XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если же при ~'(и;) =О существует окрестность точки и;, в которой 1'(и;+ Ос) < О, то в этой окрестности — < О и — < О, т.е. (Я~ -+ О при 1 -+ со, что соответствует опре- 46 М сй делению асимптотической устойчивости. Пример 5.6. Рассмотрим электрическую цепь (рис. 5.15, а), состоящую из последовательно соединенных источника постоянного напряжения У*, катушки индуктивностью Ь, резистора сопротивлением В и двух электродов, между которыми при их сближении возникает дуговой разряд (вольтова дуга).
Вид 223 о.з. Некоторые неетанионарные модели нелинейной характеристики дуги ЬУд — — ~р(1), определяющей згвисимость разности ллУд напряжений на электродах от силы 1 тока, проходящего через дугу, представлен на рис. 5.15, б. Если считать, что при изменении 1 соответствующее значение олУд устанавливается мгновенно, то изменение во времени л силы тока в этой цепи описывает (в соответствии со вторым из законов КирхгоФа) нелинейное ОДУ первого порядка Х,~~+ Ш+~р(1) = У*, или ~й У*-111-~р(1) (5.15) Положения равновесия ОДУ (5.15) являются абсциссами точек пересечения характеристики дуги с прямой у(1) = У* — Ш (см. рис.
5.15,б). Для рассматриваемого вида характеристики таких точек может быть не более трех, причем по графику функции 1(1) = — (У* — ВХ вЂ” у(1)) в правой части ОДУ (5.15) можно установить, что положения равновесия 11 и Хз являются устойчивыми, а Хо — неустойчивым. Расположение интегральных кривых 1(1) этого ОДУ на плоскости $01 при различных начальных значениях силы тока в момент времени Ф = О показано на рис. 5.15, в. Изменение У" и/или Л приведет к изменению положений равновесия ОДУ (5.15). При непрерывной зависимости решения этого ОДУ от У' и В как от параметров такое изменение будет непрерывным и не приведет к резкому изменению в расположении интегральных кривых на плоскости Ю1.
На рис. 5.16, а приведен график функции У*(Х) = ~р(Х) + 11о1, устанавливающей соответствие между силой 1 тока в положении равновесия ОДУ (5.15) и напряжением У* при фиксированном значении В = Во. При У' -+ У;+ О и У* + У~ — О точка неустойчивого положения равновесия сближается с одной из точек устойчивого положения равновесия. В пределе зти точки попарно сливаются в одну, что изменяет характер расположения интегральных кривых (рис. 5.16, би в). При Уо ( У' ( У1 и 224 о.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ Рис. а.16 У* > Уз остается лишь по одному положению равновесия, причем устойчивому, что вновь изменяет расположение интеграль. ных кривых на плоскости $01. Таким образом, в окрестности точек У~ и Уз утрачивается непрерывная зависимость решения ОДУ (5.15) от параметра У*. Можно показать*, что при фиксированном значении У* = Уе > Уе существует хотя бы одно значение В = В., в окрестности которого отсутствует непрерывная зависимость решения этого ОДУ и от параметра Л. Предположим, что напряжение У* изменяется столь медленно, что каждому его значению соответствует значение 1 в положении равновесия.
Тогда при увеличении У* от нуля тока в цепи сначала не будет, так как при У* < Уе дуговой разряд между электродами не возникнет. При медленном возрастании У* на отрезке ]Уз, У~] сила 1 тока растет непрерывно до значения 1, но затем увеличивается скачком до значения Хз (стрелки А на рис. 5.16, а). Если после этого начать уменьшать У*, то 1 будет уменьшаться сначала непрерывно до значения 1], а затем скачком до значения Х1 (стрелки В на рис. 5.16, а). Если правая часть ОДУ зависит от параметра и в окрестности некоторого его значения изменяется качественный характер расположения интегральных кривых, то это значение параметра называют бпфуркацпомным.
В примере 5.6 бифуркационными являются значения У1 и Уз напряжения У". *См.: Андронов А.А., Вититп А.А., Хайкин С.Э. 0.3. Некоторые неетационарные модели 225 В [ЧП1] рассмотрено несколько характерных нестационарных ММ механических, гидравлических и тепловых систем, описываемых нелинейными ОДУ первого порядка. При этом в ряде случаев функция в правой части ОДУ вида (5,12) является разрывной, т.е. не удовлетворяет условиям теоремы Коши в окрестности некоторой точки ($„и,) плоскости 10и, так что через эту точку может проходить более чем одна интегральная кривая данного ОДУ.
