XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для матрицы инциденций ориентированного графа, изображенного на рис. 4.23, целесообразно вычеркнуть пятую строку (см. табл. 4.3), и тогда новая матрица примет вид — 1 1 1 1 1 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 Π— 1 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 О О 1 1 1 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 — 1 1 Если ММ типовых элементов рассматриваемой технической системы явно разрешены относительно потоковой величины, то ММ этой системы являются и — 1 уравнений АХ = О,„относительно и — 1 потенциальных величин в узлах эквивалентной схемы, отсчитываемых от принимаемого за нуль значения потенциальной величины в узле, который соответствует строке, вычеркнутой из матрицы инциденций А,. Несложно проверить, что для представленной на рис. 4.22 эквивалентной схемы эти уравнения совпадут с полученными в примере 4.1. 178 4.
МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Использование ориентированного графа, соответствующего эквивалентной схеме технической системы, возможно и в более общем случае, когда ММ элементов этой системы не разрешены явно относительно потоковых величин. В этом случае ориентированный граф путем удаления некоторых дуг необходимо предварительно преобразовать в остовное дерево. Дополнение 4.1. Ъ'точнение математической модели линейного осцнллятора Выше (см. 4.3) рассмотрена математическая модель (ММ) зармоиического осиилллтора, включающего движущееся тело 1, связанное с неподвижной опорой 2 упругим элементом (пружиной) 3 (рис. 4.24). В этой механической системе при построении ММ учтена лишь масса т движущегося тела и пренебрегается массой упругого элемента.
Однако в действительности масса упругого элемента может быть сопоставима по величине с т, что может существенно повлиять на период колебаний осциллятора. Рис. 4.24 Из энергетической трактовки уравнения гармоиическоео осцилллтора следует, что при колебаниях такого осциллятора его полная энергия, равная сумме кинетической энергии движущегося тела и потенциальной энергии упругого элемента, остается постоянной (см. 4.3). Но закон сохранения энергии должен выполняться, если учесть и ту часть кинетической энергии, которой при колебаниях тела будет обладать упругий элемент (например, пружина массой т'). ДА.1.
Уточнение модели линейного оецилллтора 179 Предположим сначала, что растяжение или сжатие пружины при колебаниях тела является равномерным по длине 1(с), которую она имеет в текущий момент времени с. Если в этот момент времени тело имеет скорость и, то участок пружины длиной дт, находящийся на расстоянии х от точки ее креплеш' ния к опоре (см.
рис. 4.24), будет иметь массу — сЬ и скорость от. Кинетическую энергию пружины найдем интегрированием по ее текущей длине 1: С учетом полученного выражения и (4.17) для полной энергии осциллятора имеем ю2 62 и2 И" = К'+ Ис = пч' — + т — + с —, 6 2 2' где и — перемещение тела в текущий момент времени с относиои тельно положения равновесия. Учитывая, что и = —, получаем условие выполнения закона сохранения энергии в виде сИ" сЬ с1и /, с12и — = (т+т~/3)и — +си — = и~(т+т'/3) — + си = О.
с1с сй Ж 1 с1Р При произвольных значениях и следует, что в предпоследней части этого равенства должно быть равно нулю выражение в больших скобках, т.е. сРи (т + т~/3) — + си = О. с1с2 (4.27) Сравнивая (4.27) с (4.13), приходим к выводу, что влияние массы пружины можно учесть, если к массе т тела прибавить треть массы т' пружины. Это поправочное слагаемое называют в данном случае присоединенной массой пружины. В итоге 180 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ получим уточненные значения углоеой частоты колебаний н периода колебаний осциллятора 2к т+ т'/3 Т' = —, = 2к (4.28) / с т+ т'/3' *Смс Мышкис А.Д. з - ° ~.
= ~Т~ ~1-1 цотносительную погрешность вычисления периода колебаний на основе ММ (4.13) по сравнению с уточненной ММ (4.27). Прн т' < т/10 можно принять, что бт т'/(бт) < 0,02. Следует отметить, что допущение о равномерном растяжении или сжатии пружины при колебаниях тела приемлемо, если время Ы распространения возмущений вдоль пружины существенно меньше периода Т' колебаний осциллятора'. Для оценки значения Й закрепленную одним концом пружину длиной 1е в Е р свободном состоянии и массой т' Рс представим прямолинейным одно- родным стержнем той же длины и ~о массы, имеющим постоянное поперечное сечение Я (рис. 4.25).
