XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При этом сила Р = ф3+ из — 1о = си ', стремящаяся возвратить тело в первоначзль- ф2+из ное положение, нелинейно зависит от перемещения несмотря на то, что пружина является линейно упругим элементом. Отметим, что даже при весьма малом перемещении и (( 1о, используя представление 1 1 1( из~ Я+из 1 и' 1о 1 21о/' 21о получим нелинейную зависимость 198 5.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МА КРОУРОВНЯ Возникающие в механических системах силы трения между твердыми поверхностями различным образом зависят от скорости относительного перемещения этих поверхностей. Линейной зависимости силы сопротивления от скорости и (см. 4.3) соответствует случай сравнительно медленного относительного перемещения поверхностей, разделенных слоем смазочного материала (при жидкостной или газовой смазке).
Для краткости такое трение назовем линейным. С увеличением и эта зависимость становится нелинейной и ее можно представить в виде Р р — — — й~и~ 10, ет, 7е = сопз1 > О, где учтено, что сила трения Р р имеет направление, противоположное направлению скорости. В этом случае часто используют обобщающий термин „вязкое тпрение". При ст = 2, когда абсолютная величина силы трения пропорциональна квадрату скорости, обычно говорят о тпурбулентпном тпрении*1.
Тогда в слое окружающей среды, непосредственно прилегающем к поверхности твердого тела, режим течения становится турбулентным (от латинского слова ФшЪп1еп1пз — бурный, беспорядочный) с хаотическими пульсациями скорости жидкости или газа. Аналогично можно представить силу сопротивления при движении с большой скоростью твердого тела в жидкости или газе либо при потере давления за счет гидравлического сопротивления трубопровода. Если слой смазочного материала между поверхностями отсутствует, то говорят о сухом тпрении, различая при этом сухое тпрение покоя и сухое кинематпическое тпрение, а также трение скольжения и качения. При прочих равных условиях по абсолютной величине сила трения покоя больше силы кинематического трения, когда происходит относительное перемещение соприкасающихся поверхностей, а сила трения качения, зависящая от кривизны этих поверхностей, меньше силы трения скольжения.
Сила сухого трения, согласно закону Амонтона'з, пропорциональна силе М нормального давления лОме Коудерер Г. '~Г. Амонтон (1663-1705) — фраеяузекий ученый. 199 5.1. Причины воонинновенил нелинейности твердых тел друг на друга, причем коэффициент пропорционзльности слабо зависит от скорости. При качении шара или кругового цилиндра радиуса т по плоской поверхности сила сухого трения в соответствии с законом, сформулированным Щ.О. Кулоном, пропорциональна Ж(т. В случае с = О сила сухого трения может быть определена лишь при рассмотрении равновесия тела с учетом действия внешних сил. Если проекция Р равнодействующей внешних сил на направление возможного движения тела не превышает по абсолютной величине силу Р'р > О трения покоя, то Ртр —— = — Р, а при ~Р~ > Р' тело приходит в движение.
В первом приближении все виды сухого трения при е ~ О можно описать нелинейной зависимостью Р р — — — х — ", Х = сопв1 > О (рис. 5.2). И' Рис. о.з Рис. о.л В некоторых случаях сила трения может зависеть не только от направления скорости с относительного скольжения, но и от перемещения и элементов механической системы*. Пусть на двух расположенных горизонтально на одном уровне шкивах, вращающихся с одинаковой угловой скоростью, но в противоположных направлениях, лежит однородный стержень массой еп (рис. 5.3). Если стержень расположен симметрично относительно шкивов, то он находится в равновесии.
Действительно, силы трения Р1 и Рч, возникающие при относительном скольжении стержня по поверхностям шкивов, равны по абсолютной величине и противоположно направлены, так как реакции *Смл Панаево Я.Г., Губанова И.И. 200 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ шкивов, уравновешивающие вес тд стержня, одинаковы: Ф, = = Лг = тд/2, где д — ускорение свободного падения. Но при перемещении и центра масс С стержня для реакций левого и правого шкивов получим соответственно 1/2 — и 1/2+ и тд, д~г = тд где 1 — расстояние между центрами шкивов. Если принять, согласно закону Амонтона, что сила сухого трения Р р — — — /М вЂ” ", М' где / = сопа1 > 0 — коэффициент трения, а с — скорость относительного скольжения, то для сил трения, действующих на стержень со стороны шкивов, можно записать ~/2+ и сг Р2 /А~г /тд 1сг! ~ 1ег! где и1 и ег — скорости скольжения стержня относительно левого и правого шкивов, причем )е1( = )иг1 При направлениях вращения, изображенных на рис.
