XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Это приведет к возникновению постоянной разности потенциалов между ее соседними витками и постоянного электрического поля. При переменном токе в реальной катушке возникнет не только переменное магнитное поле, наводящее в ее витках ЭДС самоиндукции, но и взаимодействующее с ним переменное электрическое поле между соседними витками. Влияние этого взаимодействия растет с увеличением частоты переменного тока и может быть в первом приближении учтено подключением параллельно к РС, изображенной на рис. 3.22, а, некоторой емкости С' (рис. 3.24, а). Рис. 3.24 При изменении во времени заряда на обкладках конденсатора возникает переменный ток, создающий переменное магнитное поле, которое взаимодействует с изменяющимся электрическим полем конденсатора.
Влияние этого взаимодействия возрастает с увеличением частотпы колебаний разности потенциалов на обкладках конденсатора". Это влияние в первом *Си:. Фейнлан Р., Лейтон Р., Сэнде М. Д.З.З. Об адекватности моделей типовых элементов 137 приближении можно учесть добавлением к РС, представленной „а рис. 3.20,а, некоторой индуктивности Ь„ включенной последовательно с емкостью конденсатора (рис. 3.24, б).
При нарушении условия 1ш.,и » 1ш, /с (см. замечание 3.1), вызванном увеличением частоты колебаний силы тока, протекающего через индуктивную катушку, или разности потенциалов на обкладках конденсатора, использование схем, представленных на рис. 3.18, может привести к существенным погрешностям. Основной причиной возникновения погрешностей в этом случае является представление простейших типовых элементов в виде РС с сосредоточенными параметрами, т.е. пренебрежение пространственным распределением параметров, характеризующих их свойства-и протекающие в них процессы.
Поэтому для оценки возможных погрешностей, возникающих по этой причине,и выявления областей адекватности моделей макроуровня конденсатора и индуктивной катушки необходимо применять ММ микроуровня этих элементов, построенные на основе электродинамики сплошной среды*. Перейдем к уточнению ММ, описывающей неравномерное поступательное движение твердого тела массой тп в окружающей среде. При этом часто инерционную силу представляют Ии в виде т —, где п — изменяющиися во времени 1 вектор скосй ' рости тела.
Однако при движении тела прилегающие к его поверхности слои окружающей среды также перемещаются с некоторым ускорением, что приводит к необходимости учитывать инерцию этих слоев путем добавления к массе тела некоторой дополнительной массы т среды, называемой присоединенной массой.
Значение т зависит от формы тела и свойств среды. Пример 3.8. Рассмотрим поступательное движение твердого шара радиуса А и массой тп в идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости плотностью р, неподвижной на бесконечно Смс Лаидаи ЛД., Лифшиц В.М. 138 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис.
3.25 Потенциал Ф поля скорости жидкости в каждый момент времени ~ удовлетворяет уравнению Лапласа [Х???] ~7~Ф = 0 и граничному условию дФ~ — = (е) сов д, д Е (О, я), дг~ =и (3.60) на поверхности шара, а также стремится к нулю при г -+ оо. Этот потенциал не зависит от предыстории движения шара, а его изменение во времени обусловлено лишь изменением величины ~о~ в (3.60). Несложно проверить, что функция ~е~??зсовд 2гз (3.61) удовлетворяет (3.60) и условию Ф -+ 0 при т -+ оо.
Уравнение Лапласа представим в виде йч8габФ = О. В данном случае большом расстоянии от центра шара. Поместим в центре шара сферическую систему координат Ого так, чтобы вектор е скорости шара был направлен по оси, от которой происходит отсчет угла д (рис. 3.25). В этом случае поле скорости жидкости не будет зависеть от угловой координаты <р, т.е. будет осесимметричным. 136 Д.З.З.
ОО адекватности моделей типовых элементов дга га4?ф имеет в любой точке области, занятой жидкостью, две составляющие ?аф ~ ~??з ?пд = ия ° дд Дф )ифзсояд — от~ дт тз (3.62) 1 д(тзи,) 1 д(ияяшд) 4??и бгас? Ф вЂ” — + —. тз дт тя?пд дд )Дз д 1 ~ )Дз . д д + з т4 те?пд тз т.е. функция (3.61) удовлетворяет уравнению Лапласа и является потенциалом поля скорости жидкости. Кинетическая энергия жидкости с учетом (3.62) равна созл н оо х К= — / ( (и~~+ифт~зшдс?тйрс?д =яр (и~~+ия)т~з?пдс?тс?д= 2!! ВОЮ ВО = яр~и) ?? — соя д+ -яш д) я1пдс?д = я ~ийяя Г с?т / — / (1+ 3соязд) яшддд = 4 / т4/ В О яРЮ Л т 1~ !" иРМ ~ - 1~~! 3) ( где т = -игр??з — половина массы жидкости, вытесненнои ша- 3 ром. Таким образом, при движении шара в жидкости, неподвижной на бесконечно большом расстоянии от центра шара, которые являются радиальной и трансверсальной проекциями вектора скорости жидкости.