МаРнс. 4.25 терпел стержня примем линеино упругим с модулем упругости Е. Сила Ре, приложенная к свободному концу пружины, вызовет его перемещение ио = Ре/с. Для стержня аналогичное соотношение с учетом закона Рука о = Ее (где о. = Рд/Б и е = ия/1е — напряжение в поперечном сечении стержня и его продольная деформация соответственно) Рс~с примет вид ие = е1е = —. Таким образом, упругие характеристики стержня и пружины эквивалентны при выполнении равенства Е = сне/Я, а массы стержня и пружины одинаковы, Р если его плотность равна р = —. 10Я' Скорость распространения возмущений вдоль стержня и пружины с эквивалентными упругими и инерционными характеристиками одинакова и равна скорости а = ~/Е(р = 1е ~/с/т' дАЛ, уточнение модели линейного оснилллтора 181 звука в материале стержня (ХП]. За Ы примем суммарное время прохождения возмущения вдоль пружины сначала в одном, а затем в другом направлении, т.е.
Ь» = 2»о/а = 2,„/т'/с. 'тогда допущение о равномерном растяжении или сжатии пружины при колебаниях будет приемлемо, если Ь» « Т', или т т+ т'/3 2~( — << 2н Если считать, что символ « ( сущес с и отвеина меньше") означает „меньше по крайней мере на поряд, . 1ОР ',* у м у10,~ <,Г + 73, ( ')- — — -~т = 10т < т. При выполнении этого неравенства ле 3! можно считать, что поправка в (4.28) в виде присоединенной массы пружины оправдана, хотя сама поправка прн этом составляет не более 1/30 массы колеблющегося тела.
Более полную ММ осциллятора, в которой пружина представлена стержнем, эквивалентным по инерционным и упругим характеристикам пружине, можно построить на основе расчетной схемы, представленной Р на рис. 4.26. При х = 0 один торец стержня длиной»о с постоянным поперечным сечением площадью Я неподвижно прикреп- е лен к опоре, а ко второму присоединено тело массой т. Переменное во времени» продольное перемещение и(х,») поперечного сечения с координатой х удовлетворяет волновому уравнению [ХП] д~и(х») од~и(х,») )'Е с описывающему колебания в линейно упругом стержне с модулем упругости Е и плотностью р материала.
Граничные условия при этом с учетом закона Гука и второго закона Ньютона имеют вид и(0,») =О, Ее(»о,»)Я=Е Я~ = — т,' . (4.30) ди(х, ») ] дои(»о, ») 182 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Предполагая гармонический характер колебаний с угловой частотой р, т.е. и(х,1) = Х(х) о1пр1, из (4.29) и (4.30) получаем линейное однородное ОДУ сРХЬ1 ' )+роХ(х)=0 относительно функции Х(х) и граничные условия Х(0) =О, Е$ =тр Х(1о).
НХ(х) дх Это ОДУ имеет решение рх рх Х(х) = Раисов — +Рзаш —. а а Из граничного условия при х = 0 следует, что Р1 — — О, а из граничного условия при х = 1о для произвольного значения Рз находим р р10 2 ° р~о ЕБ — соя — = тр ош а а а откуда, обозначая р = р1о/а и учитывая выражение для а в (4.29) и то, что р1оЯ = т', получаем т СФЕР = — Р. т' (4.31) 2п — 1я ГЕ 2п — 1 Ря = 2 1о~( р 2 1/т' По смыслу задачи нас интересуют лишь неотрицательные корни этого трансцендентного уравнения.
Таких корней будет бесконечное множество (рис. 4.27). При отсутствии на конце стержня сосредоточенной массы (т = 0) р„= (2п — 1)я/2, и Е г1. Отсюда следует бесконечный дискретный спектр угловых частот д.4.К уточнение модели линейного оснилллтора 183 Рис. 4.27 собственных продольных колебаний линейно упругого стержня, один торец которого закреплен неподвижно, а второй свободен, причем значения р„называют собстпеенньами частпотпами таких колебаний. Низшая частота р1 — — — ~/с/т' соот- 2 ветствует периоду Т1 = 2я/р1 — — 2 /Ы/с колебаний по первому 1низшему, или основному) тону, когда возникает так называемая стоячая волна с узлом на закрепленном торце стержня и пучностью на его свободном торце [ХП).
Эта волна отвечает первой 1низшей, или основной) гармонике вш — ', или вш —, и 21о ' которую обычно называют формой колебаний по основному тону. Характерно, что период Т1 собственных колебаний по первому тону совпадает с суммарным временем Ь2 прохождения возмущения вдоль стержня (или пружины) сначала в одном, а затем в другом направлении. При наличии на конце стержня сосредоточенной массы (т ~ ~ О) р1 < н/2 (см.
рис. 4.27), причем с ее увеличением значения р1 и р1 убывают. Например, в случае т = та' из 14.31) можно найти р1 = 0,8603 и, учитывая, что р1 = р1;/т'/с, вычислить р1 = 0,8603~/с/т = 0,8603ш, т.е. в случае равенства масс тела и упругого злемента 1пружины) низшая частота колебаний будет примерно на 14% ниже частоты ш колебаний гармонического осциллятора, вычисленной без учета массы т' упругого злемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
