XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 18
Текст из файла (страница 18)
С точностью до 1% от значения Т, — Те процесс выравнивания этих температур можно считать завершенным при условии ехр( — аЯ/С,,) < 0,01, или ~ > — 1п100 = 4,6 — = 4,6В~~) Ст. Установленную выше аналогию между ММ элементов тепловых систем и элекшринеских де ухи олюсников принято называть электротепловой. Эта аналогия позволяет для сложной тепловой системы построить эквивалентную схему в виде электрической цепи, состоящей из таких двухполюсников, а затем использовать хорошо разработанные и формализованные при- 3.4.
Модели элементов гидрввлинесних систем 109 емы получения ММ электрических цепей для построения ММ рассматриваемой тепловой системы. Замечание 3.2. Использованный при получении (3.18) эмпирический закон теплопроводности в виде д = — Л3гах1Т предполагает, что в ответ на появление в материале с коэффициентом теплопроводности А градиента уас1 Т температуры мгновенно возникает тепловой поток с вектором плотности 9. Это равносильно предположению, что скорость распространения тепловой энергии в материале бесконечно велика. На самом деле в реальном материале неизбежно некоторое запаздывание возникновения теплового потока по отношению к появлению градиента температуры (т.е. разности температур в окрестности некоторой точки). Величина такого запаздывания зависит от микромеханизма передачи тепловой энергии в материале и связана со временем обмена энергией между отдельными элементами микроструктуры материала (например, в металлах это время обмена между электронным газом и ионами в узлах кристаллической решетки, имеющее порядок 10 шс).
Время т запаздывания возрастает по мере уменьшения удельной объемной теплоемкости и плотности теплопроводящей среды. В случае высокоинтенсивных и быстро протекающих процессов переноса тепловой энергии указанный эффект запаздывания играет заметную роль и его можно учесть при помощи модифицированного закона теплопроводности'. Здесь отметим лишь то, что этот эффект аналогичен влиянию индуктивности в электрической цепи (см. 3.1).
3.4. Модели элементов гидравлических систем Перейдем к рассмотрению простейших типовых элементов, характерных для технических систем, в которых происходит перемещение несжимаемой жидкости. Такие системы принято Смл Лмиое А.В. 110 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис. 3.16 гг-гг и,(г) = * сзр, 4о1 (3.27) где и > 0 — коэффициент сдвиговой вязкости жидкости, измеряемый в Па с, Ьр = р1 — рг > 0 — перепад давления, приходящийся на участок трубопровода длиной 1 (рис.
3.16). Эту зависимость можно получить, решая уравнение Навье — Стокса (см. Д.3.2). Учитывая (3.27), вычисляем объемный расход с, Я„, = 2кги,(т)41т = — ) т(г, — г )с(г = — *сзр (3.28) иЬр 1 г, кг4 211 l 8о( жидкости через трубопровод. Зависимость (3.28) установлена экспериментально ?К.Л.М. Пуазейлем* при изучении кровообращения.
Величину Н„= 811Ц(кг4) можно рассматривать Ж.Л.М. Пувзейль (1799 — 1869) — французский врач и физик. называть гидравлическими. Разности электрических потенциалов (напряжений) и силе тока в гидравлической системе соответствуют разность (перепад) Ьр давлений и объемный расход Яи жидкости, измеряемые в Па (паскалях) и мз/с соответственно.
Из курса физики известно, что для участка достаточно длинного трубопровода с круглым поперечным сечением радиуса т„при установившемся ламинарном течении вязкой жидкости справедлива следующая зависимость скорости о, вдоль оси трубопровода от радиальной координаты зч 3.4. Модели элементов гидравлических систем 111 ак гидравлическое сопротивление участка трубопровода длиной 1 и записать ~Р = ЧжНг~ (3.29) ~ й~р д3р Яж — ~ — = Сг сМ рд д1 Ж (3.30) что аналогично закону Ома в виде (3.1). Если поперечное сечение трубопровода не является круглым, то выражение для Л„в (3.29) будет зависеть от формы этого сечения (см. Д.3.2).
При увеличении объемного расхода жидкости через трубопровод растет ее скорость и ламинарный режим течения переходит в турбулентный, а В, становится функцией Я~, т.е. математическая модель (ММ) установившегося течения в трубопроводе оказывается нелинейной. Рассмотрим цилиндрический сосуд с ре вертикально расположенной образующей и поперечным сечением площадью Я, заполняемый (или опорожняемый) через трубопровод, присоединенный к этому сосуду (рис. 3.17).
