т) которого зависит от температуры. В этом случае, согласно закону теплопроводности, запишем Я = — Л(Т) Б(я) — = сопя1 и после разделения переменных и 3Т(л) 3л интегрирования получим А тэ Я вЂ” = — Л(Т) йТ. о T! 106 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Отсюда вместо (3.19) найдем термическое сопротивление Л(Т) йТ Тт Термическое сопротивление деталей и конструкций более сложной конфигурации можно найти из решения задачи стационарной теплопроводности [Х1Ц, [Х111]. Для приближенных двусторонних оценок (снизу и сверху по отношению к истинному значению термического сопротивления) целесообразно испольэовать двойственную вариационную формулировку этой задачи [ХУ].
Если некоторая деталь или конструкция выполнены из материала с высокой теплопроводностью, то их температура достаточно быстро выравнивается во всех направлениях и ее можно приближенно считать не зависящей от пространственных координат. В этом случае тепловое состояние детали или конструкции в любой текущий момент времени 1 допустимо характеризовать лишь одним значением температуры Т, однородным по занимаемому ими объему 1'. Такое приближение соответствует РС высокотеплопроводного тела с однородной по его объему температурой и измеряемой в джоулях (Дж) тепловой энергией Т У = сЛ~(М) с(Т, М) ЙТ, (3.24) где с(Т,М) — удельная объемная теплоемкость материала (единица измерения , ), зависящая в общем случае от темДж мЗ К пературы Т и координат точки М е У (когда конструкция выполнена из различных материалов).
107 З.З. Некоторые элементы тепловых систем При изменении температуры Т во времени тепловая энергия тела постоянной конфигурации изменяется со скоростью — с(Т,М) сЛ' (3.25) 3то равенство получено дифференцированием внутреннего интеграла в (3.24) по переменному верхнему пределу Т, зависящему, в свою очередь, от времени 1.
Из закона сохранения энергии следует, что тепловая энергия тела может изменяться лишь за счет подвода к телу энергии или ее отвода от него. Если подвод или отвод энергии происходит путем теплового взаимодействия тела с окружающей средой, то интенсивность этого взаимодействия можно характеризовать тепловым потоком Я, который примем положительным в случае подвода тепловой энергии к ~Ш поверхности тела. Тогда будем иметь — = Я, или, учитывая 13.25), С,— = Я(1), С = с(Т,М) ей~, (3.26) оТ й что аналогично зависимости 13.3) для электрического конденсатора.
Величину С.„аналогичную емкости С конденсатора, называют полной тпеплоелепостъю тела 1единица измерения Дж/К). Аналогия между термическим и электрическим сопротивлениями, а также между полной теплоемкостью и электрической емкостью позволяет РС процесса конвективного теплообмена тела, имеющего полную теплоемкость С„и среды с температурой Т, (рис. 3.15, а), представить в виде электрической цепи, состоящей из источника разности потенциалов охи, пропорциональной разности Т, — Те температуры среды и начальной температуры тела, резистора сопротивлением Л и конденсатора емкостью С (рис. 3.15, б). Аналогичными будут и ММ, описывающие процессы в рассматриваемой тепловой системе и 108 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис.
Злв в электрической цепи, причем тепловой поток Я в тепловой системе будет пропорционален силе У тока в электрической цепи. Для построения ММ рассматриваемой тепловой системы подставим (3.22) в (3.26) и получим ОДУ первого порядка йТ С вЂ” = а(Т, — Т)Б. При постоянных значениях С,, а, Т, и известной температуре Те тела в момент времени 1 = О, принимаемый за начальный, это ОДУ имеет решение в виде 2с Те Ст Я~ ~С С течением времени температура тела стремится к температуре окружающей среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
