XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Построим эквивалентную схему для движущейся поступательно механической системы" (рис. 4.3), состо- 'См.; Трудоношии В.А., Пивоварова Н.В. Использование П варианта электромеханической аналогии удобнее при построении эквивалентной схемы механической системы, поскольку для этого варианта получают естественное механическое толкование законы Кирхвофа, используемые затем при переходе от эквивалентной схемы к ММ системы. В случае поступательного движения механической системы первый закон Кирхгофа будет аналогом уравнения равновесия всех сил (включая инерционные), действующих на рассматриваемый узел эквивалентной схемы, а второй — аналогом правила сложения скоростей при обходе контура этой схемы.
При пространственном движении механической системы силы и скорости являются векторными величинами. Поэтому равенства, следующие из законов Кирхгофа, должны быть выполнены для проекций этих величин на каждую из координатных осей. 152 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рис. 4.3 ящей из автомобиля массой т1 с грузом массой тз и прицепа массой тз, на котором находится груз массой т4. Грузы закреплены при помощи упругих элементов податливостью 1/сз в 1/с4 соответственно, а сцепка между автомобилем и прицепом имеет податливость 1/сз.
При движении автомобиля и прицепа возникают силы сопротивления, пропорциональные значениям и1 и ез их скорости, причем коэффициенты пропорциональности равны й1 и йз соответственно. Силы трения между грузами и кузовами автомобиля и прицепа пропорциональны значениям Ьвз = сз — е1 и Ьв4 = е4 — из скорости перемещения грузов относительно этих кузовов (коэффициенты пропорциональности равны яз и )с4 соответственно). Зависимость Р'(х) силы тяги автомобиля от времени 1 является заданной.
Для построения эквивалентной схемы используем П вариант электромеханической аналогии. Аналогом скорости е;, 1 = 1, 4, каждой из четырех масс механической системы относительно дороги будет электрическое напряжение Ц в одном из четырех узлов электрической цепи (рис. 4.4), отсчитываемое от напряжения Уз = 0 в узле 5, принятого за нуль отсчета. Рис. 4.4 4.2. Двойственность электромеханической аналогии 153 Из второго закона Ньютона для центра масс автомобиля получим уравнение СССС1 т1 + к1111+ и2(сс1 с'2) + й с + се (нс — нз) й+ 2с2 (н1 — н2) й = Р" (С), со со где Се — момент времени, принимаемый за начальный.
Слагаемым в левой части этого уравнения на эквивалентной схеме (см. рис. 4.4) соответствуют пять ветвей, сходящихся в узел 1 и содержащих конденсатор емкостью Сс, резисторы проводимостью дс, д2 и катушки индуктивностью Ьо, Ь2, а правой части — ветвь с источником, задающим ток силой 1'(С). Для центра масс груза в кузове автомобиля имеем сссс2 т2 — + Й2(сс2 — ссс) + 2с2 (е2 — ес) й = О. й со Первому слагаемому в левой части этого равенства отвечает на рис.
4.4 ветвь, содержащая конденсатор емкостью С2. Остальные ветви эквивалентной схемы построены аналогично, но с использованием уравнений оссз тЗ + иЗССЗ + со4(ССЗ СС4) + й + се (ссз — сс1) й+ 2с4 (ссз — сс4) й = О со со с + н4(е4 113) + 2с4 (114 еЗ) й = О со второго закона Ньютона для центров масс прицепа и находя1цегося на нем груза. ф 154 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Электромеханическая аналогия может применяться при пе.
строении эквивалентных схем механических систем с враща. тельным движением. Если использовать 11 вариант этой анеле. гии (см. табл. 4.2), то силе тока будет соответствовать враща ющий момент, напряжению — угловая скорость, проводимости резистора — коэффициент вязкого трения, емкости конденсатора — момент инерции, а индуктивности катушки — податливость упругой связи при вращении.
Пример 4.2. Фрикционная муфта (рис. 4.5) передает вращение ведущего вала 1, к которому приложен зависящий в общем случае от времени 1 вращающий момент М*(1), ведомому валу 2, присоединенному к нагрузке с линейной характеристикой М = хшз, где М вЂ” вращающий момент, шз — угловая скорость вала 2, х — коэффициент пропорциональности.
При Й~р изменении ыз возникает инерционныи момент 7 —, где 7— сй ' момент инерции нагрузки. Моменты сопротивления вращению валов в подшипниках 7 пропорциональны угловым скоростям ш~ и шз ведущего и ведомого валов (коэффициенты пропорциональности х~ и хз соответственно). Вращающий момент М„передаваемый муфтой от ее ведущего диска 3 с моментом инерции 1з ведомому диску 4 с моментом инерции,У4, зависит от разности шз — шя угловых скоростей этих дисков, причем М.