Скорость и течения жидкости в трубопроводе будем считать достаточно малой по модулю, так что динамическим давлением риз/2, где р — плотность жидкости, можно пренебречь по сравнению со статическим давлением р на входе трубопровода в сосуд. Это давление равно р = ро + рдН, где ро — давление над зеркалом жидкости (для сосуда, сообщающегося с атмосферой, оно равно атмосферному давлению), д = 9,81м/сз — ускорение свободного падения, Н вЂ” высота уровня жидкости в сосуде. Изменения во времени 1 уровня жидкости и разности сэр = р — ре давлений связаны между собой зависимостью — = рд †. Тогда для объемного расхода дОр дН еЫ дй жидкости через трубопровод, положительного при заполнении сосуда, можно записать 112 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ где С„= — — величина, аналогичная емкости С злектрическо- Я Р9 го конденсатора в (3.3). Таким образом, аналогом конденсатора для гидравлической системы будет сосуд с жидкостью, подводимой или отводимой через трубопровод, присоединенный к дну сосуда. Элементом гидравлической системы, аналогичным идеализированной (без сопротивления) индуктивной катушке, является участок горизонтального цилиндрического трубопровода длиной (, по которому течет с переменным во времени объемным расходом Ч (1) идеальная (невязкая) несжимаемая жидкость плотностью р (рис. 3.18).
Пусть Я вЂ” площадь поперечного сечения трубопровода. Тогда в момент времени 1 на рассматриваемом участке трубопровода будет находиться масса т = рЯ жидкости, движущаяся со скоростью и(г) = = Я (Ф)/Я. При переменном объемном расходе за счет ускорения этои массы возникнет сила инерции Г = гп — = р1 й~(г) сй~ (г) 81 81 Так как жидкость идеальная, то гидравлическое сопротивление при ее течении отсутствует и сила инерции уравновешена лишь разностью (р1 — рг)Я сил давления в поперечных сечениях трубопровода. Следовательно, имеем г р( й~,„г(Я гхр=рг — Рг = — = — =1г — — — г (3.31) где Ь, = р1/Я вЂ” величина, которую можно назвать гидравлической индуктивностью участка трубопровода. Она аналогична индуктивности Ь катушки в (3.4).
Рг Рис. ЗЛ8 3.4. Модели элементов гидравлических систем Пз Итак, в гидравлических системах можно выделить простей,пие элементы, ММ которых с точностью до обозначений совпадают с ММ идеализированных электрических двухнолюсников: резистора, конденсатора без потерь заряда и индуктивной катушки без сопротивления. Как и в случае реальных электрических элементов (см. 3.1), комбинируя ММ идеализированных элементов гидравлических систем, можно учесть, например, влияние вязкости жидкости.
При течении по трубопроводу вязкой жидкости неизбежно возникает гидравлическое сопротивление, влияние которого при ее переменном объемном расходе можно учесть аналогично учету электрического сопротивления индуктивной катушки 1см. пример 3.7). Расчетную схему участка трубопровода длиной 1 с круглым поперечным сечением радиуса т, (см. рис. 3.16) представим последовательно соединенными гидравлическим сопротивлением В, = — 4 и гидравлической индуктивностью Ь„= 8гв' тг4 = р1/Я (рис.
3.19). Тогда, учитывая (3.29) и (3.31), получаем ОДУ первого порядка ~г + лсгс4ж1с) = ~1Р. й~ (1) к й г г гг Решение этого ОДУ с правой частью, постоРис. 3.19 янной и изменяющейся во времени по синусоидальному закону, рассмотрено в примере 3.7. Аналогию между ММ типовых элементов гидравлической системы и электрических двухполюсников называют электрогидравлическои Она дает возможность в случае сложной гидравлической системы построить ее эквивалентную схему в виде электрической цепи, объединяющей такие двухполюсники.
Это позволяет для получения ММ гидравлической системы применить детально разработанные и формализованные приемы построения ММ электрических цепей (см. 4.4 и 4.5). Замечание 3.3. Рассмотренные ММ некоторых простейших элементов гидравлических систем являются (как и в 3.1) кваэистаиионарными математическими моделями, поскольку 114 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ при их построении неявно предполагалось, что возмущения, вызванные изменением давления или объемного расхода жидкости в трубопроводе, распространяются вдоль трубопровода мгновенно. В действительности реальные жидкости обладают некоторой сжимаемостью.
Это приводит к тому, что возмущения распространяются с довольно большой, но конечной скоростью а, называемой скоростью звука в жидкости. Если при длине 1 трубопровода наименьшая длительность |нв, протекающих в нем процессов удовлетворяет условию $ ьз »1/а, то применение квазистационарных ММ не приводит к большим погрешностям. Но при нарушении этого условия такие ММ становятся неадекватными реальному элементу. Например, они не применимы при моделировании процесса перекрытия трубопровода задвижкой за время одного порядка со значением 1/а, когда объемный расход жидкости быстро падает до нуля, что приводит к значительному повышению давления (так называемый еидравлический удар). Этот эффект удается учесть, если от ММ трубопровода с сосредоточенными параметрами (математической модели макроуровня) перейти к его математической модели микроуровня (см. 6.4).
Дополнение 3.1. Особенности пневматических систем В широком смысле слова под пневматическими понимают технические системы, в которых рабочей средой является воздух или газ. Основное отличие пневматической системы от гидравлической состоит в том, что рабочая среда является сжимаемой, т.е. ее плотность р существенно зависит от давления р. Газ называют совериленным, если для него справедливо уравнение Клапейрона — Менделеева* (3.32) 'В.П.Э. Кланейрон (1799-1864) — французский физик и инженер; Д.И. Менделеев (1834 — 1907) — русский химик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