Поэтому с учетом (3.62) и выражения для операции дивергенции в сферической системе координат (Ч??] имеем 140 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ она приобретает кинетическую энергию, равную кинетической энергии тела, движущегося с той же скоростью, что и шар, но имеющего массу т. Вращение шара в идеальной жидкости относительно оси, проходящей через его центр, не оказывает влияния на поле скорости жидкости и поэтому не приводит к изменению ее кинетической энергии. При этом момент инерции системы „вращающийся шар — жидкость" совпадает с моментом инерции шара относительно указанной оси. Суммарная кинетическая энергия системы „шар — жидкость" равна К* = -(т+т)и2.
Изменение Е' за время й, согласно закону сохранения энергии, равно работе, совершаемой силой Р, приложенной к шару, на перемещении ий, т.е. дК* = Ри г11, или Н гт+т 2~ сЬ вЂ” и ~ =(т+т)и — =Ри. Ж~ 2 й Отсюда получаем (т+т) — = Р. Следовательно ММ посту- ~Ы ! нательного движения шара массой т в идеальной несжимаемой жидкости эквивалентна ММ поступательного движения в вакууме материальной точки массой т+ т. Оценим влияние присоединенной массы на примере наполненной водородом сферической оболочки, масса т которой вместе с водородом составляет 1/10 массы вытесненного ею воздуха.
По закону Архимеда подъемная сила, растягивающая крепящие оболочку канаты, равна 9тд, где д — ускорение свободного падения. Однако при освобождении этой оболочки от крепления ее начальное ускорение будет существенно меньше 9д, поскольку присоединенная масса, равная половине массы вытесненного воздуха, в данном случае в 5 раз превышает массу оболочки, т.е. т = 5т. Таким образом, начальное ускорение 9тд 3 равно = = -д. па+ай 2 Для тела произвольной формы, движущегося в окружающей среде, ММ существенно усложняется. Так, например, для тела, Д.З.З. Об адекватности моделей типовых элементов 141 ограниченного поверхностью вращения эллипса с полуосями а и Ь (а > Ь) относительно оси, проходящей через фокусы эллипса, различают*1 продольную 1п — — 2е 1+а тх 1 — е тп1 = РУ вЂ” 1п— 1 — е 1 — е (3.63) и поперечную 2е 1+в , — 1п— 1 — е~ 1 — е тг =рр гез — — 2е+ 1п— 1+с 1 — еэ 1 — е (3.64) присоединенные массы, где У = -яаЬ вЂ” объем тела, а е = 4 2 2 = -айаг — Ьг — эксцентриситпет эллипса.
Если вектор о скоро- а сти жидкости составляет угол ст с осью вращения эллипса, то поступательное движение такого тела описывают уравнения с1ег (тп + тпг) Рг~ сй Ь1 (т+т1) — = Р1, й '~См.: Лобвлкскиб Л.Г. 'эСмэ Боркеоф Г. где тп — масса тела, е1 = (и)созсв, ог = )п(я1пст, Р1 — — )Р)совет, Рг = ~Р) я1па, Р— сила, приложенная к телу. Таким образом, влияние присоединенной массы на поступательное движение тела зависит от его формы и ориентации относительно вектора скорости, а также от плотности среды. Это влияние малб в случае полета снаряда, самолета или ракеты в воздухе, но его необходимо учитывать, например, при движении дирижабля или воздушного шара в воздухе, корабля или торпеды в воде.
Отметим, что в общем случае движения (поступательного и вращательного) тела произвольной формы влияние жидкости учитывают введением тензора присоединенной массы'2. 142 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Вопросы и задачи 3.1. Получите решение уравнения (3.56) при начальном условии У(0) = О. 3.2. Убедитесь, что (3.59) является решением уравнения (3.58) при начальном условии 1(0) = О. З.З.
Покажите, что в (3.63) и (3.64) для продольной и поперечной присоединенных масс тела, ограниченного поверхностью эллипсоида вращения, т1 -+ т и т2-+ т при е-+ О, где т — присоединенная масса шара. 3.4. Решив уравнение (3.43) для трубы с кольцевым поперечным сечением, найдите выражения для объемного расхода и сопротивления такой трубь|. 4. МАТЕМАТИ'ЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ При математическом моделировании технического устройства, в котором протекают процессы различной физической природы, прежде всего необходимо для каждого из таких процессов выделить типовые элементы (см.
3), образующие однородную по физическим свойствам систему: электрическую, механическую, тепловую, гидравлическую и т.п. Взаимодействие элементов в каждой из систем должно быть отражено в ее расчетной схеме (РС). При переходе от РС сложной системы, состоящей из большого числа взаимосвязанных между собой типовых элементов, к ее математической модели (ММ) макроуровнл удобно оперировать эквивалентными схемами, основанными на аналогиях между ММ элементов, принадлежащих различным физическим системам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