5.3, ег < < 0 и ег > О, так что Р1 + Рг = — 2/тди/1, т.е. сумма сил трения в рассматриваемой системе зависит от перемещения стержня и стремится вернуть его в положение равновесия. Если вращение каждого из шкивов происходит в противоположном направлении, то получим Р1 + Рг = 2/тди/1, т.е. при сколь угодно малых отклонениях от положения равновесия силы трения стремятся увеличить это отклонение. Другая причина, приводящая к нелинейным ММ механических систем, вызвана нелинейными свойствами элементов этих систем. Например, сила Р сжатия витой конической пружины зависит от перемещения (осадки) и ее свободного конца относительно опорной плоскости (рис.
5.4). При Р < РА зта зависимость близка к линейной, но при Р > РА витки пружины по мере ее сжатия последовательно соприкасаются с опорной 201 5.1, Причины возникновение нелинейности Рис. 5.4 плоскостью, образуя в плане плоскую спираль, что приводит оР(и) к увеличению жесткости с(п) = — с ростом перемещения Йи и. После соприкосновения с опорной плоскостью всех витков жесткость резко возрастает (точка В на рис.
5.4). Пружины с переменной жесткостью используют для создания так называемых равночастотных систем, применяемых для защиты приборов, оборудования или перевозимых грузов от вредного воздействия высокочастотных вибраций (см.пример 5.5). Поведение материала упругих элементов даже при сравнительно малых деформациях может отклоняться от закона Гука, устанавливающего линейную связь деформаций и напряжений, что также является причиной нелинейной зависимости между силами и перемещениями в механической системе. При увеличении нагрузки в материале возникает пластическая деформация, сохраняющая свое значение после снятия нагрузки. Хорошо известно, что при растяжении металлического стержня по мере возрастания растягивающего напряжения и деформация е сначала растет по линейному закону е = п1Е, где Š— модуль упругости, а затем начинает прогрессивно нарастать вплоть до разрушения стержня.
Если, не доводя стержень до разрушения, начать уменьшать напряжение до нуля, то связь е и а снова становится близкой к линейной (говорят, что происходит упругая разгрузка), но при о = 0 сохраняется остаточная пла- 202 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ стическая деформация ер 1рис. 5.5), Такое поведение материала при построении ММ требует привлечения довольно сложныхтеорийпластичности, в том числе использующих физические представления о микромер ханизме пластического деформироРис. 5.5 вания материалов', что необходимо при анализе работоспособности высоконагруженных конструкций и при математическом моделировании таких технологических процессов, как прокатка, штамповка и ряд других.
Еще более сложной оказывается ММ механической системы, если конструкционный материал проявляет свойство ползучести, т.е. увеличивает деформацию во времени 1 даже при неизменном напряжении. В простейшем варианте ползучесть можно описать зависимостью скорости деформации — от наба б1 пряжения и и температуры Т, причем увеличение и и Т приво- ба дят к возрастанию —. б1 ' Аналогично рассмотренным можно выявить нелинейные зависимости для элементов систем, в которых протекают иные физические процессы.
Так, при заполнении жидкостью сосуда с переменной по высоте площадью поперечного сечения (например, сферического сосуда) величина С, в 13.30) будет зависеть от высоты Н "а уровня жидкости в сосуде относительно подводящего трубопровода, т.е. от перепада давления Ьр = р — ро = руН, где р и ро — давления на входе в сосуд р подводящего трубопровода и над зеро калом жидкости соответственно, р— ~~ж плотность жидкости 1рис. 5.6). ДейРис. 5.6 ствительно, объем жидкости, заполня- Сма Зарубин В.С. (1985 г.) 3бз оп. Причины возникновения нелинейности ющей сосуд при высоте Н уровня, равен Н И = Я(я)~Ь, о где Я(я) — зависимость площади поперечного сечения сосуда от вертикальной координаты я, отсчитываемой от входа подво- НК» дящего трубопровода. Так как объемныи расход Я = — то Ж ' получим в отличие от линейной зависимости (3.30) нелинейное соотношение ж Я(н) ыр <Й ро сЫ Из курса физики известно, что связь между векторами электрической поляризованности Р и напряженности Е электрического поля для большинства диэлектриков остается линейной лишь при ограниченных значениях ~Е~, а с увеличением ~Е~ происходит насыщение процесса поляризации диэлектри- Р ка (на рис.
5.7 представлен график функции Р(Е) для случая плоского однородного электрического поля,когда ее можно рассматривать с учетом смены направления векторов Е и Р на противоположное как действительную функцию действительного переменного). Это приводит к тому, что при использовании диэлектрика в электрическом конденсаторе связь между зарядом Я, и разностью 'зУ потенциалов на обкладках конденсатора при достаточно высоких значениях ~ЬЦ оказывается нелинейной, а в (3.3) емкость С конденсатора становится функцией ЬУ или Яе. Аналогичная ситуация возникает для зависимости вектора намагниченности ЛХ ферромагнетиков от вектора напряженности Н магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