= х,(1)(юз — шя), где х„(~) — изменяющийся во времени коэффициент сцепления дисков. Моменты инерции валов 1 и 2 условно сосредоточим в их сечениях 5 и б, расположенных по- Рис. 4.5 4.2. Двойственность электромеханической аналогии 155 середине между подшипниками и муфтой, и обозначим,75 и,75. угловые скорости в тех же сечениях обозначим ы5 и ые, а податливости участков ведущего и ведомого валов при передаче ими крутящего момента — 1/Х5 и 1/Х5 соответственно.
В эквивалентной схеме рассматриваемой механической системы при использовании П варианта электромеханической аналогии каждому значению ы;, 1' = 1, 6, угловой скорости относительно неподвижных опор соответствует напряжение У; в одном из шести узлов электрической цепи (рис. 4.6), отсчитываемое от напряжения Ут = 0 в узле 7, принятого за нуль отсчета. Рис. 4.6 Приложенный к ведущему валу момент М*(с) уравновешен моментом трения в подшипнике и крутящим моментом на этом участке вала, т.е. и1ы1+ Х5 (1о1 ы5) мс М (ь)~ со где 25 — момент времени, принимаемый за начальный.
На эквивалентной схеме двум первым слагаемым в левой части этого равенства соответствуют ветви, сходящиеся в узел 1 и содержащие резистор проводимостью д1 и катушку индуктивностью Ь5 между узлами 1 и 5, а правой части — ветвь с источником, задающим ток силой 1'(1). Для сечения ведущего вала, где условно сосредоточен момент инерции,75, имеем Свс5 75 — + Х5 ( о5 — о1) «12+ Х5 (145 -1 3) ~12 = О, 111 156 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ где в левой части третье слагаемое соответствует крутящему моменту, передаваемому ведущему диску муфты (на рис.
4,6 ветвь между узлами 3 и 5 с катушкой индуктивностью Ьз), а первое слагаемое — моменту инерции (ветвь, содержащая конденсатор емкостью Сб). Для ведущего диска муфты запишем йыз 33 + к~ (~) (юз ш4) + Хб (юз — шб) й = О. й На эквивалентной схеме первому слагаемому в левой части этого уравнения соответствует ветвь с конденсатором емкостью Сз, а второму слагаемому — резистор с изменяющейся во времени проводимостью д,(4). Ветви схемы, сходящиеся в узлы 4 и 6, построены аналогично ветвям, сходящимся в узлы 3 и 5 соответственно.
Для сечения ведомого вала, присоединенного к нагрузке, получим Й~з У вЂ” + ню2 + нзю2 + Хб (м2 — юб) й = О. й Слагаемым в левой части этого равенства на рис. 4.6 соответствуют ветви, сходящиеся в узел 2 и содержащие конденсатор С, резисторы проводимостью д и дз и катушку индуктивностью Ьб. 4.3. Математическая модель линейного осциллятора Процесс изменения во времени параметров технического объекта (ТО) с многократным чередованием их возрастания и убывания принято называть колебания ни.
При колебаниях происходит знакопеременное отклонение параметров от 4.3. Математическая модель ликейкого осциллятора 157 их определенных значений. Эти значения могут соответствовать установившемуся состоянию ТО или же, в свою очередь, „зменяться во времени по некоторому закону. Как правило, колебания сопровождает преобразование одной формы энергии в другую В широком смысле под осциллятпороде (от латинского слова ояс111о — качаюсь) понимают любую систему, какие-либо параметры которой совершают колебания при отсутствии переменных внешних воздействий. В такой системе колебания могут иметь различную физическую природу.
Одним из простейших осцилляторов, в котором можно возбудить электромагнитные колебания, является нолебательньей контур, состоящий из электрического конденсатора и индуктивной катушки (рис. 4.7), имеющих ем- д~> кость С и индуктивность Ь соответственно.
Ь При определенных условиях электромагнитные колебания возможны в цепях, содержащих помимо конденсаторов и катушек также и рези- р 4 7 сторы (см. рис. 4.1, а и б, рис. 4.4 и рис. 4.6). Хорошо известным примером осциллятора в механической системе является тело массой т, присоединенное к неподвижной опоре при помощи упругого элемента (пружины) жесткостью с (см. рис. 4.2). Учитывая, что скорость и тела связана с его перемещением и относительно положения равновесия соотношением и = Ии/й, запишем (4.7) в виде линейного ОДУ второго порядка т — + й рЯ + си(1) = Р*(1), (4.10) е(зи(1) с1и(г) где Й р — коэффициент трения при движении тела по горизонтальной плоскости, Я вЂ” площадь поверхности контакта тела с этой плоскостью, Р'(т) — внешняя сила, приложенная к телу и зависящая (в общем случае) от времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