В случае разрывной периодической функции в правой части ОДУ его решение описывает периодический процесс (в [Ч???] это процессы заряда и разряда электрического конденсатора и периодического изменения температуры участка движущейся ленты излучателя космической энергетической установки). Интегральная кривая при этом имеет вид пилообразной линии с угловыми точками. Рассмотрим более сложный пример построения решения при разрывной периодической функции в правой части ОДУ.
Пример 5.7. Одним из возможных вариантов устройства для охлаждения рабочего тела космической энергетической установки является дисковый излучатель (рис. 5.17). Участок поверхности тонкого вращающегося диска 2, двигаясь в зазоре меж- 1 ду стенками теплообменника 1, нагревается, а затем, выйдя из зазора, излучает тепловую энергию в окружающее пространство.
Стенки теплообменника имеют одинаковую по своей Рис. о.17 поверхности температуру Т1, а температура Т каждого участка диска при длительной работе излучателя циклически изменяется во времени 1 в соответствии с периодом т равномерного вращения диска. Поэтому распределение температуры по поверхности диска является квазистационарным: температура Т зависит лишь от угла ф, определяющего положение участка диска относительно теплообменника, 226 о.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ и одинакова для всех точек, лежащих на одном луче, исходящем из центра вращения. Для тонкого диска передачей теплоты теплопроводностью вдоль его поверхности можно пренебречь. Тогда изменение температуры Т участка диска при нагреве и охлаждении описывают ОДУ первого порядка Ьс — = 2е,его(Т1 — Т ), 4 4 сЮ йс — = — 2еггоТ (5.16) 4 гН вЂ” =Г„а(1-д ), — 4 уф 4 — = — ад, г1г~г (5.17) где д = —, Г„= — ' и а = 2есгоТг —. Для нахождения квазиста- 3 Тг' я 2яяс' ционарного распределения температуры по поверхности диска ОДУ (5.17) можно рассматривать лишь при г5 Е [О, 2я], причем первое из ннх — при ф Е [О, 4г], а второе — при ф е [фм 2я] (см.
рис. 5.17). Тогда для первого ОДУ (5.17) начальным будет значение до при ф = О на входе участка диска в зазор между стенками теплообменника, а для второго ОДУ вЂ” значение д, при ф = 1(гг на выходе из этого зазора. Интегрированием ОДУ (5.17) получим 1 ~1+д~ 1 — 1п~ ~ + — агс~бд = е,а4+ См 4 г1 — д[ 2 1 — = а1(г+ С2. 6дз 'Смс Теория теояомассооомеиа. соответственно, где с и а — соответственно объемная теплоемкость материала диска и его толщина, гто — постоянная Стефана — Больцмана (см. 5.1), е, = ~-+ — — 1) — — приведенный ~е сг коэффициент излучения системы двух тел с плоскопараллельными поверхностями', размеры которых велики по сравнению с зазором между ними, е и е1 — коэффициенты излучения поверхностей диска и теплообменника соответственно.
Используя в (5.16) замену 1 = —, получаем сф 2гг ' о.з. Некоторые иеетациоиариые модели 227 Используя начальные условия, находим 1 ~(1 — дои1+д) ~ 1 — 1п~, >+-(агсзбд — агсфбдо) =Г,аф, 1 1 — — — = а(ф — фг), 3дз 3дз откуда, учитывая, что 1п~ — ~ = 2АгФЬя при ~я) ( 1, и преобра- 1+ а! зовывая разность арктангенсов, получаем д — до д до АггЬ + агсгб = 2Г,оф, 1 — од 1+ дод 1 1 — — — = За(г/> — фг). дз дз (5.18) В случае квазистационарного распределения температуры в диске значению фг в первом равенстве (5.18) соответствует д = д„а значению ф = 2я во втором — д = до.
Тогда получим два уравнения д,— до да-до Аг1Ь ' + агсгб = 2е,афг, 1 — дода 1+дед~ 1 1 — з- — з =3о(2--~г) дз дз (5.19) 3> относительно неизвестных значений до и д,. Эти уравнения можно решить, используя численные методы. Можно также с помощью второго уравнения выразить одно неизвестное через другое, например до через д„и исключить зто неизвестное из первого уравнения. В результате придем к довольно громоздкому трансцендентному уравнению с одним неизвестным. Пусть Ь = 2 10 зм, с = 3,61, е = ег = 0,8, Тг —— 1000К, МДж > а.К> г» Фг = Зх/9 и т = 60с. Тогда е, = 2/3, Г, = 5/6 и при >то = з Вт = 5,67 10 —,, имеем а = 0,120. В итоге, решая уравнения (5 19), находим значения до — 0,71 и д, — 0,86, соответствующие темпеРатУРам То 710К и Т, - 860К Участка диска 228 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
